新教材2023年秋高中数学第2章直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.2两点间的距离公式学生用书无答案新人教A版选择性必修第一册

2.3.2两点间的距离公式学习任务1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(数学抽象)2．会用坐标法证明简单的平面几何问题．(逻辑推理)知识点两点间的距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x2(2)两点间距离的特殊情况①原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝x2②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝____________．③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝____________．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝x1-已知点P1(4，2)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝________．类型1求两点间的距离【例1】(源自北师大版教材)如图所示，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)．(1)试判断△ABC的形状；(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．[尝试解答]计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝x2(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．[跟进训练]1．(1)已知点A(－3，4)，B(2，3)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；(2)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．类型2坐标法的应用【例2】如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：|AB|2＝AD2＋|BD|·|DC|[思路导引]建立适当的坐标系→写出相关点的坐标→利用两点间的距离公式求距离→证明．[尝试解答]坐标法及其应用(1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．(2)利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：①建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；②用坐标表示有关的量；③将几何关系转化为坐标运算；④把代数运算结果“翻译”成几何关系．[跟进训练]2．已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．求证：|AC|＝|BD|．类型3对称问题光的反射问题【例3】一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．[尝试解答]1．对称问题的解决方法(1)点关于点对称：点关于点的对称问题是最基本的对称问题，用中点坐标公式求解．点M(a，b)关于点(x0，y0)的对称点为M′(2x0－a，2y0－b)；(2)直线关于点对称：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再用两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用直线平行，由点斜式得所求直线方程；(3)点关于直线对称：点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2，y2)可由y2-(4)直线关于直线对称：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的求法：转化为点关于直线对称，在直线l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点式求出直线l2的方程．2．根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解．[跟进训练]3．(2022·潍坊市期末)如图所示，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是()A．210B．6C．33D．25利用对称解决有关最值问题【例4】在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q．使得：(1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大；[尝试解答](2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小．[尝试解答]利用对称性求距离的最值问题由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．[跟进训练]4．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3，4)，则|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是()A．10B．11C．12D．131．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为()A．1 B．－5