第3章 整式的乘除

第3章整式的乘除（典型30题专练）一．选择题（共12小题）1．（2021春•浦江县期末）如果（x﹣4）（x+3）＝x2+mx﹣12，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值即可．【解答】解：∵（x﹣4）（x+3）＝x2﹣x﹣12，∴x2﹣x﹣12＝x2+mx﹣12，∴m＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是明确多项式乘多项式的方法，找准对应的系数．2．（2017•吉林）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（a2）3＝a6 D．（ab）2＝ab2【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）a2与a3不是同类项，故A错误；（B）原式＝a5，故B错误；（D）原式＝a2b2，故D错误；故选：C．【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．3．（2021•乐陵市一模）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a2 B．a4•a2＝a8 C．（2a2）3＝8a6 D．a2+a2＝a4【分析】分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可．【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故本选项不合题意；B、a4•a2＝a6，故本选项不合题意；C、（2a2）3＝8a6，故本选项符合题意；D、a2+a2＝2a2，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．4．（2021•顺义区一模）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（）A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2【分析】由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，代入计算．【解答】解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，＝（a+b）2﹣4ab，＝a2+2ab+b2﹣4ab，＝（a﹣b）2；故选：D．【点评】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用几何图形面积公式和或差列等式进行计算．5．（2021•潍城区二模）2021﹣1的倒数是（）A． B． C．2021 D．﹣2021【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简，再利用倒数的定义得出答案．【解答】解：∵2021﹣1＝，∴2021﹣1的倒数是：2021．故选：C．【点评】此题主要考查了倒数以及负指数整数幂的性质，正确掌握相关定义是解题关键．6．（2021•丽水）计算（﹣a）2•a4的结果是（）A．a6 B．﹣a6 C．a8 D．﹣a8【分析】先化简为同底数幂的乘法，然后根据同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：原式＝a2•a4＝a6，故选：A．【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，解题时注意：必须化为同底数幂的乘法，才可以用同底数幂的乘法法则计算．7．（2021春•萧山区期末）如图是一所楼房的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（）A．a2+5a+15 B．（a+5）（a+3）﹣3a C．a（a+5）+15 D．a（a+3）+a2【分析】分别用不用的方法表示楼房的面积，逐个排除即可得到正确的答案．【解答】解：A．是三个图形面积的和，正确，不符合题意；B．是补成一个大长方形，用大长方形的面积减去补的长方形的面积，正确，不符合题意；C．是上面大长方形的面积加上下面小长方形的面积，正确，不符合题意；D．不是楼房的面积，错误，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了列代数式，用不同的方法表示楼房的面积是解题的关键．8．（2020•饶平县校级模拟）下列运算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．﹣8a2÷（4a）＝2a C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．4a3•3a2＝12a3【分析】利用合并同类项、单项式除法、积的乘方、单项式乘法的运算法则逐项判定即可．【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，故A选项错误；B、﹣8a2÷4a＝﹣2a，故B选项错误；C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故C选项正确；D、4a3•3a2＝12a5，故D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了合并同类项、单项式除法、积的乘方、单项式乘法等知识点，灵活应用相关运算法则是解答此类题的关键．9．（2021•苍南县一模）计算﹣2a4÷a，正确结果是（）A．16a3 B．﹣16a3 C．﹣2a4 D．﹣2a3【分析】根据单项式除以单项式的运算法则进行计算后即可确定正确的选项．【解答】解：原式＝﹣2a4﹣1＝﹣2a3，故选：D．【点评】考查了整式的除法，了解整式除法的运算法则是解答本题的关键，难度较小．10．（2021•台州）已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（）A．24 B．48 C．12 D．2【分析】根据题中条件，结合完全平方公式，先计算出2ab的值，然后再除以2即可求出答案．【解答】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，将a2+b2＝25，（a+b）2＝49代入，可得2ab+25＝49，则2ab＝24，所以ab＝12，故选：C．【点评】本题考查完全平方公式的应用，根据题中条件，变换形式即可．11．（2021春•商河县校级期末）下列运算，不能用平方差公式运算的是（）A．（﹣b﹣c）（﹣b+c） B．﹣（x+y）（﹣x﹣y） C．（x+y）（x﹣y） D．（y﹣x）（x+y）【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．【解答】解：A、（﹣b﹣c）（﹣b+c）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；B、﹣（x+y）（﹣x﹣y）＝（x+y）（x+y），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意；C、（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D、（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键．12．（2020秋•费县期末）计算（﹣1.5）2021×（）2020的结果是（）A．﹣ B． C． D．﹣【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．【解答】解：原式＝（﹣1.5）（﹣1.5）2020×（）2020＝（﹣1.5）（﹣1.5×）2020＝（﹣1.5）（﹣1）2020＝﹣1.5＝﹣，故选：A．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确计算的前提．二．填空题（共8小题）13．（2021•拱墅区校级开学）78×73＝711．【分析】同底数幂相乘底数不变指数相加，根据定义解答即可．【解答】解：78×73＝78+3＝711．故答案为：711．【点评】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握概念是解答的关键．14．（2020秋•宝山区期末）如果2021a＝7，2021b＝2．那么20212a﹣3b＝．【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．【解答】解：∵2021a＝7，2021b＝2．∴20212a﹣3b＝20212a÷20213b＝（2021a）2÷（2021b）3＝72÷23＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．15．（2021•鹿城区校级开学）化简：3a2﹣a（2a﹣1）＝a2+a．【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可．【解答】解：3a2﹣a（2a﹣1）＝3a2﹣2a2+a＝a2+a．故答案为：a2+a．【点评】本题考查了多项式乘以单项式法则，能正确根据法则进行计算是解此题的关键．16．（2020秋•渝中区期末）计算：（﹣2ab2）•（﹣3a2）＝6a3b2．【分析】根据单项式乘以单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，求出答案即可．【解答】解：（﹣2ab2）•（﹣3a2）＝6a3b2．故答案为：6a3b2．【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式运算，正确掌握运算法则是解题关键．17．（2020秋•柳南区校级期末）计算：20190﹣（）﹣2＝﹣3．【分析】根据负整数指数幂解答即可．【解答】解：20190﹣（）﹣2＝1﹣4＝﹣3，故答案为：﹣3【点评】此题考查负整数指数幂，关键是根据负整数指数幂解答．18．（2021春•奉化区校级期末）如图，把三张边长相等的小正方形甲、乙、丙纸片按先后顺序放在一个大正方形ABCD内，丙纸片最后放在最上面．已知小正方形的边长为a，如果斜线阴影部分的面积之和为b，空白部分的面积和为4，那么的值为2．【分析】先将乙这个正方形平移至AB边，然后设大正方形边长为x，从而表示出斜线阴影面积为2a（x﹣a）＝b和空白面积为（x﹣a）2＝4，再代入计算即可．【解答】解：将乙正方形平移至AB边，如图所示：设AB＝x，∴乙的宽＝（x﹣a）；甲的宽＝（x﹣a）；又∵斜线阴影部分的面积之和为b，∴2a（x﹣a）＝b，空白部分的面积和为4，∴（x﹣a）2＝4，∴x﹣a＝2，即2a•2＝b，∴＝2．【点评】本题主要考查完全平方式的几何背景，解题关键在于找出甲、乙、丙各自的边长长度．19．（2021秋•交城县期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是①②．（请填上正确的序号）【分析】针对每一种拼法，利用代数式表示拼接前、后的面积，适当化简或变形可得答案．【解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝（a+b）•（a﹣b），可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，右边阴影部分面积＝2a•2b＝4ab，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝2a•2b，不可以验证平方差公式．故答案为：①②．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼接前后的面积是得出答案的前提．20．（2020春•瑞安市期中）两个小长方形如图①摆放，重叠部分是边长为b的正方形，阴影部分的面积为S，四个小长方形如图②摆放，左上角形成的是边长为b的正方形，此阴影部分面积为S1，另一阴影部分的面积为S2，则S，S1，S2之间的数量关系为S＝S1+S2．【分析】利用图①用含有a、b的代数式表示S，在图②用含有a、b的代数式表示S1+S2，比较得出答案．【解答】解：图①中，阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，因此面积为：S＝（a﹣b）2；图②中，两个阴影部分的面积和为边长为（a+b）的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形的面积差，即S1+S2＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，所以S＝S1+S2，故答案为：S＝S1+S2．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．三．解答题（共10小题）21．（2021•湖州）计算：x（x+2）+（1+x）（1﹣x）．【分析】根据单项式乘多项式和平方差公式化简即可．【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1．【点评】本题考查了平方差公式，单项式乘多项式，牢记平方差公式的结构特点是解题的关键．22．（2020•梧州）先化简，再求值：（2x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣5x（x﹣y），其中+|y+2|＝0．【分析】先根据乘法公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，求出x、y的值，最后求出答案即可．【解答】解：（2x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣5x（x﹣y）＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy＝9xy，∵+|y+2|＝0，∴x﹣1＝0且y+2＝0，解得：x＝1，y＝﹣2，当x＝1，y＝﹣2时，原式＝9×1×（﹣2）＝﹣18．【点评】本题考查了乘法公式，整式的混合运算和求值，算术平方根和绝对值的非负性等知识点，能正确根据整式的运算法则和乘法公式进行化简是解此题的关键．23．（2021春•高青县期末）化简：（1）2（2x2﹣xy）+x（x﹣y）；（2）ab（2ab2﹣a2b）﹣（2ab）2b+a3b2．【分析】（1）根据单项式乘多项式的运算法则计算；（2）根据单项式乘多项式、积的乘方法则计算．【解答】解：（1）2（2x2﹣xy）+x（x﹣y）＝4x2﹣2xy+x2﹣xy＝5x2﹣3xy；（2）ab（2ab2﹣a2b）﹣（2ab）2b+a3b2＝2a2b3﹣a3b2﹣4a2b3+a3b2＝﹣2a2b3．【点评】本题考查的是单项式乘多项式、幂的乘方与积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．24．（2020秋•下城区月考）先阅读下列材料，再解答后面的问题材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为an．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．问题：（1）计算以下各对数的值：log24＝2，log216＝4，log264＝6．（2）通过观察（1），思考：log24、log216、log264之间满足怎样的关系式？（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？logaM+logaN＝loga（MN）（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．（4）利用（3）的结论计算log42+log432＝3．【分析】（1）根据对数与乘方的关系即可求解；（2）2，4，6之间的关系是2+4＝6，写出答案即可；（3）我们发现底数2没有变，4×16＝64；（4）运用第（3）问的公式计算即可．【解答】解：（1）∵22＝4，∴log24＝2；∵24＝16，∴log216＝4；∵26＝64，∴log264＝6．故答案为：2，4，6．（2）∵2+4＝6，∴log24+log216＝log264．（3）观察（2）的结果，我们发现，底数不变，后面两个数相乘．故答案为：loga（MN）．（4）log42+log432＝log4（2×32）＝log464＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了有理数的乘方运算，能够仔细观察，归纳规律是关键．25．（2020秋•南关区校级期末）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝3，y＝﹣3．【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，算除法，再求出答案即可．【解答】解：原式＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷2x＝（﹣2x2﹣2xy）÷2x＝﹣x﹣y，当x＝3，y＝﹣3时，原式＝﹣3﹣（﹣3）＝0．【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．26．（2021秋•沐川县期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3．【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2；（2）根据S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，将a+b＝10，ab＝23代入进行计算即可；（3）根据S3＝（a2+b2﹣ab），S1+S2＝a2+b2﹣ab＝29，即可得到阴影部分的面积S3．【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，∵a+b＝10，ab＝23，∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×23＝31；（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝29，∴S3＝×29＝．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．27．（2020秋•宝鸡期末）定义一种新运算：观察下列各式：1⊙3＝1×4+3＝7，3⊙（﹣1）＝3×4﹣1＝11，5⊙4＝5×4+4＝24，4⊙（﹣3）＝4×4﹣3＝13．（1）请你想一想：a⊙b＝4a+b；（2）若a≠b，那么a⊙b≠b⊙a（填“＝”或“≠”）；（3）先化简，再求值：（a﹣b）⊙（2a+b），其中a＝﹣1，b＝2．【分析】（1）根据题目中的等式，可以写出a⊙b的结果；（2）根据（1）中的结果，可以计算出a⊙b和b⊙a的差，然后看是否等于0，即可解答本题；（3）根据（1）中的结果，可以将所求式子化简，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，a⊙b＝4a+b，故答案为：4a+b；（2）由题意可得，a⊙b﹣b⊙a＝（4a+b）﹣（4b+a）＝4a+b﹣4b﹣a＝3（a﹣b），∵a≠b，∴3（a﹣b）≠0，∴a⊙b≠b⊙a，故答案为：≠；（3）由题意可得，（a﹣b）⊙（2a+b）＝4（a﹣b）+（2a+b）＝4a﹣4b+2a+b＝6a﹣3b，当a＝﹣1，b＝2时，原式＝6×（﹣1）﹣3×2＝﹣6﹣6＝﹣12．【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．28．（2021春•奉化区校级期末）如图，正方形ABCD和正方形EFGH的重叠部分是长方形ENDM．四边形HMDK和DNFL都是正方形，设它们的边长分别为a，b．（1）填空：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（2）若长方形ENDM的面积为3，AM＝3，CN＝4，求正方形EFGH的边长．【分析】（1）利用正方形EFGH的面积不同计算方法，得出等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，进而得出答案；由（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，可得答案；（2）由题意可得ab＝3，a﹣b＝1，求出a+b的值即可．【解答】解：（1）正方形EFGH的边长为（a+b），因此面积为：（a+b）2，又正方形EFGH也可以用四部分的面积和，即a2+2ab+b2，故答案为：2ab；∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：4ab；（2）由长方形ENDM的面积为3，可得ab＝3，∵AM＝3，CN＝4，∴3+a＝4+b，即a﹣b＝1由（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab得，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+12＝13，∴a+b＝，即正方形EFGH的边长为．【点评】考查完全平方公式的意义和应用，用不同的方法表示正方形的面积是得出等式的前提．29．（2021春•奉化区校级期末）用如图所示的甲，乙，丙三块木板做一个长，宽，高分别为3a（cm），2a（cm）和20cm的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能做箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计）．（1）用含a的代数式分别表示甲，乙，丙三块木板的面积（代数式要求化简）；（2）如果购买一块长12a（cm），宽120cm的长方形木板做这个箱子，那么只需用去这块木板的几分之几（用含a的代数式表示）？如果a＝20呢？【分析】（1）根据长方体的面积＝长×宽，代入计算即可求解；（2）求出长12a厘米，宽120厘米的长方形木板的面积，进一步求得用去这块木板的几分之几；代入当a＝20时求出这个数值．【解答】解：（1）由题意