人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第02讲 1.1.2空间向量的数量积运算（原卷版）

第02讲1.1.2空间向量的数量积运算课程标准学习目标①会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.1、掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养．2、掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养．3、了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养．4、能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养.知识点01：空间两个向量的夹角1、定义：如图已知两个非零向量SKIPIF1<0，在空间任取一点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则么SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0的夹角，记SKIPIF1<0.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）2、范围：SKIPIF1<0．特别地，（1）如果SKIPIF1<0，那么向量SKIPIF1<0互相垂直，记作SKIPIF1<0．(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为非零向量)．(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定SKIPIF1<0与任何向量SKIPIF1<0都是共线的，即SKIPIF1<0．两非零向量的夹角是唯一确定的．3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）若两个向量SKIPIF1<0所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为SKIPIF1<0，(1)向量夹角的范围是0<<SKIPIF1<0><SKIPIF1<0，异面直线的夹角SKIPIF1<0的范围是0<SKIPIF1<0<SKIPIF1<0，(2)当两向量的夹角为锐角时，SKIPIF1<0；当两向量的夹角为SKIPIF1<0时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，SKIPIF1<0.【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】根据向量的夹角公式，SKIPIF1<0，由于向量夹角的范围是SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0知识点02：空间向量的数量积1、定义：已知两个非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的数量积，记作SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;2、空间向量数量积的应用(1)利用公式SKIPIF1<0可以解决空间中有关距离或长度的问题;(2)利用公式SKIPIF1<0可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;3、向量SKIPIF1<0的投影3.1．如图(1)，在空间，向量SKIPIF1<0向向量SKIPIF1<0投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面SKIPIF1<0内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量SKIPIF1<0共线的向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0称为向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量．类似地，可以将向量SKIPIF1<0向直线SKIPIF1<0投影(如图(2))．3.2．如图(3)，向量SKIPIF1<0向平面SKIPIF1<0投影，就是分别由向量SKIPIF1<0的起点SKIPIF1<0和终点SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂线，垂足分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0称为向量SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的投影向量．这时，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角就是向量SKIPIF1<0所在直线与平面SKIPIF1<0所成的角．4、空间向量数量积的几何意义：向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的数量积等于SKIPIF1<0的长度SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影SKIPIF1<0的乘积或等于SKIPIF1<0的长度SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影SKIPIF1<0的乘积.5、数量积的运算：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0(交换律)．（3）SKIPIF1<0(分配律).【即学即练2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知在标准正交基SKIPIF1<0下，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为_________.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0知识点03：空间向量数量积的性质（1）SKIPIF1<0（2）若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向，则SKIPIF1<0．特别地，SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0.题型01空间向量的数量积（求空间向量的数量积）【典例1】（2023秋·福建福州·高二福建省福州铜盘中学校考期末）如图所示，平行六面体SKIPIF1<0中，以顶点SKIPIF1<0为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高二专题练习）正四面体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0______．【变式1】（2023秋·浙江绍兴·高二统考期末）已知正四面体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023春·高二课时练习）已知空间向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．题型02空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围）【典例1】（2023春·高二课时练习）如图，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为1，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的动点，则向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上的投影数量的取值范围为______．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为______．【变式1】（2023秋·湖北黄石·高二校联考期末）已知正三棱锥SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0的边长为2，M是空间中任意一点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型03利用数量积求夹角【典例1】（2023春·高二课时练习）空间四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，以顶点SKIPIF1<0为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，正四面体SKIPIF1<0(所有棱长均相等)的棱长为1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是正四面体SKIPIF1<0中各棱的中点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试采用向量法解决下列问题：(1)求SKIPIF1<0的模长；(2)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角.【变式1】（2023·全国·高二专题练习）如图，平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的夹角都为SKIPIF1<0求：（1）SKIPIF1<0的长；

（2）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角的余弦值．题型04空间向量的投影（投影向量）【典例1】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高二专题练习）在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上的投影向量的模是______．【变式1】（2023·全国·高二专题练习）如图，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量等于____.题型05空间向量中的模（距离，长度）【典例1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知正四面体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则线段SKIPIF1<0的长为（

）A．2 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．6 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知长方体SKIPIF1<0的底面是边长为SKIPIF1<0的正方形，若SKIPIF1<0，则该长方体的外接球的表面积为________；记SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0方向上的单位向量，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数）的最小值为________．【变式1】（2023春·高一课时练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）四棱柱SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是边长为1的菱形，侧棱长为2，且SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长度是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0题型06利用数量积证明垂直问题【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知正四面体SKIPIF1<0的棱长为2，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点.(1)用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，并求出SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0.【典例2】（2023春·高一课时练习）如图，棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点.求证：

(1)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【变式1】（2022秋·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）如图，已知平行六面体SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为1的菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)求线段SKIPIF1<0的长；(2)求证：SKIPIF1<0．【变式2】（2022秋·河南周口·高二校考阶段练习）如图，正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夹角；(2)求证：SKIPIF1<0．题型07重点方法篇（利用极化恒等式求数量积最值）【典例1】（2023春·高二课时练习）已知正四棱柱SKIPIF1<0中，底面边长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是长方体表面上一点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知球SKIPIF1<0是棱长为1的正四面体的内切球，SKIPIF1<0为球SKIPIF1<0的一条直径，点SKIPIF1<0为正四面体表面上的一个动点，则SKIPIF1<0的取值范围为_______________.【变式1】（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知SKIPIF1<0是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点SKIPIF1<0在正方体的棱上运动，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．0A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023春·高二课时练习）在正四面体ABCD中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角等于（

）A．30° B．60° C．150° D．120°2．（2023春·高二课时练习）平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为（）A．10 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）在正四面体SKIPIF1<0中，棱长为1，且D为棱SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0的值为（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）在空间四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．1 D．不确定5．（2023春·高二课时练习）已知空间向量SKIPIF1<0两两夹角均为SKIPIF1<0，其模均为1，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<06．（2023秋·河南新乡·高二统考期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）

A．4 B．5 C．6 D．87．（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）在空间，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为单位向量，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则实数k的值为（

）A．－6 B．6C．3 D．－38．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题9．（2023秋·河北邢台·高二邢台一中校考期末）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列说法中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2023春·高二课时练习）已知SKIPIF1<0为正方体，则下列说法正确的有（

）A．SKIPIF1<0；B．SKIPIF1<0；C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0；D．在面对角线中与直线SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0的有8条三、填空题11．（2023秋·湖南衡阳·高二校考期末）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0______.12．（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）如图所示，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0______．四、解答题13．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB＝BC＝a，PA＝b.试确定SKIPIF1<0在直线AB上的投影向量，并求SKIPIF1<0.14．（2023春·高二课时练习）已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，SKIPIF1<0，A为垂足，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．B能力提升1．（2023·全国·高一专题练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<02 B．SKIPIF1<03 C．SKIPIF1<01 D．02．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）如图已知矩形SKIPIF1<0，沿对角线SKIPIF1<0将SKIPIF1<0折起，当二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0时，则B与D之间距离为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0.(1)试用向量SKIPIF1<0表示向量SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.4．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)确定SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的投影向量，并求SKIPIF1<0；(2)确定SKIPIF1<0在SKIPIF1<0