2022年新高考数学抢分攻略：04 平面向量与复数（解析）

04平面向量与复数

高考预测

题型预测选择题、填空题☆☆☆☆

考向预测向量的运算、复数的运算

应试攻略

平面向量与复数是高中数学的重要内容，从近几年高考试题中可以看出，平面向量与复数是每年的必

考内容之一，且占有一定的分值比重.

1.从题型角度看，可以是选择题、填空题，分值10分左右，着实不少！

e知识必备

课程标准命题解读

1.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义，理解平面向量考查形式：一般两个选择题或

的几何表示和基本要素.一个选择题，一个填空题.

2.掌握平面向量加、减、数乘运算运算及运算规则，理解其几考查内容：向量的线性运算及

何意义.其几何意义；向量加、减、数

3.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量乘及向量共线的坐标表示；两

的数量积.个向量的数量积的运算、夹角

4.理解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解公式、垂直问题.复数的定义、

及坐标表示.几何意义、共掘复数、复数的

5.能用坐标表示平面向量的数量积及共线、垂直的条件，会求模、复数相等及复数的四则运

两个平面向量的夹角.算.

6.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他备考策略：⑴熟练应用三角形、

实际问题.平行四边形法则，进行向量的

7.了解数系的扩充，理解复数的代数表示及其几何意义，理解线性运算，熟练掌握向量的数

两个复数相等的含义.量积运算，能解决向量的模、

8.掌握复数的表示、运算及其几何意义，掌握复数代数表示的夹角、垂直问题.

四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.(2)熟练掌握复数的四则运算、

复数的模及其几何意义.

核心素养：数学抽象、数学运

算.

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有大小又有方向的量:向量的大小向量由方向和长度确定，不受位置影

向量

叫做向量的长度(或模)响

零向量长度为2的向量其方向是任意的，记作。

单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量。的单位向量为舄

平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行(或共线)

两向量只有相等或不相等，不能比较

相等向量长度相等且方向相同的向量

大小

相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

注意：

⑴要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0.

(2)单位向量有无数个，它们的大小相等，但方向不一定相同.

⑶任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量.

(4)与非零向量a平行的单位向量有两个，即向量言和一言.

2.平面向量的线性运算

法则

向量运算定义运算律

(或几何意义)

交换律：。+力=力+&;

求两个向量和的运a

加法三角形法则结合律：(a+b)+c=a

算

+S+c)

a

平行四边形法则

向量a加上b的相反

向量，叫做a与b的

差,即a-6=a+(一

减法

b).求两个向量差的a

三角形法则

运算叫做向量的减

法

(1)|必=伏网

(2)当2>0时，助的方向

实数2与向量。的积

与a的方向相同;当4<0

数乘是一个向量，这种运(%+//)a=2a+〃a；

时，痴的方向与a的方

算叫做向量的数乘2(a+b)=/la+2b

向相反;当％=0时，Xa

=0

注意：

(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点

的向量，即A1A2+A2A3+A3A4+…+4一iA"=AiA”.特别地，一1个封闭图形，首尾连接而成的向

量和为零向量.

(2)若P为线段的中点，。为平面内任一点，则+曲.

(3)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减

向量的终点指向被减向量的终点.

3.向量共线定理

向量a(a#O)与入共线的充要条件是：存在唯一一个实数九使得

注意：

(1)在向量共线的充要条件中易忽视“aWO”.若忽视，则％可能不存在，也可能

有无数个.

(2)三点共线的等价关系：

A,P,8三点共线台协=加瓦/1工0)台。>=(1一。昂+/加(O为平面内异于A,P,B的任

一点，/GR)台办=xOX+y为(0为平面内异于A,P,B的任一点、,xER,yGR,x+y=l).

4.平面向量基本定理

如果e/,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只

直一对实数九，丸2,使0=&£1土拒绘

若ei，62不共线，我们把｛ei，62｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

理解基底应注意以下三点

(1)基底ei,e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底.

(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一.

、九=〃1,

(3)对于一组基底ei,C2,若a=2iei+22«2=〃1?1+〃202,则jc

，2=〃2.

5.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a=(Xl，yi),b=(X2,)2),则

a-\-b=(xi+x2,yi+y2)，

a-b=(汨-X2，yi—y’2)，

Aa=Uxi,2yi)，|a|=\/好+电

(2)向量坐标的求法

①一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标.

②设A(x”>1),仇尤2,>2)，则筋=(*2一沏，丫2-yi)，X1)2+(V2—yi)2.

(1)向量坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.

(2)栗区分点的坐标与向量坐标，尽管在形式上它们类似，但意义完全不同，向量坐标中

既有方向的信息，也有大小的信息.

6.平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,yi),b=(x2,yi),其中8WO.

a//60乃12一工2丫1=0.

注意:

若。=(九i,y)b=(X2,y2),则的充要条件不能表示成翅=".因为犯，”有可能等于

0,所以应表示为xi”-x2yi=0.

7.常用结论

(1)若a与分不共线，且-a+@=0,则2=〃=0.

(2)已知产为线段AB的中点，若A(x”6),8(X2，)2),则P点坐标为忤产，"；殍).

(3)已知△A3C的顶点为4沏，》),3(X2,>2),其⑶对，则△A8C的重心G的坐标为

(X1+X2+X3+丁2+)。

I3'3\

8.向量的夹角

定义图示范围共线与垂直

已知两个非零向量a，b,0是

设。为a与方的6=0或

平面上的任意一点，作次=a,。二夹角，则。的取

a//b,—

值范围是

OB=b,则NAOB叫做向量a

aYb

与b的夹角0《武兀

9.平面向量的数量积

已知两个非零向量。与瓦它们的夹角为仇我们把数量同劭cos6叫做向量a

定义

与b的数量积(或内积)，记作ab

⑷cos6叫做向量。在b方向上的投影，

投影

糜些包叫做向量力在@方向上的投影

几何

数量积ab等于a的长度⑷与方在a的方向上的投影|b|cos0的乘积

意义

注意：

(1)在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平

移”实现.

(2)两个向量夹角的范围是［0,兀］,在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可

能是0或兀的情况.两个向量a,b的夹角为锐角0a仍>0且a,5不共线；两个向量a,b的

夹角为钝角台。协V0且a,〜不共线.

10.向量数量积的运算律

(l)ab=ba.

(2)3)力珈.

(3)(。+))•c=@-c+bc

(1)栗准确理解数量积的运算律，例如，ab=ac(a^0),不能得出b=c,两边不能约去同

一个向量.

(2)平面向量数量积运算的常用公式.

①(a+8>(a-5)=屋-Z>2.

®(a+b')2=a2+2a-b+b2.

@(a—b)2=a2—2ab+b2.

11.平面向量数量积的性质

己知两个非空向量a=(xi，yi),。=(九2，力)，a,8的夹角为仇则a山=汨正+丫1丫2.

性质几何表示坐标表示

模\a\=\[a^a|a|=^/3±3

八a，b^1^2+\112

夹角cos

、/一+y//J-|-y3

a±b的充要条件。0=0xiX2+yiy2=0

M尤2+yi”|W

|a例与⑷网的关系|a创W回囱

、/(一+♦)(君+行)

12.复数的有关概念

内容意义备注

设a,bGR,形如a+Z?i的数叫做复a+从为实数Cb=0,a+bi为虚数

复数的

数，其中实部为3,虚部为①i叫做0b¥O,a+bi为纯虚数台a=0且

定义

虚数单位

a+历=c+d伏>61=^c月^/?=d(a,b,c,

复数相等

jeR)

共甄z=a+hi,z=c+di<=>a=c且b=—

复数a(a£R)的共掘复数是a

复数d(a,b,c,d£R)

建立直角坐标系来表示复数的平面

实轴上的点都表示实数；除了原点

复平面叫做复平面，X轴叫做实轴,y轴叫

外，虚轴上的点都表示纯虚数

做虚轴

向量旅的模叫做复数z=a+b\{a,\z\=\a+bi\

复数

R)的模，记作R或|a+bi|=-\]a2+b2

注意：

(1)复数构成的集合叫做复数集，记为C.

(2)i"(〃eN*)具有周期性，且最小正周期为4,其性质如下：

①i4"=l(〃WN*),i4,,+1=i(/?GN),i4"+2=_](〃@N),i4,,+3=-i(«£N).

②_|_j4〃+1j4〃+2+j4〃+3=Q

13.复数的几何意义

复数z=a+Z>i(a力€R)---对应-复平面内的点Z(a㈤

注意：

(1)复数加法的几何意义

若复数Zl,Z2对应的向量。2|,应不共线，则复数Z|+Z2是以改1,应为两邻边的平行

四边形的对角线无所对应的复数.

(2)复数减法的几何意义

复数Z1-Z2是欠I一应=芨|所对应的复数.

14.复数的加、减、乘'除运算法则

设zi=a+/?i,Z2=c+di(a,b,c,d6R),则

(1)力口法：zi+z2=(a+bi)~l~(c~l~di)=(a+c)~l~(b~l~J)i.

(2)减法：zi-Z2=(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(Z?—d)i.

(3)乘法：zi-Z2—(。+历)—(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i.

zia+历(a+/?i)(c——di)ac+bdjc-ad..

(4)除法:c+di(c+di)(c-di)/+心，+卢(，

Z2

15.常用结论

91+i1——i—9—)z\\z\\nn

(1土i)=±2i，币=-i，z・z=|zF=|zF，|z1-z2|=|zi||z2|)—=高，\z\=\z\.

1.向量有关概念的关键点

(1)向量定义的关键是方向和长度.

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.

(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.

(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.

(5)零向量的关键是长度为0,规定零向量与任何向量共线.

2.平面向量的线性运算技巧

(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.

(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、

三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.

3.三种运算法则的关注点

(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，平行四边形法则要求“起点相同”.

(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向被减向量.

(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算.

4.证明向量共线的方法

应用向量共线定理.对于向量a,b(b^0),若存在实数入，使得a=?ib,则a与b共线.

5.证明A,B,C三点共线的方法

若存在实数人使得屈=流，则A,B,。三点共线.

6.解决含参数的共线问题的方法

经常用到平面几何的性质，构造含有参数的方程或方程组，解方程或方程组得到参数值.

7.平面向量坐标运算的技巧

(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求

向量的坐标.

(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解.

8.平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a=(xi,yi),b=(X2,y2),则a〃b

的充要条件是xiy2=X2yi”.

(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为zaGER).

9.平面向量数量积的三种运算方法

⑴当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a-b=|a||b|cos〈a,b>.

(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(xi,yi),b=(X2,y2),则a-b=xiX2

+yiy2.

(3)对于数量积与线性运算的综合问题，可先运用数量积的运算律，几何意义等化简，再运

算.

10.求解平面向量模的方法

(1)利用公式⑷=W?+y2

(2)利用|a|="\/滔.

11.求平面向量的夹角的方法

,,.a-b

(1)定义法：£：050=面质,0的取值范围为[0,71].

x\xi+y\y2

(2)坐标法：若4=(X1,yi),8=(X2,)2),则cos6=

⑶解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.

12.两向量垂直的应用

两非零向量垂直的充要条件是：alb^ab=Q<^\a-b\=\a+b\.

13.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，

得到三角函数的关系式，然后求解.

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思

路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.

14.平面向量的最值一般有两种处理方法

(1)几何法：充分利用几何图形的特征，结合向量的线性运算和向量的数量积运算解决.

(2)代数法：将平面向量的最值转化为坐标运算，建立目标函数，利用代数方法解决.

15.解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需

把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

(2)解题时一定要先看复数是不是a+bi(a,b^R)的形式，以确定实部和虚部..

16.复数几何意义问题的解题策略

(1)复数z、复平面上的点Z及向量近间的相互联系：z=a+bi(a,bGR)<=>Z(a,b)«6^=

(a,b).

(2)由于复数、点、向量之间建立了——对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联

系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题简单化.

17.求解复数除数问题的注意点

除法的关键是分子、分母同乘分母的共轨复数，解题中要注意把i的赛写成最简形式.

典例剖析

一、平面向量的线性运算

~~记牢向量共线问题的4个结论

⑴若a与8不共线且觞=〃6,则4=〃=0；

(2)直线的向量式参数方程：A,P,8三点共线台5>=(1—。方+，治(0为平面内任一点,

PR);

(3)a4=AaB+/z(9Ca，〃为实数)，若A,B,。三点共线，则2+〃=1；

(4)若a=(xi,yi),方=(短,丫2),则a//b^x\y2=xiy\,当且仅当X2”W0

时，。〃“喘力

ED

例1、“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商X/

高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了/X.

500多年.如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5"，且AB=3,E为ADj-----------

上一点，BE1AC.^BE=ABA+gBC，则入+u的值为()

io92529

AA-VDB-8C.五nD.-

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的基本定理及其应用，考查平面向量的坐标运算、向量垂直的坐标表示，考查数形结合

思想，考查分析与计算能力，属于中档题.

由题意建立直角坐标系，得到4(0,3),B(0,0),C(4,0),根据向量的坐标运算求解即可得到答案.

【解答】

解：由题意建立如图所示的直角坐标系，

因为AB=3,由题意知BC=4,

则4(0,3),8(0,0),C(4,0),

设E(a,3),则而=(4,-3).~BE=(a,3),

因为BEJLAC,

所以近•丽=(4,-3)•(a,3)=4a—9=0,

解得a=4

由泰=2耐+〃后乙得(/3)=2(0,3)+〃(4,0),

A_2fA=1

所以(的,,一4,解得〃_2，

(32=3I“一五

所以4+〃=称，

16

故选C.

例2、(多选题)下列命题中正确的是()

A.|a|—|b|<|a—b|

B.复平面内，虚轴上的点对应的都是纯虚数

C.已知团ABC,向量需f+高三与向量反垂直

|AB|cosB|AC|cosC

i).非零向量二和6，满足同=同=伺—6|,则五与w+6的夹角为已

【答案】CD

【解析】

【分析】

本题考查了向量的几何运用，向量的夹角，复数的几何意义，属于和中档题.

运用相关知识，逐一判断即可.

【解答】

解：对于选项A,令方=6,则I五I一向=I五一方I，故4错误；

对于选项8,原点在虚轴上，但是对应实数0,故8错误；

对于选项C

AB国.困COK®-/?)国1J网roesC

)-BC==--------+---------|B?

OKB|.4C|co«C|右最B+|i?|cos'C

,则向量幕w+费与向量近垂直,故C正确;

对于选项。，设非零向量五、石夹角为仇则，|五-或2=五2+片一2|中|B|COS。，

•.­|a|=|K|=|a-K|-用|五|代换上式的IEI和I苍-

得到cos8=｝得6=60。，2+B的方向与之豆角平分线位于同一直线.♦・方与苍+方的夹角为30°,故。正确.

例3、如图，在△ABC中，点P满足加=2无，过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于

点M,N若丽［=入源，AN=HAC,(A>0,|1>0),则入+U的最小值为

【答案】1+警

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的基本定理，利用基本不等式求最值，属于中档题.

可画出图形，根据条件可得出而=5宿+高而，进而可得出5+^=1,从而得出，+〃=1+芸+2,

3/13〃345A.

然后根据基本不等式即可得出4+〃的最小值.

【解答】

解：如图，连接4P,

■■~BP=2PC.AM=AAB,AN=f^AC，且4>0,〃>0,

.-.AP=AB+|BC=而+1(就一而)=萍+|而

=点祠+看前，

且M,P,N三点共线,

1,2_

:.--4----=1.

3A3〃

二A+4=(2+〃)舄+叁

==+刍+2+2依】+争

33g3A3

当且仅当M=s时取等号，

3/Z3/1

.•"+〃的最小值为1+绢

故答案为1+好

例4、如图，斜坐标系xOy中，百，4分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且可，石的夹角为120。,

定义向量OP=xe7+在斜坐标系xOy中的坐标为有序数对(x,y).在斜坐标系xOy中完成下列问题:

(1)若向量而的坐标为(2,3),计算|而|的大小；

(2)若向量而的坐标为(X],%),向量丽的坐标为(X2，y2)，判断下列两个命题的真假，并说明理由.

命题①:若而i〃而，则X】y2-X2yi=0；命题②:若J.而，则X1X2+y02=0.

【答案】解：(1)由题知而=(2,3)=2瓦+3同，

故廊|==J(2京'+3J)2=J4e；24-12e；­e；+9e；2=夕；

(2)由题知50=X]瓦'+为石，O7V=%2+y262,

命题①是真命题.

a.当ON=%2京*+丫2^2=。时，即X?=丫2~~°，显然彳1丫2—*2旷1=°；

b.当而=%2瓦+、2石彳6时，即X2，丫2至少一个不为0，不妨设丫2*0，

若丽〃而，则存在4eR,使得两=4而，

故修百+或=A(%2宙+及豆)，

即(打—Ax2)国+(力—Ay2)瓦=0,

因为而无不共线,所以｛"敬二；,

由4=£，代入X1-4%2=0得”1一自“2=°,即尤1丫2-工2丫1=d

综上所述，命题“若丽〃而，则X/2-皿丫1=0”是真命题.

命题②是假命题.

令两的坐标为(1,2),而的坐标为(1,0),则丽=宣+2蒜，而=区，

因为丽.而=(瓦*+2玩)•国=百+2区•乐=0,所以画1而，

此时Xi*2+丫1丫2=1*0,

所以，命题“若丽1丽，则打工2+乃丫2=0"是假命题.

【解析】本题考查对斜坐标系的理解，考查向量的数量积的运算，向量的模，向量的平行与垂直的充要条

件，属中档题.

(1)根据已知条件可得加=2瓦(+3宅，利用向量的数量积计算即可；

(2)①分而=右5+光行=6，和面=%2百+为行两种情况，根据向量共线的充要条件可证明命题

为真；

②举反例可证得命题为假命题.

二、平面向量的数量积

平面向量的数量积的运算的2种形式

(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通

过选择易求夹角和模的基底进行转化；

(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思

想解决问题，化形为数，使向量问题数字化.

例1、已知平面向量二，6，且满足白石=同=|6|=2,若3为平面单位向量，则|白二+6.3|的最大值

()

A.3B.2V3C.4D.3V3

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了向量的运算、数量积的应用和向量模的求解，属于中档题.

利用小石=|a|=\b\=2求出|方+可，然后求|1•3+3峭|的最大值.

【解答】

解：因为1•b=|方|=|b|=2，

所以|五+牛=yja2+2a-b+b2

=V4+4+4=2V3，

设向量1+石与单位向量前勺夹角为a，

则|1•3+b•31-|(a+b')-e\=\a+b||e||cosa|=2V3|cosa|»

所以当cosa=±l,即a=0或n•时，|五.3+鼠有最大值2遍.

故选B.

例2、(多选题)已知五与6为单位向量，且3，百向量太满足R—可=2,则圈的可能取值有()

A.2B.3C.4D.5

【答案】AB

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积，以及与圆有关的轨迹问题，关键是建立坐标系，利用向量的坐标运算分析，属于

中档题.

根据题意建立以。为坐标原点，刃的方向为x轴正方向，说的方向为y轴的正方向的坐标系，利用向量的坐

标运算得到了-a-K=(x-l,y-l)，再根据

\c-a-b\=2,即可得到C是在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，则|印的取值范围可求.

【解答】

解：根据题意，设万？—a-08=b,0C=c,

以0为坐标原点，成的方向为x轴正方向，曲的方向为y轴的正方向建立坐标系，

则?1(1,0),5(0,1),设C(x,y),

则3—a—b=(x—l,y-1)<

若|/-力_石|=2，则有(x-+(y_1)2=4,

则C在以(L1)为圆心，半径为2的圆上，

设圆心(1,1)为点M,则|。用|=夜，则有r-|0M|W|0C|Wr+|0M|,

即2-&W\0C\<2+V2,

则归|的取值范围为［2-々,2+周;

故选项中符合条件的有/B,

故选A8.

例3、如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD,ZADC=90°,AB=3,AD=夜，E为BC中点，若屈.前=3,则

AE-BC=—

【答案】-3

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算，主要考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于基础题.

以4为坐标原点，AB,4D所在直线为x,y轴，建立直角坐标系，由向量的数量积的坐标表示即可得到所求

值.

【解答】

解：以4点为原点，4B所在的直线为x轴，40为y轴，建立如图所示的坐标系，

--AB=3,AD=a，E为BC中点,

.••4(0,0),8(3,0),D(0,V2),

设C(x,&),

.-.AB=(3,0).AC=(x,V2),

-AB-AC=3,

・,・3%=3,

解得％=1,

C(l,a)，

为BC中点，

•••E(等,竽)，即为(2号,

AE=(2,y),BC=(-2.V2)，

：.AEJC=2%(-2)+^xV2=-4+l=-3

故答案为：—3.

例4、如图，在△ABC中，已知CA=1,CB=2,zACB=60°.

⑴求|向I；

(2)已知点D是AB上一点，满足前=人熊，点:E是边CB上一点，满足屁=入近.

①当入=：时，求族.而；

②是否存在非零实数入，使得廉1而？若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)A4BC中，CA=1,CB=2,44cB=60°,

由余弦定理得，

AB2=CA2+CB2-2CA-CB-cos^ACB

=12+22-2xlx2xcos60。

=3.

AB=V3.即|而|=V3;

(2)①；1=(时，AD=^AB,BE=^BC,

•••D、E分别是4B,CB的中点，

•■AE=AC+'CE=-CA+-2CB,

CD=|(M+CB),

AAE-CD=(-04+*).(2+避)

[,2i'"■>i>2

=--CA--CBCA+-CB

244

=-ixl2--x2xlxcos60°+ix22

244

_1

=4；

②假设存在非零实数九使得而1前，

由而=2同，得而=2(方一石?)，

.-.CD=CA+AD=CA+A(CB-CA)

=ACB+(1-A)C4;

又而=AFC.

■■■AE^AB+BE=(CB-CA^+2(-CB)

=(1-2)CB-G4;

•.AE'CD=A(1-A)CB-AC^-C4+(1-A)2C^-C4-(1-A)C;4，

—4A(1—A)—A4~(1—A)2一(1—A)

=-3A2+24=0,

解得4=|或;I=0(不合题意，舍去)；

即存在非零实数入=|,使得版1CD.

【解析】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性

题目.

(1)利用余弦定理求出4B的长即得|AB|:

(2)①2=［时，D、E分别是4B,CB的中点，求出荏、而的数量积即可；

②假设存在非零实数;I，使得荏J.而，利用方、褊分别表示出而和南，求出荏•丽=0时的4值即可.

三、平面向量与“四心”

在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和

几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问

题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系.应用向量相关知识，可以

巧妙地解决三角形四心所具备的一些特定的性质.

例1、外心问题已知0是△ABC内一点，若|加|=|而|=|玩则0是△AB(^J()

A.重心B.内心C.外心D.垂心

【答案】C

【解析】解：。是△4BC内一点，且|万？|=|布|=|走可知。到顶点48,C距离相等，所以。是AABC

的外心.

故选：C.

利用三角形的外心定义判断即可.

本题考查三角形的外心的判断，是基础题.

例2、内心问题设。是平面上一定点,4B,C是平面上不共线的三点,动点P满足丽=嬴+4喘+箭，

26[0,+8),则点P的轨迹经过()

A.△ABC的外心B.△ABC的内心

C.△ABC的重心D.△ABC的垂心.

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了向量的减法以及几何意义，理解喘，言的几何意义是解题的关键，是一般题.

先根据黑、需分别表示向量而、前方向上的单位向量，确定罚-市=而，判断而与Nb4c的角平分线

1明14cl

的关系推出选项.

【解答】

解：端篇分别表示向量殖配方向上的单位向量,

+静的方向与NB4c的角平分线重合，

义••丽=殖+”儒+热可得到丽-鼐=而=，儒+韵

二向量而的方向与484c的角平分线重合，

二动点P的轨迹•定通过AABC的内心.

故选公

例3、重心问题A,B,C是平面上不共线的三点，0为AABC所在平面内一点，D是AB的中点，动点P满

足丽=|[(2-2A)0D+(1+2A)0C](XeR),则点P的轨迹一定过AABC心(内心、外心、垂心或重心

).

【答案】重心

【解析】

【分析】

本题考查平面向量基本定理的应用，属于中档题目.

【解答】

解：r4、8.C是平面上不共线的三点，

。为AaBC的中心，。是AB的中点，

动点P满足而=1[(2-22)00+(1+22)0C](AeR),

Kj(2-2A)+i(l+2A)=l,

:.P、C.D三点共线，

•••点P的轨迹一定过△ABC的重心.

故答案为重心.

例4、垂心问题已知H为△ABC的垂心，且UH=xCB+yCA.AH=mAB+nAC，3x+y=1.4m+n1,

则B=.

【答案】45°

【解析】解：CA=xCB+yCA-mAB-nAC=xCB+yCA-m(CB-CA)-nAC>

整理得，(l-y-n-m)CA=(x-m)CB.因为不，而不共线，

(1—y—n-m=0

因此

:—m=0

1

y=-

z2

又因为3x+y=l,4m4-n=1,解得《1•

m=-

6

Vn=3

AHBC=(mAB+nAC)-BC=0

因为“为△ABC的垂心，所以

CH-AB=(xCB+yCA)AB=0

mccosB=nbcosC

整理得

:xacosB=ybcosA

222

cosA=d+c-a

2bc

a2+c2-b2-a2-3b2+3c2=0

结合<cosB=•可得｛

2ac2a2-2b2—c2=0

a2+b2-c2

cosC=

2ab

l2=-b2

解得5

c2=皖

5

l2^2_20

a2+c2-b2bbb

则COSB="行一即”讨，

2ac

故答案为：45°.

由题意利用平面向量基本定理和余弦定理求得cosB的值即可确定的大小.

本题考查了向量的线性运算，考查/向量的数量积，考查了余弦定理.本题的难点是垂心这一条件的应用.本

题关键是求出参数的值.

四、复数

掌握复数代数形式的运算的方法

(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不

含i的看作另一类项，分别合并同类项即可；

(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共朝复数，解题时要注意把i的寨写成最

简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化

例1、满足条件|Z|=1及卜+,=卜一||的复数2的集合是()

AH+学，-A争｝B.｛那KT

C｛"争净｝住+争片-制

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查复数的模的运算，属于基础题.

(x2+y2=1,

设2=x+yi(x,y6R),依题意得，/八2,^2

((X+-)+y2=(x--3)+y2,

求出戊，y的值即可.

【解答】

解：设2=x+yi(x,yWR),

(x2+y2=1,

依题意得/1\22/3、22

l(x+2)+y=(r)+y'

x=-,

解得

。=±飞三，

所以Z=-+—i.

2~~2

故选C.

例2、(多选题)已知Z=a+bi(a,beR)为复数，2是其共物复数，则下列命题一定正确的是()

A.z2=|z|2B.z-z—|s|2

C.若z2为纯虚数，贝i」a=bKOD.复数z是实数的充要条件是z=2

【答案】BD

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算和相关概念，充要条件的判断，属于中档题.

通过举出z=l-i,判断A错误；由于2=a-bi,利用复数的运算判断8正确；利用复数的运算以及复数

为纯虚数的条件是实部等于零且虚部不等于零判断C错误；利用复数为实数的条件是虚部等于零判断。正

确.

【解答】

解：设2=。+儿，(a,bG/?)

对于4,若z=l—3则z?=—2i,|z『=(或)2=2,

所以z2Hlz|2,4不一定正确；

对于B,z=a—bi,所以z•芝=a1+62,

则|z『=|a+bi\2=a2+b2,

所以z《=|z『，B一定正确；

对于C,因为■：=a+加(a,beR),

所以12=(a+bi)-(a+bi)=a1—b2+2abi,

因为Z2为纯虚数，

所以a2—4=0且2&匕片0,

解得a=b彳0,或a=—b彳0,故C选项错；

对于D,由z是实数，显然可得z=7,

再由a+bi=a-bi,得b=0,故。正确.

故选BD.

例3、已知复数甲的共物复数是b+i(其中a,b均为实数，i为虚数单位)，则|a+bi|等于

【答案】V2

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算法则、共辄复数的定义、复数相等，属于基础题.

利用复数的运算法则、共枕复数的定义、复数相等即可得出.

【解答】

解：r复数学=一出+1的共朝复数l+ai=b+i,

1・b=1,Q=1,

A\a+bi\=|14-i|=V2;

故答案为位.

1

例4、已知复数z=_I-+(-三+兽).

(I)求复数Z的模；

(II)若复数z是方程2x2+px+q=。的一个根，求实数P和q的值.

【答案】解：(I)z=/)4-(―-4--f)=i—if4-(