新高考数学考前冲刺练习卷03（原卷版+解析版）

新高考数学考前冲刺练习卷高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知，则（

）A． B． C． D．3．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（

）A． B． C． D．4．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（

）A．寸 B．2寸 C．寸 D．3寸5．将甲、乙等5名志愿者分配到4个社区做新冠肺炎疫情防控宣传，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，则甲、乙二人去不同社区的概率为（

）A． B． C． D．6．已知函数的最小正周期，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数的说法错误的是（

）A．函数的图像关于直线对称B．函数在上单调递减C．函数在上有两个极值点D．方程在上有3个解7．已知，，，则（

）A． B． C． D．8．已知等腰直角的斜边分别为上的动点，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点均在球的球面上，则球表面积的最小值为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在正方体中，点P为线段上的一个动点（不包含端点），则（

）A．B．直线PC与直线异面C．存在点P使得PC与所成的角为60°D．存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60°10．函数，下列说法正确的是（）A．存在实数，使得直线与相切也与相切B．存在实数，使得直线与相切也与相切C．函数在区间上单调D．函数在区间上有极大值，无极小值11．已知是抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，交准线于点，则下列说法正确的是（

）A．以为直径的圆与轴相切B．若抛物线上的点到的距离为2，则抛物线的方程为C．D．的最小值为12．已知函数，的定义域均为，其导函数分别为，．若，，且，则（

）A．函数为偶函数 B．函数的图像关于点对称C． D．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中的常数项为___．（用数字作答）14．已知圆及圆，若圆上任意一点，圆上均存在一点使得，则实数的取值范围是______.15．与曲线和都相切的直线方程为__________.16．椭圆：的左，右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围是_________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）记为数列的前项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)证明：．18．（12分）在中，角所对的边分别为，且.(1)求证：；(2)求的最小值.19．（12分）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，为等边三角形，，为的中点，为的中点，为线段上的动点，平面．(1)请确定点在线段上的位置；(2)求平面和平面所成二面角的正弦值．20．（12分）李医生研究当地成年男性患糖尿病与经常喝酒的关系，他对盲抽的60名成年男性作了调查，得到如下表统计数据，还知道被调查人中随机抽一人患糖尿病的概率为.经常喝酒不经常喝酒患糖尿病4没患糖尿病6(1)写出本研究的列联表，依据小概率值的独立性检验，判断当地成年男性患糖尿病是否和喝酒习惯有关联？(2)从该地任选一人，表示事件“选到的人经常喝酒”，表示事件“选到的人患糖尿病”，把与的比值叫“常喝酒和患糖尿病的关联指数”，记为.（ⅰ）利用该调查数据求的值；（ⅱ）证明：.参考公式及数表：，0.150.10.050.010.0050.0012.0722.7063.8416.6357.87910.82821．（12分）已知双曲线，点与双曲线上的点的距离的最小值为．(1)求双曲线E的方程；(2)直线与圆相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程．22．（12分）已知函数．(1)判断在区间上的单调性；(2)若恰有两个不同的零点，，且，证明：．新高考数学考前冲刺练习卷数学·全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先求出集合和集合，再利用集合间的运算即可求出结果.【详解】由，得到，所以集合，又由，得到或，所以集合或，所以，所以.故选：B．2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由复数的四则运算，求出，再得到共轭复数.【详解】由，有，所以.故选：D3．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.【详解】依题意，，于是，所以.故选：A4．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（

）A．寸 B．2寸 C．寸 D．3寸【答案】C【解析】由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案．【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为18寸，下底面半径为6寸，高为18寸．积水深9寸，水面半径为寸，则盆中水的体积为（立方寸）．平地降雨量等于（寸．故选：C．5．将甲、乙等5名志愿者分配到4个社区做新冠肺炎疫情防控宣传，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，则甲、乙二人去不同社区的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】部分均匀分组问题，5个人去4个社区，只能是的形式，据此先算出基本事件总数，再求出甲、乙去相同的社区的事件数，利用古典概型公式和对立事件的定义求解.【详解】5个人去4个社区，只能是的形式，分组的情况总数为，再把这些分组分配到四个不同地方，有种情况，因此基本事件总数为；甲、乙去相同的社区的情况有：种，由对立事件可得甲、乙二人去不同社区的概率为：.故选：C.6．已知函数的最小正周期，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数的说法错误的是（

）A．函数的图像关于直线对称B．函数在上单调递减C．函数在上有两个极值点D．方程在上有3个解【答案】D【解析】由题可得，.A选项，将代入，验证其值是否为可判断选项；B选项，由在上的单调性可判断选项；C选项，由在上的极值点可判断选项；D选项，验证在上是否有3个解可判断选项.【详解】由题.的图像向右平移个单位长度后对应的解析式为，因其过原点，则，结合，可得.A选项，，则的图像关于直线对称，故A正确；B选项，时，，因，在上单调递减，则在上单调递减，故B正确.C选项，时，.令，因，，则函数在上有两个极值点，故C正确；D选项，时，.由，可得，则方程在上有2个解，故D错误.故选：D7．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据对数的运算，计算可得，则.构造函数，根据导函数得到函数的单调性，即可得出，根据对数函数的单调性即可得出；先证明当时，.然后根据二倍角公式以及不等式的性质，推得.【详解】因为，所以，.令，，则，当时，，所以在上单调递增，所以，所以.因为在上单调递增，所以；令，则恒成立，所以，在R上单调递减，所以，当时，有，即，所以.因为，所以，所以.所以.故选：B．【点睛】方法点睛：对变形后，作差构造函数，根据导函数得到函数的单调性，即可得出值的大小关系.8．已知等腰直角的斜边分别为上的动点，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点均在球的球面上，则球表面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题设共圆（不与重合），进而确定，找到△，四边形外接圆圆心，由棱锥外接球、面面垂直的性质确定球心位置，设且，求外接球半径最小值，即可得结果.【详解】由点均在球的球面上，且共圆（不与重合），所以（不与重合），又为等腰直角三角形，为斜边，即有，如上图，△、△、△都为直角三角形，且，由平面图到立体图知：，，又面面，面面，面，所以面，同理可得面，将翻折后，的中点分别为△，四边形外接圆圆心，过作面，过作面，它们交于，即为外接球球心，如下图示，再过作面，交于，连接，则为矩形，综上，，，则为中点，所以，而，，令且，则，故，，所以球半径，当时，，故球表面积的最小值为.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在正方体中，点P为线段上的一个动点（不包含端点），则（

）A．B．直线PC与直线异面C．存在点P使得PC与所成的角为60°D．存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60°【答案】ABD【解析】由线面垂直的判定定理可判断A；证明平面，PC平面，可判断B；求出PC与所成的角的最大值恒小于60°可判断C；求出PC与底面ABCD所成的角为60°时，的长度可判断D.【详解】对A，在正方体中，易得，底面，平面，，，平面，则平面，因为平面，所以，故A正确；对B，因为平面，平面，平面，且，所以直线PC与直线异面，故B正确；对C，因为，所以PC与所成的角即为PC与所成的角，由图可知，当点位于点处时，最大，此时，所以PC与所成的角恒小于60°，故C不正确；对D，过点作平面交直线于点，则，设正方体的边长为，PC与底面ABCD所成的角即为，若，则，则，所以存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60°.故D正确.故选：ABD.10．函数，下列说法正确的是（）A．存在实数，使得直线与相切也与相切B．存在实数，使得直线与相切也与相切C．函数在区间上单调D．函数在区间上有极大值，无极小值【答案】ABC【解析】设切点分别为，根据导数的几何意义列出方程，化简得，解得或，得到公切线的斜率为或，得出切线方程可判定A、B正确；令，求得，令，利用导数求得所以单调递增，得到单调递增，结合，得出在区间上单调递增，可判定C、D错误.【详解】设直线分别与与分别相切于点，则且，所以且，化简得，解得或，当时，可得，即切线的斜率为，且，即切点坐标为，此时切线的方程为；当时，可得，即切线的斜率为，且，即切点坐标为，此时切线的方程为，即，故公切线方程为或，所以选项A、B正确；令，可得，令，可得，所以单调递增，即单调递增，又由，因为，所以，即时，，所以在区间上单调递增，所以C正确；由C知，函数单调递增，所以函数无极值，所以D错误.故选：ABC.11．已知是抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，交准线于点，则下列说法正确的是（

）A．以为直径的圆与轴相切B．若抛物线上的点到的距离为2，则抛物线的方程为C．D．的最小值为【答案】AC【解析】根据抛物线的焦半径公式结合条件可判断AB，设直线的方程，与抛物线联立利用韦达定理法可得以为直径的圆与准线相切进而可判断C，根据圆的弦长公式求出的表达式可判断D，【详解】由题意可得抛物线的焦点，准线方程为，设，则的中点，对于A，，则以为直径的圆的半径为，的中点的横坐标为，所以的中点到轴的距离为，即以为直径的圆与轴相切，所以A正确；对于B，因为抛物线上的点到的距离为2，所以，得，则抛物线的方程为，所以B错误；对于C，设直线的方程为，则的中点，由，得，所以，所以，所以，则以为直径的圆的半径为，的中点的横坐标为，所以的中点到准线的距离为，即以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切，所以为切点，，，故C正确；对于D，，所以当时，取得最小值，所以D错误.故选：AC.12．已知函数，的定义域均为，其导函数分别为，．若，，且，则（

）A．函数为偶函数 B．函数的图像关于点对称C． D．【答案】ACD【解析】由，可设，，由，得，赋值，则有，即，函数的图像关于直线对称，又得，也是周期为4的函数，通过赋值可判断选项【详解】因为，所以．又因为，所以．于是可得，令，则，所以．所以，即函数的图像关于直线对称，即．因为，所以函数的图像关于点对称，即，所以，即，于是，所以函数是周期为4的周期函数．因为函数的图像关于直线对称，所以的图像关于轴对称，所以为偶函数，所以A选项正确．将的图像作关于轴对称的图像可得到的图像，再向右平移3个单位长度，可得到的图像，再将所得图像向下平移2个单位长度，即可得到的图像，因此函数也是周期为4的函数．又的图像关于点对称，所以的图像关于点对称，所以B选项不正确．因为，令，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C选项正确．因为，所以，，，，，则有，可得，所以D选项正确．故选：ACD．【点睛】方法点睛：一般地，若函数的图像具有双重对称性，则一定可以得到函数具有周期性，且相邻的两条对称轴之间的距离为半个周期；相邻的两个对称中心之间的距离也是半个周期；相邻的一条对称轴和一个对称中心之间的距离为四分之一个周期．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中的常数项为___．（用数字作答）【答案】1792【解析】由的展开式通项公式得到符合要求，从而求出答案.【详解】展开式的通项公式，令，得，令无整数解，所以展开式中的常数项为．故答案为：179214．已知圆及圆，若圆上任意一点，圆上均存在一点使得，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】问题转化为为射线与圆交点时，使过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为，则有，为圆半径，即可求范围．【详解】由，即在上运动，而为圆上任意一点，要使圆上存在一点使，即过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为即可，所以，只需为射线与圆交点时，使过点相互垂直的两直线与圆有交点且与两条垂线的夹角均为，如上图，上述两条垂线刚好与圆相切为满足要求的临界情况，所以，只需，为圆半径，即，又，故，可得.故答案为：15．与曲线和都相切的直线方程为__________.【答案】【解析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.【详解】设直线与曲线相切于点，因为，所以该直线的方程为，即，设直线与曲线相切于点，因为，所以该直线的方程为，即，所以，解得，所以该直线的方程为，故答案为：.16．椭圆：的左，右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围是_________.【答案】【解析】根据已知条件求得，根据直线与轴的交点的位置进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.【详解】依题意，，解得，所以椭圆的方程为，由于，，所以是等腰直角三角形，所以，直线的方程为，直线的方程为，设直线与的交点为，与轴的交点为，①当与重合时，，则，所以，解得.②当在之间时，，所以，由解得，，由令，得，所以，所以，整理得，由解得.③当在左侧，则，，设直线与的交点为，由解得，因为，所以，，所以，所以，所以.综上所述，的取值范围是.故答案为：【点睛】求解椭圆的方程，关键点是根据已知条件求得，是个未知数，需要个条件，其中一个条件是，另外的两个条件由题目给出，如本题中的点坐标以及离心率，通过解方程组可求得，进而求得椭圆的方程.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）记为数列的前项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）利用退一相减法可得数列的递推公式，再利用累乘法可得数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求数列的前项和，再根据，即可得证.【详解】（1）由已知①，所以当时，②，①②得，整理可得，则，，，，，，等式左右分别相乘得，又，所以；（2）由（1）得，则，所以，所以，又，所以，所以，即.（12分）在中，角所对的边分别为，且.(1)求证：；(2)求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)最小值为【解析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明.（2）将问题转化，根据第一问解得，然后结合不等式求解.【详解】（1）在中，，由正弦定理得，又，因为,所以,所以,又,所以，且,所以，故.（2）由（1）得，所以，因为，所以，当且仅当即，且，即当且仅当时等号成立，所以当时，的最小值为.（12分）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，为等边三角形，，为的中点，为的中点，为线段上的动点，平面．(1)请确定点在线段上的位置；(2)求平面和平面所成二面角的正弦值．【答案】(1)点是线段上靠近点的四等分点(2)【解析】（1）根据线面平行的性质定理可推出.由已知可推得，得出，得到.然后根据，即可得出；（2）先证明，然后根据面面垂直的性质推得平面.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标.然后求出平面和平面的法向量，根据法向量求出二面角的余弦值，进而即可求出正弦值.【详解】（1）如图1，连接与相交于，连接，连接与交于点.∵平面，平面平面，平面，∴.∵，，∴，∴，∴.∵，∴，∴.∵，∴，∴点是线段上靠近点的四等分点.（2）如图2，取的中点，连接，，∵四边形为边长为2的菱形，，∴，为等边三角形.∵，为等边三角形，∴.∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.∵为等边三角形，，∴，可得，，两两垂直.建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，，，，，，，，，设平面的法向量为，由，，有，取，，，可得.设平面的法向量为，由，，有取，，，可得.所以，，，所以，所以平面和平面所成二面角的正弦值为．（12分）李医生研究当地成年男性患糖尿病与经常喝酒的关系，他对盲抽的60名成年男性作了调查，得到如下表统计数据，还知道被调查人中随机抽一人患糖尿病的概率为.经常喝酒不经常喝酒患糖尿病4没患糖尿病6(1)写出本研究的列联表，依据小概率值的独立性检验，判断当地成年男性患糖尿病是否和喝酒习惯有关联？(2)从该地任选一人，表示事件“选到的人经常喝酒”，表示事件“选到的人患糖尿病”，把与的比值叫“常喝酒和患糖尿病的关联指数”，记为.（ⅰ）利用该调查数据求的值；（ⅱ）证明：.参考公式及数表：，0.150.10.050.010.0050.0012.0722.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)联立表见解析；当地成年男性患糖尿病与喝酒习惯无关联；(2)；证明见解析.【解析】（1）根据题干填写联立表，再根据卡方公式计算对照数表进行判断即可.（2）根据条件概率公式求出（2）问中对应条件概率，代入式中计算即可.【详解】（1）根据题意可知，患糖尿病的人数为人，这10人中不经常喝酒的有6人，经常喝酒不经常喝酒患糖尿病46没患糖尿病644，因此依据小概率值的独立性检验，当地成年男性患糖尿病与喝酒习惯无关联.（2）（ⅰ）经常喝酒且患糖尿病的人数有4人，则，经常喝酒的人数有10人，则，，经常喝酒且没患糖尿病的人数有6人，则，，；（ⅱ）证明：患糖尿病的人数有10人，则；没患糖尿病的人数有50人，则，，，.（12分）已知双曲线，点与双曲线上的点的距离的最小值为．(1)求双曲线E的方程；(2)直线与圆相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）设是双曲线上的任意一点，先求得，再结合题意即可求得的值，进而即可求出双曲线