第02讲弹力上海市高中名校物理自主招生讲义

二、弹力一、弹力的概念弹力是指两个相互接触的物体之间，由于相互挤压而产生的力的作用。弹力的产生条件有两个：两个物体直接接触，相互挤压而发生弹性形变。弹力的大小与形变程度有关。弹力的方向与施加这个弹力的物体的形变方向相反，与受到这个弹力的物体的形变方向相同。弹力方向还可如下判断：①压力、支持力的方向总是垂直于接触面，若接触面是曲面，则垂直于曲面的切线。②绳对物体的拉力总是沿着绳指向绳收缩的方向。③杆对物体的弹力不一定沿杆的方向。如果可自由转动的轻直杆只有两个端点受力而处于平衡状态，则轻杆的弹力方向一定沿杆。如图给出了几种常见情况下所受弹力的示意图。值得注意的是，有时候物体相互接触，但却不一定挤压而发生弹性形变，因此互相接触的物体不一定会产生弹力。大多情况下物体发生的形变很微小，肉眼难以判断。因此根据弹力产生的两个条件来判断弹力的有无很困难。我们可以采用“假设法”来判断物体间的弹力是否存在。如图所示，球静置于光滑水平面上，与竖直光滑墙壁接触。竖直墙壁对球是否施加了弹力，就可以用假设法判断：假设竖直墙壁对球施加了弹力，由于接触面均光滑，球必然会向右移动，与题述球静止矛盾，因此竖直墙与球之间没有弹力作用。同样在图（b）中，悬绳竖直，小球与斜面接触。判断斜面对球是否有弹力，可以先假设存在弹力，则小球所受斜面对其的弹力必垂直于斜面向上，悬绳自然会倾斜，这与题矛盾，因此该弹力不存在。二、弹簧的弹力当弹簧被拉伸或者被压缩时，弹簧会对与它接触的物体产生弹力的作用，当弹簧被拉伸时，弹簧的弹力表现为拉力；当弹簧被压缩时，弹簧的弹力表现为斥力。对于质量不计的轻弹簧，其内部的弹力大小处处相等。1．胡克定律弹簧被拉伸或压缩时，会产生反抗形变的弹力，如图所示。在弹性限度内，弹簧的弹力与弹簧的形变量成正比，这就是胡克定律，由英国物理学家胡克发现。胡克定律可以表示为，其中表示弹簧的劲度系数，反映了弹簧发生形变的难易程度，由可知，劲度系数越大的弹簧，发生相同形变量时所需的力越大，即弹簧越不容易发生形变。弹簧的劲度系数只与弹簧的材料、长度、粗细、匝数等因素有关，与弹簧的形变量及弹力大小无关。反映了弹簧弹力与弹簧的形变量之间的函数关系。应该注意的是，弹簧的形变量不能太大，否则弹簧在外力撤去时将不能恢复到原长状态，即不能使外力超过弹簧的弹性限度。【典例1】如图所示，A、B、C三个物体的质量是mA=m，mB=mC=2m，A、B两物体通过绳子绕过定滑轮相连，B、C用劲度系数k2的弹簧相连，弹簧k1一端固定在天花板上，另一端与滑轮相连．开始时，A、B两物体在同一水平面上，不计滑轮、绳子、弹簧的重力和一切摩擦．现用竖直向下的力缓慢拉动A物体，在拉动过程中，弹簧、与A、B相连的绳子始终竖直，到C物体刚要离开地面（A尚未落地，B没有与滑轮相碰），此时A、B两物体的高度差(

)A． B．C． D．【详解】开始时：弹簧k2处于压缩状态，压缩量为，k1伸长量；C物体刚要离开地面时，弹簧k2的弹力为2mg，弹簧k2处于伸长状态，伸长量为；k1伸长量；A下降的距离：∆hA=（+）+2（）=+；B上升的高度：∆hB=+=；则AB的高度差：∆hA+∆hB=+，故选C.【典例2】如图所示，在铁架台上竖直悬挂着一轻质弹簧，不挂钩码时弹簧下端指针所指刻度为8.00cm；挂上重1.96N的钩码，钩码静止时弹簧下端指针所指刻度为10.00cm。此弹簧的劲度系数是（）A．49N/m B．98N/mC．147N/m D．196N/m【详解】由题意知，挂上1.96N的钩码，弹簧的伸长量为s根据胡克定律可得故选B。【典例3】某同学通过实验探究两弹簧串联后的弹性系数。他把弹性系数分别为和的不同轻弹簧a、b串接在一起，a的上端固定在天花板上，竖直悬挂。测量a和b弹簧原长，计算串接后弹簧a和b的总长度；在b的下端悬挂一定质量的钩码，再次测量弹簧a和b的长度，计算总长度，使用悬挂钩码重力与总形变量之比记为两弹簧串联后的等效弹性系数，则等效弹性系数的表达式正确的是（）A． B． C． D．【详解】总形变量等于两弹簧形变量之和，弹簧b形变量选弹簧b与钩码为整体，弹簧a形变量所以等效弹性系数为故选A。2．弹簧的串并联（1）弹簧的串联：弹簧的串联就是把几根弹簧首尾相接，连成一根弹簧。如图4.16所示，劲度系数分别为，的两个弹簧首尾相接，串联成一个新弹簧，设新弹簧劲度系数为，下面推导与，的关系：若在，末端分别施加拉力，则两弹簧形变量分别为，。当拉力施加在，串联后的新弹簧上时，由于弹簧上各处弹力均为，因此，在新弹簧中发生的形变量仍为，。而新弹簧的形变量满足，比较，，的表达式可得。可见，两个弹簧串联之后等效的劲度系数的倒数等于两个弹簧劲度系数的倒数之和。将上面关系推而广之：若有个弹簧串联，则有。即串联后弹簧的等效劲度系数的倒数等于各个弹簧劲度系数的倒数之和。．特殊地，若个原长为、劲度系数为的完全相同的弹簧串联，串联后新弹簧的原长为，劲度系数为，可见，在其他条件相同时，弹簧的劲度系数与其长度成反比。（2）弹簧的并联：弹簧的并联就是把几根弹簧并排放置，作为一根弹簧来使用。如图4.17所示，两个原长相同的、劲度系数分别为和的弹簧并列放置，并联成一个新弹簧，设新弹簧劲度系数为，下面推导与，的关系：若在新弹簧末端施加拉力，由于两弹簧原长相同，因此形变量相同，设为，则两弹簧弹的弹力分别为，，且有，并联后新弹簧的形变量亦为，则，因此可得，可见，两个原长相同的弹簧并联之后等效的劲度系数等于两个弹簧劲度系数之和。将上面关系推而广之：若有个弹簧并联，则有。即串联后弹簧的等效劲度系数等于各个弹簧劲度系数之和。值得一提的是，上述关系只适用于几个原长相同的弹簧并联，若弹簧原长不同，则受力时形变量不同，没有上述关系。此时应该逐一分析弹簧形变及弹力情况，列式求解相关问题。【典例4】如图所示，a、b两物体通过轻弹簧P栓接，轻弹簧Q上端与物体b栓接，下端与水平地面接触但不栓接，两物体及两轻弹簧在同一竖直线上且均处于静止状态。a、b两物体重量均为G、P、Q两轻弹簧劲度系数均为k，且两轻弹簧始终在弹性限度内。现对物体a施加一竖直向上的力，使其缓慢上升，轻弹簧Q下端脱离地面瞬时，物体a上升的高度为（）A． B．C． D．【详解】由题知静止时轻弹簧P压缩量为轻弹簧Q压缩量为轻弹簧Q下端脱离地面瞬时轻弹簧Q恢复为原长轻弹簧P伸长量为物体a上升的高度为故选D。【典例5】．一小组将两个完全相同的轻弹簧分别按图甲和图乙连接，等效为两个新弹簧，测得两个新弹簧的“拉力与弹簧伸长量的关系图像”如图丙所示，则下列说法正确的是（

）sC．原来每个弹簧的劲度系数为20N/mD．b为甲图弹簧得到的图像【详解】ABD．根据弹簧串联与并联的特点可知，两条弹簧并联后新弹簧的劲度系数增大，而串联后新弹簧的劲度系数相对较小；弹簧的拉力与弹簧伸长量的关系图像中，直线的斜率对比胡克定律F=kΔx可知，直线的斜率即表示弹簧的劲度系数。由于a的劲度系数大，b的劲度系数小，所以a为甲图弹簧得到的图像，b为乙图弹簧得到的图像。甲图是两根弹簧并联，新弹簧的伸长量等于每一个弹簧的伸长量，所以甲图中，F=2N时每个弹簧都伸长0.1m，A正确、BD错误；C．由丙图可知，新弹簧的劲度系数则原来每个弹簧的劲度系数一定不是20N/m，C错误。故选A。【典例6】如图所示，一根轻质弹簧竖直放在桌面上，下端固定，上端放一重物m，稳定后弹簧长为L；现将弹簧截成等长的两段，将重物分成两块，如图所示连接后，稳定时两段弹簧的总长为L′，则（  ）A．L′=L B．L′＞LC．L′＜L D．因不知弹簧原长，故无法确定【详解】放一重物稳定后弹簧长为将弹簧截成等长的两段后，劲度系数变为2k，对上半部分重物对重物和上半部分弹簧整体，根据平衡条件因此稳定时两段弹簧的总长为所以L′＞L故选B。【典例7】如图所示，轻弹簧的两端各受30N拉力F的作用，弹簧伸长了10cm（在弹性限度内）。那么下列说法中正确的是（）A．弹簧的弹力为60NB．根据公式k＝，弹簧的劲度系数k会随弹簧弹力F的增大C．该弹簧的劲度系数k为300N/mD．弹簧的弹力为30N【详解】AD．根据力的作用的相互性，弹簧的弹力为30N，选项A错误，D正确；BC．根据胡克定律F＝kx得，弹簧的劲度系数弹簧的劲度系数k由弹簧本身决定，与弹簧弹力F的变化无关，选项C正确，B错误。故选CD。课后练习题一、单选题1．如图，某同学用一根劲度系数为k的轻质弹簧测量物块与水平面间的动摩擦因数。将弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端与物块连接，物块置于水平面上，弹簧与地面平行。改变物块在水平面上的位置，发现物块只能在A、B两点间保持静止，测得A、B两点到竖直挡板的距离分别为d1、d2，物块的质量为m，当地重力加速度为g，则物块与水平面间的动摩擦因数为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可知，改变物块在水平面上的位置，物块只能在A、B两点间保持静止，则有轻质弹簧的原长是物块在A、B两点间的静止位置是轻质弹簧的最大压缩量与最大伸长量的平衡位置，因此有解得A正确，BCD错误。故选A。2．如图所示，A、B两轻质弹簧原长分别为l1和l2，劲度系数分别为k1和k2，竖直地悬挂在天花板上，两弹簧之间连接有一质量为m1的物体，最下端挂着质量为m2的另一物体，整个装置处于静止状态。现用一个平板把下面的物体m2缓慢向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧原长之和，则（）A．原来整个装置处于静止状态时，B弹簧的伸长量是B．此时A弹簧处于压缩状态，B弹簧处于拉伸状态C．此过程m2上升的高度是D．此过程m1上升的高度是【答案】C【详解】A．托起前，A、B两个弹簧的形变量分别为故A错误；BC．托起后，若两个弹簧的总长度等于两弹簧原长之和，由m1平衡知此时A弹簧处于拉伸状态，B弹簧处于压缩状态，且两弹簧的形变量相等，设该形变量为x，由平衡条件得k1x+k2x=m1g此过程m2上升的高度是故B错误，C正确；D．此过程m1上升的高度是故D错误。故选C。3．劲度系数不同的两个轻质弹簧、如图所示悬挂了质量为和两块橡皮泥，整个装置保持静止时，弹簧的长度与弹簧的长度相等。则（）A．弹簧的原长比弹簧原长短B．在上取粘在处，弹簧长度不变C．在上取粘在处，弹簧和弹簧的总长不变D．在上取粘在处，弹簧长度变长【答案】B【详解】A．对m2受力分析，根据胡克定律，有对m1和m2组成的整体受力分析，根据胡克定律，有可知由于两段弹簧的劲度系数关系未知，所以无法判断它们的原长。故A错误；B．在上取粘在处，对于弹簧，有可知即弹簧长度不变。故B正确；C．同理，对于弹簧b，有可知即弹簧b长度变长。综上所述，弹簧和弹簧的总长变长。故C错误；D．在上取粘在处，对弹簧，有即弹簧长度不变。故D错误。故选B。二、填空题4．如右图所示，一劲度系数为k1的弹簧，竖直地放在桌面上，上面压一质量为m的物体。其上、下端分别与物和桌面相连。另一劲度系数为k2的弹簧竖直地放在物体上面，其下端与物体的上表面连接在一起，两个弹簧的质量都不计，要想使物体在静止时下面弹簧的弹力减为原来的时，应将上面弹簧的上端A竖直向上提高一段距离d，其值d=。【答案】，【详解】初始状态，k1处于压缩状态，由胡克定律可得压缩量下面弹簧的弹力减为原来的，有两种情况：第一种情况，k1处于压缩状态，有压缩量恢复量为k2处于伸长状态伸长量上面弹簧的上端A竖直向上提高的距离为第二种情况，k1处于伸长状态，有伸长量恢复量k2处于伸长状态伸长量上面弹簧的上端A竖直向上提高的距离为5．如图所示，两个弹簧的质量不计，Q、P两弹簧劲度系数分别为、，它们一端固定在质量为m的物体上，另一端分别固定在Q、P上，当物体平衡时上面的弹簧处于原长，若把固定的物体换为质量为的物体（不更换弹簧，且弹簧均在弹性限度内），当物体再次平衡时，物体所受的合力（选填“增大”“不变”或“减小”），物体比第一次平衡时的位置下降了。【答案】不变【详解】[1]当物体平衡时，所受合力为零，当物体再次平衡与第一次平衡时所受的合力相等，均为零。[2]当物体的质量为m时，据平衡条件可得解得下方弹簧被压缩的长度为当物体的质量变为2m时，设物体下降的高度为x，则上方弹簧伸长量为x，下方弹簧压缩量为，两弹簧弹力之和等于2mg，由胡克定律和平衡条件可得联立解得6．两个劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧a、b串接在一起，a弹簧的一端固定在墙上，如图所示，开始时两弹簧均处于原长状态，现用水平力作用在b弹簧的P端向右拉动弹簧，已知a弹簧的伸长量为L，则b弹簧的伸长量为。【答案】【详解】两个轻质弹簧a、b串接在一起，两弹簧中弹力相等，有解得【点睛】本题考查了胡克定律、力的平衡条件。7．如图所示，轻质弹簧两端分别与和两质点拴接，放在水平地面上，压在竖直的弹簧上，。当整个装置静止时，距地面的高度为，用竖直向上的力缓慢上提，使刚好要脱离地面，大小等于倍的。若此时距地面的高度，则此弹簧自然伸长时的长度为。【答案】4【详解】[1]设弹簧劲度系数为k，由整体法，M刚好离开地面时，系统受力如图所示根据平衡条件有[2]此时弹簧处于伸长状态，M受力平衡，弹簧受到的弹力为初始时弹簧处于压缩状态，且弹力又M=3m，则则有根据题意知解得弹簧原长为8．如图所示，劲度系数为k2的轻质弹簧，竖直放在桌面上，上面压一质量为m的物块，劲度系数为k1的轻质弹簧竖直地放在物块上面，其下端与物块上表面连接在一起，现想使物块在静止时，下面弹簧承受物重的，应将上面弹簧的上端A竖直向上提高的距离。【答案】【详解】末态时物块受力分析，其中F1′与F2′分别是弹簧k1、k2的作用力，物块静止有F1′+F2′=mg初态时，弹簧k2（压缩）的弹力F2=mg末态时，弹簧k2（压缩）的弹力F2′=mg则F1′=mg弹簧k2的长度变化量初态时，弹簧k1（原长）的弹力F1=0弹簧k1的长度变化量所求距离为9．在“探究弹力与弹簧伸长量的关系”实验中，由实验测得某弹簧所受弹力F和弹簧的