第23讲平行垂直

第23讲平行垂直一、平行1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.要点：（1）同一平面内的两条直线的位置:平行与相交.（2）互相平行的两条直线永远没有公共点，两条相交直线有且只有一个公共点.（3）互相重合的直线通常看做一条直线.（4）两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.2.平行线的做法：小学用直尺和三角尺画平行线步骤：一放、二靠、三移、四画.如下图.3.平行线的一个基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.要点：由基本事实可以推出下面的结论成立：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.二、垂线1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O.要点：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CD⊥AB．2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．要点：点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．题型1：平面内两条直线的位置关系1．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或垂直 B．垂直或平行C．平行或相交 D．相交或垂直或平行【答案】C【分析】根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案．【解析】在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行．故选：C【点睛】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类．2．下列说法正确的是（

）A．在同一平面内，两条线段不相交就平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．两条射线或线段平行是指它们所在直线平行 D．两条不相交的直线是平行线【答案】C【分析】根据平面内两条直线的位置关系分别判断．【解析】解：A、在同一平面内，两条线段不相交，也不一定平行，故错误，不合题意；B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，不合题意；C、两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行，故正确，符合题意；D、平面内，两条不相交的直线是平行线，故错误，不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平面内两条直线的位置关系，解题的关键是掌握平行线的定义．题型2：立体图形中平行的棱3．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线的定义，结合正方体的特征直接判断即可．【解析】解：由图可知，与棱平行的棱有，，，故选D．【点睛】本题考查平行线的判断，解题的关键是掌握平行线的定义和正方体的特征．4．已知长方体ABCDEFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（）A．棱EA； B．棱AB； C．棱GH； D．棱GF．【答案】A【分析】首先确定与GC平行的棱，再确定选项即可求解．【解析】解：观察图象可知，与棱GC平行的棱有AE、BF、DH．故选：A．【点睛】本题考查认识立体图形，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，属于基础题．题型3：画平行线5．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可．【解析】解：过AC的中点D作AB的平行线，正确的图形是选项B，故选：B．【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．6．如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【答案】B【分析】先过B，C两点画直线BC，再根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行可求解．【解析】解：如图，根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行，故选：B．【点睛】本题主要考查直线，射线，线段，平行线，掌握过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行的性质是解题的关键．7．如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了．【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】根据平行公理可得答案．【解析】解：由图可得，过直线外一点，能且只能画出一条平行线，这反映了：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．【点睛】本题考查平行公里，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．8．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤：①沿三角尺的边作出直线CD；②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是：．【答案】③②④①【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可．【解析】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①，故答案我③②④①．【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行．题型4：垂线的定义、画法、垂线段最短9．如图，在同一平面内，，，垂足为O，则与重合的理由是（

）A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．垂直于同一直线的两条直线平行【答案】C【分析】根据同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案．【解析】解：，，垂足为O，与重合（同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直），故选：D．【点睛】此题主要考查了垂线的性质，正确把握定义是解题关键．10．在同一平面内，经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的垂线数为（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【答案】B【分析】利用垂线的性质分析即可．【解析】解：在同一平面内，经过一点能画一条且只能画一条直线与已知直线垂直，故选：B．【点睛】此题主要考查了垂线性质，正确把握相关性质是解题关键．11．如图，P是直线l外一点，从点P向直线l引，，，几条线段，其中只有与l垂直，这几条线段中长度最短的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答．【解析】解：∵直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短，∴最短的是，故选：B．【点睛】本题垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．12．下列选项中，过点画直线的垂线，三角尺的摆放方式正确的是（

）A． B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据画垂线的方法进行判断即可．【解析】解：∵三角板有一个角是直角，∴三角板的一条直角边与直线重合，∵过点P作直线的垂线，∴三角板的另一条直角边过点P，∴符合上述条件的图形只有选项C．故选：C．【点睛】本题主要考查了用三角板画垂线，解题的关键是熟练掌握用三角板画垂线的方法．13．如图，点在直线外，点在直线上，连接．选择适当的工具作图．(1)在直线上作点，使，连接；(2)在的延长线上任取一点，连接；(3)在，，中，最短的线段是______________，依据是______________．【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)，垂线段最短【分析】（1）利用直角三角板作，再利用直尺连接即可得；（2）利用直尺连接即可得；（3）根据垂线段最短即可得．【解析】（1）解：利用直角三角板和直尺作图如下：（2）解：利用直尺连接，作图如下：（3）解：在，，中，最短的线段是，依据是垂线段最短，故答案为：，垂线段最短．【点睛】本题考查了利用三角板和直尺作图、垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题关键．题型5：与垂直有关的计算14．如图，直线相交于点于点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】垂直得到，利用，计算即可．【解析】解：∵，∴，∴；故选C．【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角度之间的数量关系，是解题的关键．15．如图，于点O，直线经过点O，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得出，再根据，由余角的定义可得出，再根据补角的定义可得出的度数即可．【解析】解：∵，∴，∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，关键是利用和的数据进行计算．16．如图，直线相交于点O，平分，则为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据平角的定义得到，再由对顶角相等得到，则由角平分线的定义得到，接着由垂线的定义得到，由此即可得到答案．【解析】解：∵，∴，∴，∵平分，∴∵，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等，垂直的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．一、单选题1．下列说法中，正确的是（

）．A．两直线不相交则平行 B．两直线不平行则相交C．若两线段平行，那么它们不相交 D．两条线段不相交，那么它们平行【答案】C【分析】根据平面内两直线的位置关系：平行或者相交，逐一判断选项即可．【解析】A选项，在同一平面内，两直线不相交则平行，不正确，不符合题意；B选项，在同一平面内，两直线不平行则相交，不正确，不符合题意；C选项，若两线段平行，那么它们不相交，正确，符合题意；D选项，两条线段不相交，那么它们不一定平行，不正确，不符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查平面内两直线的位置关系：平行或者相交，属于基础题，掌握平面内两直线的位置关系是解题关键．2．已知直线，在同一平面内，给定一点，过点作直线的平行线，可作平行线的条数有（）A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条【答案】C【分析】分情况讨论，分为点在直线上和直线外．【解析】解：①当点在直线上时，这样的直线为0条；②当点在直线外时，这样的直线有一条．故选：C．【点睛】本题主要考查过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，解题关键是熟记过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．3．已知直线，，互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是，那么直线与的距离是（

）A．或 B． C． D．【答案】A【分析】分与在同侧和与在两侧两种情况，根据直线与的距离是，直线与的距离是分别求出与的距离即可得答案．【解析】①当与在同侧时，∵直线，，互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是，∴与的距离为52=3cm，②当与在两侧时，∵直线，，互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是，∴与的距离为5+2=7cm，综上所述：与的距离是3cm或7cm，故选：A．【点睛】本题考查平行线之间的距离求法，从平行线上任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做两条平行线之间的距离；灵活运用分类讨论的思想是解题关键．4．如图，在平面内作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【答案】D【分析】根据平行线的定义，可直接得结论．【解析】解：在同一平面内，与已知直线平行的直线有无数条，所以作已知直线m的平行线，可作无数条．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的定义．掌握平行线的定义是解决本题的关键．5．体育课上老师按照如图所示的方式测量同学的跳远成绩，这里面蕴含的数学原理是（

）A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两点确定一条直线【答案】A【分析】由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．【解析】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．故选：A．【点睛】此题考查知识点垂线段最短，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．6．如图，，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有（

）A．五条 B．二条 C．三条 D．四条【答案】A【分析】直接利用点到直线的距离的定义分析得出答案．【解析】解：线段的长是点到的距离，线段的长是点到的距离，线段的长是点到的距离，线段的长是点到的距离，线段的长是点到的距离，故图中能表示点到直线距离的线段共有五条．故选：A．【点睛】此题考查了点到直线的距离．解题的关键是掌握点到直线的距离的定义，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．7．下列语句中：①有公共顶点且相等的角是对顶角；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；④经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据对顶角，点到直线的距离，邻补角，角平分线以及垂直的定义分别判断．【解析】解：①有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故错误；②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故错误③互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故正确；④同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；故选A．【点睛】本题考查了对顶角，点到直线的距离，邻补角，角平分线以及垂直的定义，属于基础知识，要注意理解概念，抓住易错点．8．如图，于点，点是线段上任意一点，若，则的长不可能是（

） B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】利用垂线段的性质进行解答即可．【解析】解：∵AC⊥BC于点C，点D是线段BC上任意一点，AC=6，∴AD≥6，故选：A．【点睛】此题主要考查了垂线段，关键是掌握垂线段最短．9．下列说法正确的是（）①平面内，不相交的两条直线是平行线；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④相等的角是对顶角；⑤P是直线a外一点，A、B、C分别是a上的三点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则点P到直线a的距离一定是1．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据平行公理及其推理，对顶角的性质，点到直线的距离的概念，即可得出结论．【解析】①平面内，不相交的两条直线是平行线，说法正确；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；③平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；④相等的角不一定是对顶角，故说法错误；⑤P是直线a外一点，A、B、C分别是a上的三点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则点P到直线a的距离可能是1，故说法错误．故选：B．【点睛】考查了平行公理及其推理，对顶角的性质，点到直线的距离的概念，解题时注意平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．10．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠CON=55°，则∠AOM的度数为（

）A．35° B．45° C．55° D．25°【答案】A【分析】根据垂直得出∠NOM=90°，求出∠COM=35°，根据角平分线定义得出∠AOM=∠COM，即可得出答案．【解析】解：∵ON⊥OM，∴∠NOM=90°，∵∠CON=55°，∴∠COM=90°55°=35°，∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠COM=35°，故选：A．【点睛】本题考查了垂直定义，角平分线定义等知识点，解题的关键是能求出∠COM的度数和求出∠AOM=∠COM．二、填空题11．在平面内，两条不的直线互相平行．【答案】同一相交【分析】根据平行线的定义即可解答.【解析】由平行线的定义可得：在同一平面内，两条不相交的直线互相平行．故答案为同一；相交.【点睛】本题考查了平行线的定义，熟知在同一平面内，两条不相交的直线互相平行是解决问题的关键.12．没有公共点的两条直线可能是直线，也有可能是直线．【答案】平行异面【分析】在空间，直线与直线的位置关系有平行、相交、异面三种，在同一平面内两条不重合的直线的位置关系是平行或相交，根据两条直线所在的空间解答即可.【解析】没有公共点的两条直线可能是平行直线，也有可能是异面直线故答案为：平行、异面.【点睛】此题考查相交于平行的特征及性质，关键是要明确两条直线所在的平面是在空间或是在同一平面内.13．小明列举生活中几个例子，你认为是平行线的是（填序号）．①马路上斑马线；②火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框上下边．【答案】①②③④【分析】根据平行线的判定进行判断即可.【解析】解：是平行线的是①②③④.故答案为①②③④【点睛】本题考查了平行线的含义，应结合生活实际进行解答.14．在同一平面内L1与L2没有公共点，则L1L2．【答案】∥【分析】根据在同一平面内两条直线只有平行与相交两种位置关系可知，l1∥l2，由平行公理及其推论即可得出l1与l3的关系．【解析】解：∵同一平面内两条直线只有平行与相交两种位置关系，∴在同一平面内，l1与l2没有公共点，则l1∥l2.【点睛】本题考查在同一平面内两条直线只有平行与相交两种位置关系.15．如图所示，线段的长度是点到直线的距离；点到直线的距离是．【答案】P线段的长【分析】点到直线的距离即过点作直线的垂线段的长，据此解题．【解析】解：线段的长度是点P到直线的距离；点到直线的距离是线段的长，故答案为：P，，线段的长．【点睛】本题考查垂线、点到直线的距离等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．16．与的两边互相垂直，且，则的度数为.【答案】130°或50°【解析】【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．【解析】如图∵β的两边与α的两边分别垂直，∴α+β=180°故β=130°，在上述情况下，若反向延长∠β的一边，那么∠β的补角的两边也与∠α的两边互相垂直，故此时∠β=50；综上可知：∠β=50°或130°，故正确答案为：【点睛】本题考核知识点：四边形内角和.解题关键点：根据题意画出图形，分析边垂直的2种可能情况.17．已知和的两边分别互相垂直，且比的2倍少，求的度数．【答案】或【分析】有两种情况：①如图1，根据，列方程可得结论；②如图2，根据，列方程可得结论．【解析】解：设，则，分两种情况：①如图1，和的两边分别互相垂直，，即，，；②如图2，，，，，，，综上所述，的度数为或，故答案为：或．【点睛】此题主要考查了角的计算，以及垂直的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系．18．如图，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，若DE＝9cm，AB＝12cm，不考虑点与点重合的情况，则线段BD的取值范围是．【答案】9cm＜DB＜12

cm.【分析】在△ADB中，由BD⊥AD，根据垂线段最短可得BD＜AB，同理，在△BDE中，可得BD＞DE，由此即可得出答案.【解析】在△ADB中，∵BD⊥AD，∴AB＞BD，∵AB＝12cm，∴BD＜12cm，在△BDE中，∵DE⊥BC，∴BD＞DE，∵DE＝9cm，∴BD＞9cm，∴9cm＜DB＜12cm.故答案为9cm＜DB＜12cm.【点睛】本题考查了垂线段最短的性质，准确识图是解题的关键.三、解答题19．如图，按要求画图．(1)经过上一点画的平行线，交于；(2)过画MNAB．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行线的定义画出图形；（2）根据平行线的定义画出图形；【解析】（1）解；如图所示：（2）解：如图所示：【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．如图，分别过点P作的两边的垂线．【答案】见解析【分析】根据垂线的作图方法作图即可．【解析】解：如图所示，即为所求．【点睛】本题主要考查了画垂线，熟知画垂线的方法是解题的关键．21．如图，要从水渠引水到村庄A，在水渠的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．【答案】见解析【分析】根据垂线段最短可得结论．【解析】解：如图，线段即为所求．理由：垂线段最短．【点睛】本题考查作图应用与设计作图，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型．22．在如图所示的正方形网格中，网格中纵向和横向线段的交点叫做格点在格点上．按下述要求画图：(1)画射线AC；(2)过点B画AC的平行线BD，点D在格点上；(3)在射线AC上取一点E，画线段BE，使其长度表示点B到AC的距离．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解答】解：（1）如图，射线AC即为所求；（2）如图，直线BD即为所求；（3）如图，线段BE即为所求．23．作图并回答下列问题：如图：点P是内一点，(1)过点P作边的垂线段；(2)过点P作边的平行线，交于点D，比较线段、的大小：________（填“”、“”或“”），得此结论的依据为：______________．【答案】(1)见解析，(2)见解析，，垂线段最短．【分析】（1）非尺规作