高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题44 空间向量在立体几何中的应用

【高考地位】向量在立体几何中占有重要的地位，且扮演着一个非常重要的角色，其应用打破了立体几何的传统解法，可以减少大量的辅助作图以及对图形的分析、想象过程，能直接使用代数运算来解决立体几何中的计算和证明问题．在近几年的高考中几乎每年都有出现，其题型主要是大题形式出现，有时也会在选择题或填空题中应用．【方法点评】类型一证明垂直使用情景：立体几何中证明垂直问题解题模板：第一步首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；第二步然后将已知条件转化为空间向量问题并对其进行求解；第三步得出结论．例1、直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别为A1B1、A1A的中点.求证：A1B⊥C1M.例2、如图所示，PD⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，AB=2,E是PB的中点，cos〈,〉=.(1)建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；(2)在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB.【变式演练1】已知，，，分别是平面，的法向量，则平面，的位置关系式（）A．平行B．垂直C．所成的二面角为锐角D．所成的二面角为钝角【变式演练2】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF；【变式演练３】已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=，建立如右图所示的坐标系;确定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P;类型二证明平行使用情景：立体几何中证明平行问题解题模板：第一步首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；第二步然后将已知条件转化为空间向量问题并对其进行求解；第三步得出结论．例3.如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线，且，且∥．（Ⅰ）设点为棱中点，求证：平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．【变式演练3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．【变式演练4】如图,是边长为3的正方形，，,与平面所成的角为.(1)求二面角的的余弦值;(2)设点是线段上一动点，试确定的位置，使得，并证明你的结论.【变式演练4】如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，点、分别为、的中点.（1）求证：平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值；（3）能否在上找到一点，使得平面？若能，请指出点的位置，并加以证明；若不能，请说明理由

.【高考再现】1.【2016高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG∥平面ADF；（=2\*ROMANII）求二面角O-EF-C的正弦值；（=3\*ROMANIII）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.2.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.3.【2016年高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【反馈练习】1.【2016年湖南师大附中高二数学选修21结业考试理科试题第18题】如图，直三棱柱ABC-A1B1C1底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M是A1B1的中点.（1）求cos（，）的值；（2）求证：A1B⊥C1M.2.【2015年北京市崇文区高三年级二模理科试题】已知正方体的棱长为2，分别是上的动点，且，确定的位置，使．3.【2014届陕西省西工大附中高三下学期第八次适应性训练理科数学试卷（带解析）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点．求证：平面；

4.【广东省惠州市2017届第二次调研考试数学（理）试题】如图，四边形是矩形，，是的中点，与交于点，平面.求证：面；5.【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）数学（理）试题】（本小题满分12分）已知四棱