2023年新高一数学暑假课程（人教A版2019）第八讲集合之间的关系（二）

第八讲：集合之间的关系（二）【教学目标】1．掌握子集，真子集的概念，并能用符号；Venn图；或数轴表示；2．根据集合之间的关系，利用Venn图或数轴表示出来，从而建立等式或不等式，求解出参数的取值范围.【基础知识】一、子集、真子集、集合相等子集、真子集、集合相等的相关概念定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集(或)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A＝B二、利用集合关系求参数的方法1．分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．2．此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．3．此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．【题型目录】考点一：非空集合的简单子集关系（求参数）考点二：有限集合中空集陷阱（求参数）考点三：无限集中的关系（非空集合）（求参数）考点四：无限集中空集陷阱（求参数）【考点剖析】考点一：非空集合的简单子集关系（求参数）根据集合的关系，找到相关参数的等式进行分类讨论，注意：求解出答案之后，应该验证，是否符合题意，集合的互异性.例1．．设集合，，若，则（）． A．2 B．1 C． D．【答案】B【详解】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.变式训练1．．已知集合，，若，则实数组成的集合为（） A． B． C． D．【答案】C【详解】，，，或，解得或或，故实数组成的集合为.故选：C.变式训练2．已知集合，集合.若，则实数的取值集合为（） A． B． C． D．【答案】C【详解】由于，所以，所以实数m的取值集合为.故选：C变式训练3．已知，若，则（） A． B． C． D．【答案】C【详解】由于表示一元二次方程的解的集合，而最多有两个不相等的实数根，由于，所以故由韦达定理可得，故选：C考点二：有限集合中空集陷阱（求参数）空集是任何集合的子集，即不存在，则.例2．．已知集合，，且，则实数的取值构成的集合为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】.因为，所以，，.当时，关于x的方程无解，所以；当时，是关于x的方程的根，所以；当时，是关于x的方程的根，所以.故实数的取值构成的集合为.故选：D变式训练1．已集合，若，则实数的取值集合是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】，∴当时，，满足；当时，若，则时，时，．的取值集合是．故选：C．变式训练2．已知集合，若，则实数（） A．或1 B．0或1 C．1 D．【答案】B【分析】先求得合，再分和，两种情况讨论，结合题意，即可求解.【详解】解：由集合，对于方程，当时，此时方程无解，可得集合，满足；当时，解得，要使得，则满足，可得，所以实数的值为或.故选：B.变式训练3．已知集合，若，则实数a的取值集合为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】由于，故时，则且，若中只有一个元素，①中的方程为一元二次方程，则，此时,不合题意，舍去；②中的方程为一元一次方程，则，则，则，此时不符合，舍去，当时，则符合题意，综上可知：或，故选：D.考点三：无限集中的关系（非空集合）（求参数）利用数轴，表示无限集合，子集的范围小.例3．已知集合，，若，则的取值范围为（） A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据定义域求出，由得到a的取值范围.【详解】由题意得，解得，故，因为，所以.故选：A变式训练1．已知集合，，若，则的取值范围为（） A． B． C． D．【答案】B【分析】利用集合的子集关系求解.【详解】因为，，且，所以.故选：B变式训练2．已知集合，或，若，则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】，或，，，．故选：D变式训练3．已知集合，，且，则实数的取值范围为（） A． B． C． D．【答案】A【详解】因为或，，因为，所以.故选：A.考点四：无限集中空集陷阱（求参数）利用数轴表示集合的范围，并注意子集存在空集的情况.例4．已知集合，，若，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】C【解析】由，分和两种情况讨论，利用相应的不等式（组），即可求解.【详解】由题意，集合，，因为，（1）当时，可得，即，此时，符合题意；（2）当时，由，则满足，解得，综上所述，实数的取值范围是.故选：C.变式训练1．已知集合，若，则实数的取值集合为（） A． B． C． D．【答案】C【详解】集合，又，，所以，故实数a的取值集合为，故选：C.变式训练2．设，，若，则实数的取值范围是（） A．或 B． C． D．【答案】D【分析】根据集合的包含关系，列不等式组求解即可.【详解】因为，所以，此不等式组无解.故选：D.变式训练3．集合或，若，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】，①当时，即无解，此时，满足题意．②当时，即有解，当时，可得，要使，则需要，解得．当时，可得，要使，则需要，解得，综上，实数的取值范围是．故选：A．【课堂小结】1．知识清单：由集合间的关系求参数的值或范围．2．方法归纳：数形结合、分类讨论．3．常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点．【课后作业】1、已知，，若，则（） A．0或4 B．1或4 C．0 D．4【答案】A【详解】且，或当时，，满足题意；当时，得或当时，，满足题意；当时，带入集合中，不满足集合得互异性.综上：可取0，4故选：A2、已知集合，且，则实数（） A．1 B．2 C．1或2 D．0【答案】A【详解】因为集合，且，所以，且，则，解得：，故选：.3、已知集合，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，,满足题意.当时，，若，则或，即或综上所述，的所有取值为故选：D4、已知集合，，若，则a的取值集合是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】,，当，即时，符合；当时，，得；当时，，得；则a的取值集合是故选：C5、已知集合，，若，则实数m的取值范围是（）． A． B． C． D．【答案】C【详解】由题设，，又且，所以，即.故选：C6、设集合，，若，则实数的取值范围为（） A． B． C． D．【答案】A【详解】由，即，解得，所以，又且，显然，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为.故选：A7、设集合，，若，则实数a的取值范围是（） A． B．（3,4） C． D．【答案】B【分析】根据集合的包含关系列出关于a的不等式组即可.【详解】由已知可得，集合，，因为，所以，（注意端点值是否能取到），解得，故选：B．8、已知集合，且，则实数的取值范围为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得：，若，则.故选：B.9、集合或，，若，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】因为或，，当时，此时，符合题意；当时，若则，因为，所以，解得，又，所以，若则，因为，所以，解得，又，所以，综上可得，即实数的取值范围是.故选：C10、已知集合，，若，则实数的取值范围是（） A． B． C．或 D．【答案】C【详解】由题意，（1）若，则，成立；（2）若，则，解得综上，实数的取值范围是或故选：C11、已知集合，且.（1）求集合；（2）如果集合，且，求的值组成的集合.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因为，直接将代入方程：得，，所以，方程为，即，解得或，所以，集合；（2）因为是的子集，分两类讨