专题01 a除以a的绝对值（解析版）

专题01a除以a的绝对值类型一分类讨论两个字母的取值范围1．已知为非零有理数，当时，__________；当时，________．【答案】

1；

-1【解析】【分析】先根据绝对值的性质得到两个式子分母的正负，再计算即可.【详解】解：当时，；当时，.故答案为：1；-1.【点睛】本题主要考查绝对值的性质，理解掌握绝对值的性质是解答关键.2．已知，为非零有理数，则的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】【分析】分成四种情况①，；②，；③，；④，分别进行计算即可．【详解】解：当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，故选：．【点睛】此题主要考查了绝对值，关键是掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数．3．已知有理数，都不为零，若，则的值为______．【答案】0【解析】【分析】根据条件，得到a=﹣b，a和b的符号相反，然后对进行化简即可得出答案．【详解】解：∵，，都不为零∴a=﹣b，a和b的符号相反，①当a＞0，b＜0时=；②当a＜0，b＞0时=故答案为：0．【点睛】本题考查绝对值化简问题，解题关键在于判断a和b的符号进行化简．4．已知非零有理数a、b满足则的值为______．【答案】1【解析】【分析】由题意利用绝对值的性质可得，进而判断非零有理数a、b的正负性后进行运算即可得出答案．【详解】解：∵a、b为非零有理数，∴，∵∴，∴=1故答案为：1．【点睛】本题考查绝对值和有理数运算，熟练掌握绝对值的代数意义是解答本题的关键．5．已知非零有理数、满足．则的值为______．【答案】【解析】【分析】先确定的正负，再根据有理数的除法，即可解答．【详解】∵非零有理数满足，∴或，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值的意义、有理数的除法，解决本题的关键是确定的符号．6．已知m、n是两个非零有理数，则=_________【答案】0或2或-2【解析】【分析】对m、n是两个非零有理数的正负进行分类讨论，再进行绝对值得化简求值即可．【详解】解：当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；综上可知：的值为0或2或-2．故答案为：0或2或-2．【点睛】本题考查绝对值的化简．对m、n是两个非零有理数的正负进行分类讨论是本题解题的关键．7．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最小值是_____．【答案】-3【解析】【分析】此题要分三种情况进行讨论：①当，中有二正；②当，中有一负一正；③当，中有二负；分别进行计算．【详解】解：①当，中有二正，；②当，中有一负一正，或；③当，中有二负，．故代数式的最小值是．故答案为：．【点睛】此题主要考查了绝对值，以及有理数的除法，关键是要分清分几种情况，然后分别进行讨论计算．8．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是．【答案】1.【解析】【分析】此题要分三种情况进行讨论：①当x，y中有二正；②当x，y中有一负一正；③当x，y中有二负；分别进行计算．【详解】①当x，y中有二正，=1+1−1=1；②当x，y中有一负一正，=1−1+1=1；③当x，y中有二负，=−1−1−1=−3.故代数式的最大值是1.故答案为1.【点睛】此题考查绝对值，解题关键在于要分三种情况进行讨论.9．若a、b皆为非零的有理数，已知的最大值为p，最小值为q，则代数式6p+2q2=________．【答案】20【解析】【分析】首先依据绝对值的性质求得p、q的值，然后代入计算即可．【详解】当a＞0，b＞0时，有最大值，此时p=3，当a、b异号或同为负数时，有最小值，此时q=-1．原式=6×3+2×1=20．故答案为20．【点睛】本题主要考查的是求代数式的值，求得p、q的值是解题的关键．类型二分类讨论三个字母的取值范围10．已知为三个非零有理数，若，则的值为_______.【答案】或.【解析】【分析】为三个非零有理数，若，则中有一个为负数或者三个都是负数，分两种情况进行讨论即可.【详解】为三个非零有理数，若，则中有一个为负数或者三个都是负数，若中有一个为负数，则原式三个都是负数，则原式故答案为或.【点睛】考查有理数的乘法以及绝对值的化简，注意分类讨论，不要漏解.11．已知a，b，c为非零的有理数，且，则的可能的值为（

）A．0 B．0或-2 C．1或-1 D．2或-2【答案】B【解析】【分析】分a、b、c两个正数，一个正数，两种情况，根据绝对值的性质去掉绝对值号，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．【详解】当a、b、c中有两个正数时，设为a＞0，b＞0，c＜0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=1+1-1-1=0；设为a＞0，b＜0，c＞0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=1-1+1-1=0；设为a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=-1-1-1+1=-2；当a、b、c有一个正数时，设为a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=1-1-1+1=0；设为a＜0，b＞0，c＜0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=-1-1+1-1=-2；设为a＜0，b＜0，c＞0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=-1+1-1-1=-2；综上所述，的可能值为0或-2．故选：B．【点睛】本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，难点在于根据三个数的正数的个数分情况讨论．12．如果，，是非零有理数，那么的所有可能的值为（

）．A．，，0，2，4 B．，，2，4C．0 D．，0，4【答案】D【解析】【分析】分类讨论：①a、b、c均是正数，②a、b、c均是负数，③a、b、c中有一个正数，两个负数，④a、b、c有两个正数，一个负数，化简原式即可去求解．【详解】①a、b、c均是正数，原式==；②a、b、c均是负数，原式==；③a、b、c中有一个正数，两个负数，原式==；④a、b、c中有两个正数，一个负数，原式==；故选D．【点睛】本题考查了绝对值的化简，关键是分情况讨论，然后逐一求解．13．已知非零有理数a，b，c，满足，则等于（

）A．﹣1 B．0 C．±1 D．1【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的性质和a、b、c的正负分情况讨论化简计算即可．【详解】解：当a、b、c同为正数时，=1+1+1=3不满足条件；当a、b、c为两正一负时，=1+1－1=1满足条件，此时abc＜0，∴==－1；当a、b、c为两负一正时，=1－1－1=－1不满足条件；当a、b、c同为负数时，=－1－1－1=－3不满足条件，综上，=－1，故选：A．【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，会利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．14．已知a，b，c是非零有理数，式子的值为______．【答案】±3，±1【解析】【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．【详解】解：当全为正时，a＞0，b＞0，c＞0时，==1+1+1=3；当全为负时，a＜0，b＜0，c＜0时，==-1-1-1=-3；当两正一负时，不妨设a＞0，b＞0，c＜0时，=＝1+1-1＝1；当两负一正时，不放设a＜0，b＜0，c＞0时，=＝-1-1+1＝-1；综上可知，式子的值为±3，±1．故答案为：±3，±1．【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论．15．若、、是非零有理数，，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据a、b、c是非零有理数，a+b+c=0，利用分类讨论的方法可以求得所求式子的值．【详解】∵a、b、c是非零有理数，a+b+c=0，∴当a、b、c中一正两负时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则a=-（b+c），故=1+（-1）+（-1）-2=-3；当a、b、c中两正一负时，不妨设a＞0，b＞0，c＜0，则c=-（a+b），故=1+1+（-1）+2=3；故答案为：-3或3．【点睛】本题考查有理数的乘法、绝对值、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．16．若、、都是非零有理数，其满足，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】分中有一个数为负数和中有两个数为负数两种情况，再化简绝对值求值即可得．【详解】都是非零有理数，且，中有一个或两个数为负数，因此，分以下两种情况：（1）当中有一个数为负数时，则，①若为负数，为正数，则；②若为负数，为正数，则；③若为负数，为正数，则；（2）当中有两个数为负数时，则，①若为负数，为正数，则；②若为负数，为正数，则；③若为负数，为正数，则；综上，的值为0，故答案为：0．【点睛】本题考查了化简绝对值、有理数的乘方与加减乘除法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．17．有理数a、b、c均不为0，且a+b+c＝0，设x＝，则代数式x2021+2021x﹣2021的值为___．【答案】4041或1【解析】【分析】先表示出b＋c，c＋a，a＋b，然后分a、b、c有一个负数和两个负数，根据绝对值的性质求出x的值，再代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：∵a＋b＋c＝0，∴b＋c＝−a，c＋a＝−b，a＋b＝−c，当a、b、c有一个负数时，x＝＋＋＝−1−1＋1＝−1，有两个负数时，x＝＋＋＝1＋1−1＝1，x＝−1时，x2021+2021x﹣2021＝（−1）2021−2021×（−1）＋2021＝−1＋2021＋2021＝4041，x＝1时，x2021+2021x﹣2021＝12021−2021×1＋2021＝1−2021＋2021＝1．故答案为：4041或1．【点睛】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，分情况求出x的值是解题的关键．类型三综合解答18．已知非零有理数a，b，c满足，．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据，可得同号，进而可得，即可化简绝对值，进而求解即可；（2）根据，同号，可得，，进而化简绝对值，进而求解即可．【详解】（1）同号原式（2），同号，原式【点睛】本题考查了有理数的加法法则，化简绝对值，根据题意判断的符号是解题的关键．19．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”.【提出问题】三个有理数满足，求的值.【解决问题】解：由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.①当都是正数，即时，则：；（备注：一个非零数除以它本身等于1，如：3÷3=1，则）②当有一个为正数，另两个为负数时，设，则：∴的值为3或-1【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知，，且，求的值（2）已知是有理数，当时，求的值.（3）已知是有理数，，，求的值.（4）若均为整数，且，化简：.【答案】（1）-2或-4；（2）±2或0；（3）-1；（4）4或5.【解析】【分析】（1）先由，求出a=±3，b=±1，结合求出a，b的值即可得出结论；（2）分a＜0，b＜0；a＞0，b＞0以及a、b异号3种情况分别讨论即可求解；（3）根据已知得到b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c两正一负，进一步计算即可得解；（4）根据题意可得和中一个为0，一个为1，从而得出a-b=0，c-a=±1或a-b=±1，c-a=0，再去绝对值即可.【详解】（1）∵|a|=3，|b|=1，∴a=±3，b=±1，∵a＜b，∴a=-3，b=1或-1，则a+b=-2或-4；（2）已知是有理数，当时，①a＜0，b＜0，=-1-1=-2；②a＞0，b＞0，=1+1=2；③a、b异号，=0；故=±2或0；（3）由是有理数，，，得，b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c两正一负，∴==1-1-1=-1；（4）∵均为整数，且，∴a-b=0，c-a=±1或a-b=±1，c-a=0，∴①当a-b=0，c-a=±1时，得a=b，c-b=±1，∴==1+0+3=4；②当a-b=±1，c-a=0时，得c=a，c-b=±1，∴==0+2+3=5.【点睛】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．20．有理数均不为0，且，设，试求代数式的值．【答