新高考数学一轮复习过关训练第09课 函数性质的综合问题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第9课函数性质的综合问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的偶函数，且在SKIPIF1<0单调递增，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于函数SKIPIF1<0是偶函数，在区间SKIPIF1<0上单调递增，所以在SKIPIF1<0上单调递减，由于函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：A.2．（2022·湖南衡阳·三模）定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0为偶函数，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0为偶函数,所以满足SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0是奇函数,所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0即SKIPIF1<0是以4为周期的周期函数.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增.所以SKIPIF1<0故选：A3．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，则在同一个坐标系下函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图像不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是R上的奇函数，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0在R上单调递增，且有唯一零点0，所以SKIPIF1<0的图像一定经过原点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图像相同，不符合题意．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是R上的奇函数，且在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图像可能为选项C；当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图像可能为选项A或B.故选：D．4．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的周期B．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为2C．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减D．方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的所有实根之和为SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不是函数SKIPIF1<0的周期，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的周期，故A错误；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0且单调递增，SKIPIF1<0且单调递减，则SKIPIF1<0单调递增，故C错误；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0且单调递减，SKIPIF1<0且单调递增，则SKIPIF1<0单调递减；且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是奇函数且周期为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B错误；由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，方程SKIPIF1<0的根等价于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点的横坐标，根据SKIPIF1<0的单调性和周期可得，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有两个关于SKIPIF1<0对称的交点，在SKIPIF1<0有两个关于SKIPIF1<0对称的交点，在SKIPIF1<0有两个关于SKIPIF1<0对称的交点，所以方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的所有实根之和为SKIPIF1<0，故D正确.故选：D.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为不小于x的最小整数，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则关于SKIPIF1<0性质的表述，正确的是（

）A．定义域为SKIPIF1<0 B．在定义域内为增函数C．函数为周期函数 D．函数为奇函数【答案】C【解析】解：易知SKIPIF1<0，故定义域为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0选项错误，令SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是以1为周期的函数，故SKIPIF1<0选项正确，SKIPIF1<0项错误，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0选项错误．故选：C．6．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）若存在SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0恒成立，则称函数SKIPIF1<0具有性质P，已知：SKIPIF1<0单调递减，且SKIPIF1<0恒成立；SKIPIF1<0单调递增，存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，则是SKIPIF1<0具有性质P的充分条件是（

）A．只有SKIPIF1<0 B．只有SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都不是【答案】C【解析】SKIPIF1<0：当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，当满足命题SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0具有性质P.SKIPIF1<0：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，当满足命题SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0具有性质P.综上可知命题SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是具有性质P的充分条件．故选：C7．（2022·全国·高三专题练习）定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0上单调递减，若方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有实数根，则方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上所有实根之和是（

）A．30 B．14 C．12 D．6【答案】A【解析】由SKIPIF1<0知函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是R上的奇函数，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的周期为4，考虑SKIPIF1<0的一个周期，例如SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，对于奇函数SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有实数根，则这实数根是唯一的，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调函数，则由于SKIPIF1<0，故方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一实数，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，则方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上没有实数根，从而方程SKIPIF1<0在一个周期内有且仅有两个实数根，当SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0的两实数根之和为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0的所有6个实数根之和为SKIPIF1<0.故选：A.8．（2022·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0.若对任意的正实数SKIPIF1<0和实数SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0综上可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<09．（多选）（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知SKIPIF1<0是定义在R上的偶函数，且对任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0是以2为周期的周期函数B．点SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一个对称中心C．SKIPIF1<0D．函数SKIPIF1<0有3个零点【答案】BD【解析】依题意，SKIPIF1<0为偶函数，且SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是周期为4的周期函数，故A错误；因为SKIPIF1<0的周期为4，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一个对称中心，故B正确；因为SKIPIF1<0的周期为4，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C错误；作函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，所以函数SKIPIF1<0有3个零点，故D正确.故选：BD.10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0是奇函数，SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0是偶函数 B．SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有3个实数根 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】根据题意，可得函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，由函数SKIPIF1<0为偶函数，可得函数SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称，即SKIPIF1<0，所以B正确；由函数SKIPIF1<0是奇函数，可得函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0是以8为周期的周期函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以D不正确；由函数SKIPIF1<0是以8为周期的周期函数，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0一定不是偶函数，所以A不正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，所以C正确.故选：BC.11．（2022·山东·烟台二中模拟预测）请写出一个定义在R上的函数，其图象关于y轴对称，无最小值，且最大值为2．其解析式可以为SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等）（答案不唯一）【解析】根据题中的条件可知函数是偶函数，最大值为2，所以SKIPIF1<0满足题中的条件，再如SKIPIF1<0，再如SKIPIF1<0等等（答案不唯一）.故答案为：SKIPIF1<0或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等）（答案不唯一）.12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0对SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=____________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称，即SKIPIF1<0是偶函数.对于SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.所以函数SKIPIF1<0对SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的周期函数.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故答案为SKIPIF1<0.13．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数SKIPIF1<0为定义在R上的奇函数，满足对SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又因为SKIPIF1<0为定义在R上的奇函数,所以SKIPIF1<0是偶函数，且在SKIPIF1<0上单调递减，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.14．（2022·北京市第五中学三模）已知函数SKIPIF1<0给出下列四个结论：①存在实数SKIPIF1<0，使函数SKIPIF1<0为奇函数；②对任意实数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0既无最大值也无最小值；③对任意实数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0总存在零点；④对于任意给定的正实数SKIPIF1<0，总存在实数SKIPIF1<0，使函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________.【答案】①②③④【解析】如上图分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0时函数SKIPIF1<0的图象，对于①：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0图象如图SKIPIF1<0关于原点对称，所以存在SKIPIF1<0使得函数SKIPIF1<0为奇函数，故①正确；对于②：由三个图知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0既无最大值也无最小值；故②正确；对于③：如图SKIPIF1<0和图SKIPIF1<0中存在实数SKIPIF1<0使得函数SKIPIF1<0图象与SKIPIF1<0没有交点，此时函数SKIPIF1<0没有零点，所以对任意实数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0总存在零点不成立；故③不正确对于④：如图SKIPIF1<0，对于任意给定的正实数SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0即可使函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，故④正确；故答案为：①②④15．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）设SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且对任意实数SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.（1）求证：SKIPIF1<0是周期函数；（2）当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的解析式；（3）计算SKIPIF1<0.【解】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以4为周期为周期函数；（2）任取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）可知SKIPIF1<0为一个周期的函数值，和为0，所以SKIPIF1<0.点睛：本题是奇偶性周期性的综合，利用给出的等式结合奇偶性得出周期，对于SKIPIF1<0这类型的问题利用周期性，主要解决一共包含几个周期，一个周期的和是多少，剩余哪些项可以利用周期求解.【素养提升】1．（2022·全国·高考真题（理））已知函数SKIPIF1<0的定义域均为R，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，代入得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，联立得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的图像关于点SKIPIF1<0中心对称，因为函数SKIPIF1<0的定义域为R，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故选：D2．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题．由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界．从AlphaGo到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的．在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmoid函数SKIPIF1<0即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：SKIPIF1<0．下列关于Sigmoid函数的表述正确的是：______．①Sigmoid函数是单调递增函数；②Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为SKIPIF1<0；③对于任意正实数a，方程SKIPIF1<0有且只有一个解；④Sigmoid函数的导数满足：SKIPIF1<0．【答案】①②④【解析】因为SKIPIF1<0为单调递减函数，所以SKIPIF1<0为单调递增函数，故①正确；因为SKIPIF1<0，所以Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为SKIPIF1<0，故②正确；因为SKIPIF1<0为单调递增函数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，仅当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有且只有一个解，故③错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故④正确．故答案为：①②④.3．（2022·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0.（1）证明函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是递减函数，在SKIPIF1<0上是递增函数；（2）函数SKIPIF1<0，若实数SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值；（3）函数SKIPIF1<0如（2）中所述，SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，若存在实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【解】解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0