2022年高考数学一轮复习 42 圆锥曲线综合提升检测题（解析版）

专题42圆锥曲线综合提升检测题（解析版）

一、单选题

1.抛物线y=2x2的焦点坐标是（

C.(0,4)45°

【答案】B

【分析】

将抛物线方程写成标准形式，即可得到焦点坐标.

【详解】

•••抛物线y=2/,.,・尤②=gy,则抛物线开口向上,

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线的焦点坐标，考查抛物线方程的理解，属于基础题.

2

2.双曲线土-y2=i的虚轴长等于（）

A.V2D.272

【答案】C

【分析】

直接利用双曲线的标准方程求解双曲线的虚轴长即可.

【详解】

双曲线2--y2=l,可得6=1,

2

所以双曲线二一>2=1的虚轴长等于2.

故选：C.

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题.

3.已知双曲线的上、下焦点分别为4（0,-3）,6（0,3）,p是双曲线上一点且

||「用一忸用|=4,则双曲线的标准方程为（）

【答案】C

【分析】

由双曲线的定义可得实轴长及半焦距，再由。，b,c之间的关系求出b,进而求出双

曲线的方程.

【详解】

解：由双曲线的定义可得c=3,2a=4，

即a=2,b2=c2-a2=9-4=5»

且焦点在>轴上，

22

所以双曲线的方程为：=1,

45

故选：C.

【点睛】

本题考查根据双曲线的定义求标准方程，属于基础题.

2

4.已知抛物线C：y=4x的焦点为F,抛物线上一点的M的纵坐标/，则y0>2是|MF|>2

的。

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不

必要条件

【答案】A

【分析】

根据点M的纵坐标的范围，可得其横坐标的范围，然后根据抛物线的定义，可知|“日

的范围，然后根据充分、必要条件的概念，可得结果.

【详解】

由题可知:尸（1,0）,设M（工,％）

由点M的纵坐标%>2,则其横坐标小>1

由眼目=%+1,所以

试卷第2页，总22页

可知%>2是阿耳>2的充分条件

若抽尸|>2,JiiJ\MF\=A^+1>2=>X0>1

则先2〉4ny0<一2或%>2

所以%>2不是|M目>2的必要条件

故为>2是附耳>2的充分不必要条件

故选：A

【点睛】

本题考查抛物线的定义以及充分、必要条件的概念，对抛物线问题经常要联想到焦点和

准线，简单计算，属基础题.

22

5.设。为坐标原点，直线x=2。与双曲线C:\—1=力>0)的两条渐近线

分别交于0,E两点，若QDE的面积为8,则C的焦距的最小值为()

A.32B.16

C.8D.4

【答案】D

【分析】

根据双曲线的渐近线方程求出点O,E的坐标，根据面积求出"=8,再根据基本不

等式即可求解.

【详解】

b

解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y=±-x,

a

分别将x=2a,代入可得y=±2〃,

g|JD(2a,2b),E(2a,-2b),

贝ijSMDE=gx2ax4b=4ab=8,

c2=a2+b2..2ab=4,当且仅当a=b=2时取等号，

C的焦距的最小值为2x2=4，

故选：D.

22

6.已知椭圆C：/=与+%=1">0)的左、右焦点分别为耳，鸟,p为椭圆C的上顶

TT

点，若g=5.贝%=()

A.3B.5C.7D.9

【答案】A

【分析】

根据题意，由直角三角形中余弦的定义列方程求出b.

【详解】

因为

2ZFPF>/3

所以bt2

b2+3~2-

所以从=9

又匕＞0

所以b=3

故选：A.

【点睛】

解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意借助于几何关系可以

简化运算.

7.已知抛物线C：炉=1"的焦点为尸，4为C上一点且在第一象限，以尸为圆心，

必为半径的圆交C的准线于B,。两点，且A,F,B三点共线，则以尸|=()

A.16B.10C.12D.8

【答案】C

【分析】

根据题意可知利用抛物线的定义，可得/ABQ=30。，所以gF|=|BQ=2x6

=12.

【详解】

解：因为A,F,B三点共线，所以AB为圆F的直径，ADYBD.

由抛物线定义知IAO|=|AF卜」|,所以NA8D=30。.

2

因为尸到准线的距离为6,

所以HQulB/nnZxGulZ.

故选：C.

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8.设直线x-J§y+〃2=0（加wO）与x轴交于点C,与双曲线

「一马.=1（。＞0力＞0）的两条渐近线分别交于点A,B.若A为8c中点，则该双

a~h~

曲线的离心率是（）.

A.亚B.75C.73D.2

2

【答案】D

【分析】

联立直线x-Gy+机=0（机。0）与渐近线方程，求出点B坐标，进而由中点坐标公式

得出A点坐标，最后由点A在渐近线y=上得出2=进而得出离心率.

aa

【详解】

"2am-6bmbm、

TA为5c中点，且C（一办0）,

、26b-2a2a,

j”什、LAPb....bmby/3bm—2am“Jrr

点A在惭近线》二一一无上，则^-----=一•士〒-------,解得一二13

2\/3b-2aa2,3。一2aa

故选：D

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键是联立直线和渐近线方程求出点8坐标，再由点A在渐近

线丁=一2%上，得出2=百.

aa

9.如图所示，已知耳和尸2分别是双曲线c：£._2_=1（«>0,。>0）的左、右焦

点，圆（尤+c）2+y2=4c、2与双曲线位于x轴上方的图像从左到右依次交于A、8两点,

如果N468=120,则4BFE的余弦值为（）

【答案】A

【分析】

连接A^、BK，取AF?的中点C，愿的中点。，连接耳C、6。，即可得到忸国，

忸周，住放AC£K利用锐角三角函数求出£=6-1,再在耳工利用锐角三角

函数计算可得；

【详解】

解：连接AB、BF「取4工的中点。，B鸟的中点。，连接产。、FQ,

由已知及双曲线的定义得|A川=|8用=|月闾=2c,\AF2\-2a+2c,\BF2\-2c-2a,

\CFIa-vc

'：AAF.F,=120",Rt.CFia中，sinNC月月=sin60=j~=——，

|百用2c

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\DF\_c-a

又0vavc,**•cos/BF?F\2

丽二N

10.已知双曲线S:^——L-=l的离心率为2,则双曲线S的两条渐近线的夹角为

mm+8

()

.K“兀0兀T7r„7117T

A.—B.—C.一或一D.一或——

636333

【答案】B

【分析】

利用双曲线的离心率求出加的值，可得出双曲线的渐近线方程，由此可得出结果.

【详解】

22

由于方程三—一匚=1表示的曲线为双曲线，则加(加+8)＞0,解得加＜一8或加＞0.

mm+8

则＜=々《=02—1=3.

a~a

〃2m।Q

①当相＞0时，则。2=根+8，则一7=——=3,解得加=4,

am

所以双曲线的渐近线方程为y=±6x,此时，该双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为

7124

、，

33

71

则双曲线S的两条渐近线的夹角为§；

^^2

②当初＜一8时，则。2=一（加+8）,廿=-，则==一---K=------o=3,解得

''mar一（/〃+8），〃+8

m=-12.

所以双曲线S的渐近线方程为y=士与X，此时双曲线S的两条渐近线的倾斜角分别为

7154

~~、，

66

7T

则双曲线S的两条渐近线的夹角为5.

71

综上所述，双曲线S的两条渐近线的夹角为不.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：

b

（1）定义法：直接利用。、力求得比值，则焦点在X轴上时，渐近线方程为y=±—X,

a

焦点在＞轴上时，渐近线方程为y=±qx；

b

bc

（2）构造齐次式：利用已知条件结合02=》2+。2,构建2的关系式（或先构建上的

aa

关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可.

11.抛物线＞2=2〃犬（〃＞0）的焦点为/，准线为/,A、8是抛物线上两个动点，且

7T\MN\

满足乙4/8=§,设线段A3的中点”在/上的投影为N,则方才的最大值是

（）

A.1B.72C.2D.4

【答案】A

【分析】

设|AF|=。、|BF|=b,根据抛物线的定义，有|MN|=g（a+。），结合余弦定理与基本

不等式即可求解.

【详解】

设|A/n=a、|8尸|=b,如图所示，根据抛物线的定义，

可知lAFRAQI、\BF\=\BP\,

在梯形A8PQ中，有|MN|=g（a+加，

试卷第8页，总22页

冗

在AABF中，IA31~=/+-2ab•cos—=a"+b~-cib=（。+b）~—3ab，

3

又•:ab<（W^）2,/.|AB\2>^詈1=>|N

1,,、

|MN|

收匕5的最大值是1，

|Ag|_a+bIAB|

2

【点睛】

方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与抛物线的定义有关，解决这类问题

一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化

为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得

到解决.

22

12.已知双曲线后:「一4=1（。〉0,。＞0）的左、右焦点分别为工，过尸2作圆

ab~

O：f+y2=/的切线，切点为了，延长尼7交双曲线七的左支于点P.若

伊周〉2|7勾，则双曲线E的离心率的取值范围是（）

A.（2,-H»）B.（V5,+oo）

C.（V2,V5）D.（2,V6）

【答案】C

【分析】

连接。所以可得|7E|=b,cosNPEO=?|P6|TP6|=2a,在△P/转中

,2

利用余弦定理可得|P玛|=S，即可得到b＞a,再由I?闾＞2］吗得到

2b,即可得到不等式组，从而求出离心率的取值范围;

b-a

【详解】

解：如图，连接。「夕耳，设巴（G。）（。为E的半焦距），在直角三角形丁。巴中

\O1\=a^OF^=c,

b

则I叫I="cosNPR）==,|P用一归用=2a

所以|尸制=|尸耳|-2。

22

在心中，|P用2=|p/7|+|/7/7|-2|pf；||/7f；|cosZC＞F；P

即（|尸乙|—2a）2=|PE「+4C2—2|”|.2C.2

所以附I4

所以。＞Q

又I明＞2|叫

化简得。＜2“

所以a＜匕＜2a

所以/＜b2＜4a2

BPa2＜c1-a1＜4/

解得血＜£＜&

a

即行＜e〈行

故选：C

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双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围）,

常见有两种方法：

①求出a,c,代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于。，b,c的齐次式，结合加=/一。2转化为a,。的齐

次式，然后等式（不等式）两边分别除以。或屋转化为关于e的方程（不等式），解方程（不

等式）即可得e（e的取值范围）.

二、填空题

r22

13.已知椭圆器+v忘=1的左、右焦点分别为耳,耳,43是椭圆过焦点片的弦，则

△AB6的周长是.

【答案】16

【分析】

根据椭圆的定义求解.

【详解】

BF\+\BFA^2a,....

由椭圆的定义知，|的|+谒=2.所以即+网*网=3=16.

故答案为：16.

14.已知尸是抛物线，=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M,点A的坐标为（2,

3）,则以|+|PM|的最小值是.

【答案】Vio-i

【分析】

根据题意判断A(2,3)在抛物线之外，延长PM交直线x=-1于点N,由\PM\=\PN\

-\MN\=\PN\-1,得|附+|PM=|PQ+照I-1，只需求出IPFI+I网的最小值即可.

【详解】

当x=2时，y2=4x2=8,所以y=±2及，即|_y|=2&,因为3>2近，

所以点A在抛物线的外侧，延长?例交宜线％=-I于点N,由抛物线的定义可知伊川

=|PAf|+l=|PF|,当三点A,P,尸共线时,|B4|+|PF|最小,

此时为旧M+|PQ=|AF|,又焦点坐标为尸(1,0),所以|AF|=J(2_ly+32=M，

即HM+1+I网的最小值为J环，所以|PM|+解I的最小值为9-1.

故答案为：V10-1

22

15.已知双曲线卞•一%■=1(.>0/>0)的右焦点为/?(2,()),点尸到其渐近线的距

离为1,则双曲线的离心率为.

【答案】空

3

【分析】

/+尸=4

由已知有,2b，求出“、b,又c=2,进而求双曲线的离心率.

【详解】

由题意，c=2,渐近线方程为y=±2x,

a

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故答案为：亟.

3

16.已知抛物线C:V=4x的焦点为尸，过点尸的直线与抛物线C交于点M（斗,y）,

%（々,%），若点P（W，-乂），且SA.=10,则直线MN的斜率为

【答案】±|

【分析】

设直线MN的斜率为Z,写出直线MN方程，代入抛物线方程应用韦达定理得

玉+々,玉/，由焦半径公式得|M目,|人因（|PF|=|7VF|）,设直线MN倾斜角为a,

有tana=Z,而NMFP=%—2a,求出sin2a,可得三角形面积，由已知可得左值.

【详解】

设直线MN的斜率为Z,则直线MN：y=Z（x—1）；联立〈一，消去丁得，

（y=4羽

k~—2（%-+2）x+K=0,则玉+/=2H——,不々=1,故户|=%+1.

k

|P尸|=赴+1；设直线MN的倾斜角为。，则tana=3故

2tana

sin/MFP=卜in（乃-2a）|=|sin2a\=

1+tan2ak2+\'

1......1r,.2肉4

故S.MPF=5（玉+1）（马+1）卜m2al=弓|_王/+（玉+々）+1」,TT-T=5；令

乙乙K।1K

42

闪=1°,解得左=±g.

故答案为：士|.

【点睛】

方法点睛：本题考查抛物线的焦点弦问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设直线

方程代入抛物线方程应用韦达定理，再把三角形面积用占,超衣示并代入韦达定理的结

果求得斜率.

三、解答题

17.已知坐标平面上点M(x,y)与两个定点Mi(26,l),M2QJ)的距离之比等于5.

(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)记(1)中的轨迹为C,过点M(-2,3)的直线1被C所截得的线段的长为8,求直线1

的方程.

【答案】⑴缶一小伊-5⑵--2,或5-+46=。

【解析】

试题分析：(D直接利用距离的比，列出方程即可求点M的轨迹方程，然后说明轨迹

是什么图形；(II)设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定

理，求出直线1的方程

-J

试题解析：(D由题意，得H

即:炉:

化简，得：炉一炉一2》-2丫-23=°

所以点M的轨迹方程是“一〃，一①一/尸=25

轨迹是以“."为圆心，以,为半径的圆.

II'x=—2

(II)当直线的斜率不存在时，，

此时所截得的线段的长为=8,

所以“、二-2符合题意.

当直线的斜率存在时，设的方程为'<

kx-y+2k+3=0

即

—管I

圆心到”的距d离我5,

件0—2

由题意，得#,

试卷第14页，总22页

k=±

解得n

523八

I—y+-=0

所以直线的方程为“5,

加5x-12y+46=0

综上，直线।的方程为"=-2或灭-0-46=0

考点：轨迹方程

18.设阑、居分别为椭圆G6请’细钞黑海噂的左、右两个焦点.

典4版审衣.

(I)若椭圆。上的点■"密”到同、角两点的距离之和等于6,写出椭圆线的

方程和焦点坐标；

(D)设点羸,是(1)中所得椭圆上的动点，求线段羯*的中点M的轨迹方程.

【答案】(I)[■+卷=]焦点式(-L0)建(1,0)(II)3”+]=1

【解析】

试题分析：(I)把已知点的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4,从而求出椭

圆的方程，由椭圆的方程求出焦点坐标；(II)设FiK的中点Q(x,y),则由中点坐标

公式得点K(2x+1,2y),把K的坐标代入椭圆方程，化简即得线段KR的中点Q的轨

迹方程

试题解析：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到石、后两点的距离之和是

6,

得2a=6,即a=3.

又点A(迷，等)在椭圆上，因此1+―=1得〃=8于是02=1.....4分

所以椭圆C的方程为三+±=1.................................5分

98

焦点月(-1,0)7^(1,0)....................(6分)

(2)设椭圆C上的动点为Kg,%),线段与K的中点Q(x,y)满足x=27，＞=等；

即玉=21+1,X=2y.............(8分)

因此（2尤+1）+也L=1即（2"+1）+21=1为所求的轨迹方程..........（12分）

9892

考点：轨迹方程；椭圆的标准方程

19.已知椭圆C：<+《=1的右焦点为尸，过点尸的直线/与椭圆C交于A,B两

点・

（1）若直线/的倾斜角为45。，求的值；

（2）记椭圆。的右顶点为O,若点M（9,y”），N（9,yJ分别在直线4%BD上,

求证：FM工FN.

96

【答案】（1）—：（2）证明见解析.

17

【分析】

8x2+9y2-72=0

（1）首先设出直线/：y=x—l,与椭圆联立《,得到

8f+9（x—I?—72=0,再利用韦达定理和求根公式求解即可.

（2）首先当直线/的斜率不存在时，易得M（9,—8）,N（9,8），从而得到%^=一1,

即fMLFN；当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=A（x-l）,A（%,y）,

8（%,月），与椭圆联立得到（8+9公卜2-18h+9&2-72=0,根据根系关系和

A."共线，D,B,N共线得到

kFMKN=若&-今彳=技券=J,一,再化简即可得到答案.

9-19-16416（%1-3）（X2-3）

【详解】

（1）依题意，E（l,0）,直线/：y=x-l.

f8x2+9y2-72=0,/

联立I,故8/+9（%-1）~-72=0,

整理得17/一18X-63=0，A>0：

设A（西，X），8（尤2，%），故石+工2=--'%龙2=----，

2

故IAB\=Jl+/I%1-x2\=\ll+k-J（X]+々）2-4中2=_；

试卷第16页，总22页

（2）当直线/的斜率不存在时，其方程x=l,0（3,0）,

8

根据得3=迎，得到加（9,一8）,同理N（9,8）.

-8-08-0

故B以，F7V的斜率之积为左.•与=丁J-；=-1,故FM工FN；

7V9—179r—1

当直线/的斜率存在时，设宜线/的方程为y=Z（x-l）,A（%,y）,3（孙必），

y=%（x-l）

联立炉2

—+—=1

198

消去y整理得（8+9&2）f-18/x+9/-72=0,

18二9k2-72

故玉+9

8+9公8+9/'

X%=人（玉一1）次（/—1）=A2[工1*2—（5+工2）+1]，

V.-0yM-06y.

由o,A,M共线得，二三=噂一1，解得3^=一\，

xt-39-3%1-3

>2~oXv-Q,解得"=工

山O,B,N共线得,=

々—39—3

故RW,FN的斜率之积为kPM-kFN=-4丹=黑且=N9一八

9-19-16416（%-笔3）（马—3）

2（9/一7218一、

9公「中2-（西+x,）+l][8+9/s+9k2+,

o4=-1，故RVUM

=]36印2-3G（&~+々）+9]=M%-—-72--3x-1-8J9

18+9户―8+9/+,

综上所述，FM工FN.

22

20.已知椭圆C：1?+%=1（。＞人＞0）的左、右焦点分别是£,F2,上、下顶点

分别是用，B2,离心率e=g,短轴长为2道.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过用的直线/与椭圆C交于不同的两点“，N,若MN_L4E，试求△6MN

内切圆的面积.

22

【答案】(1)—+—=1:(2)——-7T.

43169

【分析】

cl

(1)由题意得，a~2,解出即可；

2b=2百

(2)首先算出直线/的方程，然后和椭圆的方程联立消元，算出△6MN的面积和周

长，然后得到4F、MN内切圆的半径即可.

【详解】

c1

(1)由题意得,又/=〃+。2,解得〃=4，〃=3，

2b=273

22

所以椭圆。的方程为三+E=1.

43

(2)由4仅,G)，5(1,0)，知4玛的斜率为一&,因MN_L4E，故MN的斜

率为B.

3

则直线/的方程为>—1),即x=j3y+l,

’29

工+21=1

联立，43'可得：13y2+66y-9=0,

x=V3y+1,

设可(工2,必)，则X+%=-，了1%=_忍

ID

则4F[MN的面积s=cJy一%|=J(y+%『一心%=||

♦

1256

山△大MN的周长L=4a=8,及S=-LR,得内切圆R=-

2T~n,

所以△片MN的内切圆面积为兀解=些兀.

169

21.已知抛物线£：丁=2〃4〃>0)的焦点为厂，准线为/,以尸为圆心的圆与/相

切；与抛物线E相交于”,N两点，且|MN|=4

试卷第18页，总22页

（2）不与坐标轴垂直的直线与抛物线E交于A8两点：与x轴交于尸点；线段A3的

垂直平分线与x轴交于Q点，若|A8|=2|PQ|,求产点的坐标

【答案】（DV=4x；（2）（1,0）.

【分析】

（1）首先求出以厂为圆心的圆与/相切的圆的方程，联立圆与抛物线，消元即可求出

M,N的坐标，即可求出。，从而得到抛物线方程；

（2）设P（〃,0）,直线AB的方程为x="+"，联立直线与抛物线，消元、设

4a,凹）,3（々,%），列出韦达定理，表示出弦设AB的中点为/?■，%），表

示出直线HQ的方程，即可求出。的坐标，从而得到|尸。|,再由|A5|=2|PQ|,即可

求出“，从而得解；

【详解】

解：（1）以尸为圆心与/相切的圆的方程为（X—+yz=p2

将＞2=2px代入并整理，得4F+4px—3P2=0

即（2x+3p）（2x-p）=0

因为xNO

所以x=K

2

代入y2=2px,

解得y=±p

所以点M,N的坐标为（日，一

所以|M/V|=2〃=4

解得。=2

故抛物线E的方程为丁=4x

⑵设尸（小0）,直线AB的方程为x="+〃代入y2=4x并整理得y2一的一4〃=0

由题意，得A=16产+16九〉0

即产+〃>0

设4&,凶）,3（工2，%）

贝Uy+%=47%为=-4〃

所以

IAB卜J（l+『）[（M+%）2-4M%]=，（1+/）[（4*）-4（-4叫=4^（l+r）（n+r）

I2

设AB的中点为R（凝,%），则％=,%产=2/,/=ty0+n^2t+n

即火（2产+〃,2。

所以直线RQ的方程为y-2t=-t（x-2t2-n）

令y=o,得x=2产+〃+2

所以Q（2『+”+2,0）

所以户。|=|2/+〃+2—“=2,2+[=2（产+1）

由|AB|=2归。得441+户）（〃+”）=2x2（l+『）

解得〃=1,适合△=16r+16〃>0

即点P的坐标为（1,0）

【点睛】

解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

试卷第20页，总22页

(2)强化有关宜线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关

系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.

22.在平面直角坐标系中，A(-1.0),B(1,0),设AABC的内切圆分别与边AC,

BC,AB相切于点P,Q,R,已知|CP|=1,记动点C的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)过G(2,0)的直线与y轴正半轴交于点S,与曲线E交于点//,轴，过

S的另一直线与曲线E交于M、N两点，若SASMG=6SAS〃N,求直线MN的方程.

【答案】(1)?+々=l(yH0)；⑵y=^-x+l^(.y=-^-x+\-

【分析】

(1)由椭圆定义可知，曲