2021年贵州省黔东南州高考数学模拟试卷（理科）（附答案详解）

2021年贵州省黔东南州高考数学模拟试卷(理科)(3月

份)

学校：——姓名：——班级：——考号：—

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.(i4-4i)(4+i)=()

A.8-15tB.15zC.8+15iD.-15i

2.已知集合4=<0},B={x|(x-4)(x+3)>0},则4nB=()

A.{x\x<0}B.(x\x<-3)

C.{x[0<x<4]D.(x|-3<x<0}

3.设tan(a—口)=2,tana=4,则tan0=()

A—B.；C.D.g

4.清华大学通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业指导工作，引导学生把个人

职业生涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立业

.2019年该校毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人，毕业

生总体充分实现就业，就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和

就业质量稳步提升,根据如图，下列说法不正确的是()

7-

7.S一

%X二

.

.4

■%

〔

上

毕业生签三方就业单位所在省(区、市)公布

A.博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业

B.毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业

C.到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多

D.到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8%

5.将《傲慢与偏见沙定黎圣母院》等六本不同的国

外名著按如图所示的方式竖放在一起，则《傲慢与

偏见》放在最前面或最后面的不同放法共有()

A.120种

B.240种

C.200种

D.180种

6.曲线y=器在点(1,0)处的切线方程为()

A.y=|x-|B.y=x-1C.y=|x-|D.y=2x-2

7.若m=axIO"。Wa<10),则称皿的数量级为上已知金星的质量为M千克，且

M满足IgM=23+仞48.69,则M的数量级为()

A.23B.24C.25D.26

8.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的

是某几何体的三视图，该几何体某条棱上的一个端点

P在正视图中对应的点为在俯视图中对应的点为N,

则P在侧视图中对应的点为()

A.点D

B.点C

C.点B

D.点A

(y?o

9.设x,y满足约束条件x+yS3,则/+y2的最小值为()

(.3%+y>3

D.9

10.函数f(x)=2sin(a)x+<p)(d)>0,0<<p<兀)的部分

图象如图所示，要得到y=f(x)的图象，只需将y=

2cos3X的图象()

A.向右平移孩个单位长度

B.向右平移E个单位长度

C.向左平移?个单位长度

O

第2页，共16页

D.向左平移行个单位长度

11.在四面体ABCP中，PB_L平面A8C,且4B1AC,AB=4C.若四面体A8CP外接

球的半径为则PA与平面A8C所成角的正切值为()

A.：B.：C.2D.3

23

22

12.已知双曲线C：a一京=l(a>0,b>0)的虚轴的一个顶点为。，直线x=2a与C

交于A,B两点,若AABD的垂心在C的一条渐近线上，则C的离心率为()

A.V5B.2C.V3D.V2

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知向量落区的夹角为120。，\a\=2,|K|=1.若位+豆)J.位+2石)，则2=

14.在A/IBC中，AB=1,sinB=5sinC,cosA=则BC=.

15.若抛物线/=2py(p>0)上的点到焦点的距离为4,贝.

16.关于函数f(x)=4"+2有如下四个命题：

①/Xx)的定义域为［0,+8);②/(X)的最小值为—1；

③f(x)存在单调递减区间；④驮6(0,+8),f(sina)=0.

其中所有真命题的序号是.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知又为数列｛0｝的前〃项和，数列｛Sn｝是等差数列，且$5=9,$9=17.

(1)求｛斯｝的通项公式；

n

(2)求数列｛an-2-S"的前n项和7；.

18.2020年底某网购公司为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度,

从2020年下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后服务满意度评分

的雷达图如图所示,规定评分不低于80分为满意，否则为不满意.

(1)求这20个会员对售后服务满意的频率.

(2)以(1)中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评

价结果相互独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员.

(回)求只有1个会员对售后服务不满意的概率；

(回)记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为X,求X的数学期望与标准差(

标准差的结果精确到0.1).

19.以原点O为中心的椭圆C的焦点在x轴上，G为C的上顶点，且C的长轴长和短

轴长为方程--8x+12=。的两个实数根.

(1)求C的方程与离心率；

(2)若点N在C上，点M在直线y=2上，|G/V|=2\GM\,且GN1GM,求点N的

坐标.

第4页，共16页

20.如图，在四棱锥P-ABCD的展开图中，点尸分别对应点％,P2,P3,P4,已知A,

。均在线段P$3上，且1P2C，PRnP2c=。，四边形ABCP2为等腰梯形，

AB//CP2,AB=\BC=\CP2.

(1)若例为线段BC的中点，证明：8。1平面「。例.

(2)求二面角4-PB-C的余弦值.

21.已知函数/(无)=X3-6合+ax的图像经过点4(2,2).

(1)设teR,讨论/(x)在(t,+8)上的单调性；

(2)若/(%)在［m,ni+1］上的最大值为/'(m),求m的取值范围.

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数)，点P的坐

(y-05LTLCI

标为(m,0).

(1)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程;

x=m+-t

(2)若直线/：(t为参数)与曲线C交于A,8两点，若|P*♦|PB|N2,

求zu?一6m的取值范围.

23.设x,y,z均为正实数，且x+2y+z=4.

(1)证明：x2+2y2+z2>4.

(2)求正+收+6的最大值.

第6页，共16页

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：-40(4+0=(1-4i)(4+i)=-i(4+i)2=-i(15+8i)=8-15i,

故选：A.

利用复数的运算法则即可得出.

本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：B=(x\x<-3或x>4},A={x\x<0},

••Ar\B={x\x<—3}.

故选：B.

可求出集合3,然后进行交集的运算即可.

本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力,

属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：因为tan(a-0)=2,tana=4,

tana-tan(a-p')_2

所以tan£=tan[a—(a—/?)]=

l+tanatan(a-/?)9

故选：D.

将角6转化为a-(a-/?)表示，然后由两角差的正切公式求解即可.

本题考查了三角函数的求值问题，主要考查了两角差的正切公式的应用，解题的关键是

对所求角进行变换，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：对于A,由图中的数据可知，在北京就业的博士生就业率为52.1%>50%,

故选项A正确；

21.9%X2971+39.6%X2527+52.1%X1467

对于8,毕业生在北京的就业率为=34.7%<50%,故

2971+2527+1467

选项B正确;

对于C,到四川省就业的硕士毕业生人数为3.2%x2527=81人，到四川省就业的博士

毕业生人数为3.7%x1467=54<81,故选项C正确；

对于D,浙江省就业的毕业生人数占毕业总人数的比例为

3.0%x2971+5.6%X2527+4.2%X1467

4.2%,故选项。错误.

2971+2527+1467

故选：D.

根据题中图表给出的数据信息，对选项进行逐一分析判断，得出答案.

本题考查了对统计图表的认识，根据图表得出有用的信息，读懂图表是关键，考查了逻

辑推理能力，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：排微慢与偏见J)，有2种排列方法，其它任意排，

故《傲慢与偏见》故在最前面或最后面的不同放法共有：2国=240种，

故选：B.

先排《傲慢与偏见》，有2种排列方法，其它任意排，根据分步计数原理可得.

本题考查了分步计数原理，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：因为/=笠*生，所以y'lx=i=；，故所求切线方程为y=—

J(X3+1)2222

故选：A.

求出函数的导数，求解切线的斜率，然后求解切线方程即可.

本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是基础题.

7.【答案】B

【解析】解:因为=23+均48.69=24+2g4.869=lg(4.869X1024),

所以M=4.869x1024,则M的数量级为24.

故选：B.

推导出lgM=23+948.69=lg(4.869xl024),从而M=4.869x由此M的数

量级.

本题考查一个数的数量级的求法，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求

解能力等基础知识，是基础题.

8.【答案】C

第8页，共16页

【解析】解：根据三视图可知，该几何体的直观图如图所

示，由图可知，

P在侧视图中对应的点为点B,

故选：C.

画出几何体的直观图，即可判断尸的位置.

本题考查简单儿何体的直观图，三视图的应用，是基础题.

9.【答案】A

【解析】解：作出不等式组表示的可行域如图所示,

X2+y2的几何意义为点(x,y)到原点(0,0)距离的平方，

由图可知，原点到直线3x+y=3的距离的平方最小，

所以/+y2的最小值为(岛)2=*

故选：A.

根据/+y2的几何意义，将其转化为点(x,y)到原点(0,0)距离的平方，即可得解.

本题考查线性规划的应用，理解/+y2的儿何意义是解决本题的关键，考查学生的数

形结合思想、逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.

10.【答案】D

【解析】解：由/'(>)的图象可知,上工一(一看)=p所以T=兀，即皆=n,所以3=2.

所以f(%)=2sin(2x+cp),

又2x(一捻)+卬=]+€Z,0VwV兀，所以，0=拳

所以，/(x)=2sin(2x+耳)•y=2cos2x=2sin(2x+])=2cos(2%4-：).

故将y=2cos2x的图象向左平移卷个单位长度即可得到y=/(%)的图象，

故选：D.

由周期求出3,由最高点的坐标求出口的值，可得/(%)的解析式，在利用函数y=

4sin(3x+s)的图象变换规律，得出结论.

本题主要考查由函数y=Asin(3x+@)的部分图象求解析式，由周期求出”，由最高点

的坐标求出W的值，函数y=+R)的图象变换规律，属于基础题.

1I.【答案】C

【解析】解：因为PB_L平面ABC,且4BJ.4C,所以四面体ABCP可以补形为一个长方

体，

故其外接球的半径R=V4B2+4CZ+PB2=亚理=3B，

222

则=3PB.

因为PA与平面ABC所成角为NPAB,所以tan/PAB=?="

AB3

故选：C.

四面体ABCP可以补形为一个长方体，求出外接球的半径，然后转化求解PA与平面A8C

所成角的正切函数值.

本题考查直线与平面所成角的求法，几何体的外接球的半径的求法，考查空间想象能力，

转化思想以及计算能力，是中档题.

12.【答案】D

【解析】解：设△AB。的垂心为H,贝

不妨设。(0,b),则H(x,b),代入渐近线方程y=《x,解得x=a,

则H(a,b),因为直线x=2a与双曲线交于点A,B,

则A,B两点的坐标分别为：A(2a,V3b),B(2a,-V3b).

因为%DkBH=g"x延詈=—1，

化简可得a?=从，

所以双曲线的离心率为e=£=Jl+刈=V2)

故选：D.

设出三角形ABO的垂心H,fjlWH1AB,设出点〃的坐标，进而可以求出〃的坐标，

再由已知求出点A,B的坐标，利用直线A£>,BH的斜率的乘积为-1建立等式关系，化

简求出a=b,进而可以求解.

本题考查了双曲线的性质以及三角形垂心的性质，考查了学生的运算转化能力，属于中

档题.

第10页，共16页

13.【答案】一:

【解析】解:,响量区方的夹角为120。，|五|=2,|b|=1..-.a-b=2x1xcosl20。=-1.

•••(a+3h)1(a+lfe)，

(a+3h)-(a+26)=a2+(A+3)a-K+3Ah2=4+(A+3)X(-1)+34=0，

则

故答案为：一；.

由题意利用两个平面向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求得2的值.

本题考查两个平面向量的数量积，两个向量垂直的性质，考查运算求解能力，属于基础

题.

14.【答案】V22

【解析】解：因为sinB=5sinC,

所以AC=5AB=5,

则BC=Jl2+52-2xlx5x|=V22.

故答案为：V22.

由已知利用正弦定理化简可得AC=5AB=5,进而根据余弦定理即可求解2C的值.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想,

属于基础题.

15.【答案】2V3

【解析】解：因为抛物线产=2py(p>0)上的点4(犯1)到焦点的距离为4,

所以1+3=4,即：P=6,x2=12y,

所以——12,|m|=2痘.

故答案为：2痘.

根据抛物线的定义先计算出P的值，再计算出m的值.

本题考查了抛物线的定义，性质，学生的运算能力，属于基础题.

16.【答案】①②④

【解析】解：函数/(X)=4,+々-2,可得/(X)的定义域为［0,+8),所以①为真命题.

因为/(x)为增函数，所以/(x)的最小值为/(0)=-1,所以②为真命题，③为假命题.

因为f(0)<0,f⑴>0,所以“X)存在零点而>(0,1),

令%0=s讥a,贝!!/(s讥a)=0,所以④为真命题.

故答案为：①②④.

通过函数的定义域，判断①；函数的单调性与最小值判断②，③；利用函数的值域判

断④.

本题考查命题的真假的判断与应用，函数的定义域，单调性以及函数的最值的求法，是

中档题.

17.【答案】解：(1)因为数列｛Sn｝是等差数列，且$5=9,$9=17,

设数列｛Sn｝的公差为d,

则d==2，

可得Sn=9+2(n-5)=2n-1.

当n22时，an-Sn—Sn-i=2n—1—2(n—1)+1=2,

当n=1时，％=Si=1,

所以〃=

nllzn=1

(2)当nN2时，Q^Z兀—SnuZ^i—Qn—l),

所以，当nN2时，7；=2-1+23-3+24-5+-...+2n+1-(2n-1)

=2+23+2,+……+2n+1-(1+3+5+……+2n-1)

=2+立丝一33=2"+2-"一6,

1-22

当n=1时，7;=1,也满足上式，

所以7；=2n+2-小一6.

【解析】(1)设数列｛Sn｝的公差为4,由等差数列的通项公式求得乙再由数列的递推式，

可得所求；

(2)求得当"22时，斯•2n-Sn=2n+1—(2凡-1),再由数列的分组求和，结合等差数

列和等比数列的求和公式，计算可得所求和.

本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，考

查方程思想和运算能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)由雷达图可知，这20个会员对售后服务满意的频率为芫=0.7；

(2)(i)设只有1个会员对售后服务不满意的事件A,则P(4)=©x0.3x0.72=0.441；

第12页，共16页

(ii)因为X〜B(3,0.7),

所以EX=3x0.7=2.1,DX=3x0.7x0.3=0.63,yfDX«0.8.

【解析】（1）由雷达图可知及其频率的定义即可得出；

（2）0）设只有1个会员对售后服务不满意的事件A,利用二项分布列的概率计算公式即

可得出；

5）由X〜B（3,0.7）,即可得出EX=3x0.7=2.1,DX,yfD（X）.

本题考查了古典概率计算公式、二项分布列的概率计算公式及其数学期望与方差，考查

了推理能力与计算能力，属于基础题.

19.【答案】解：（1）由题意可设C的方程为冬+总=1,（a>b>0,

因为/—8%+12=0的两根为=2,x2=6,

所以2a=6,2b=2

则。=3,b=1,

则C的方程为9+y2=1,

离心率e=£=越；

a3

（2）易知G（0,l）.

2—11

设MQM，2），NOM'N），则七”=£=痣，

由GN1GM,得右可=一=~XM.

KGN

由|GN|二2|GM|,得JFT茄氏N—0|=2“工7,

因止匕|町/=2.

由呼+诵=1，得网|=争

故点N的坐标为（2净或（2,—净或（一2,净或（一2,-曷.

【解析】(1)由方程解出方程的解，由题意可得4,6的值，进而求出椭圆的方程，再由

a,b,c之间的关系求出椭圆的离心率;

(2)设M,N的坐标，由|GN|=2|GM|,可得M,N的坐标的关系，再由GN1GM,可

得斜率之积为-1,求出M,N的坐标的关系，两式联立求出N的坐标.

本题考查求椭圆的方程及椭圆的性质，两条直线垂直的性质，属于中档题.

DC.两两垂直,

所以P。JL平面ABCD,

又因为8Cu平面4BCD,所以PD1.BC,即BC1PD,

过8作BN1BC于M四边形4BCP2为等腰梯形，AB//CP2,

AB=^BC=^CP2f所以PD=DN=AB,BC=BD=DC=2AB,

所以DM1BC,即BC1DM,

又因为P。COM=。，所以BCJ•平面

(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设4B=1,

各点坐标如下:

P(0,0,1),B(⑸,0),71(73,0,0),C(0,2,0),

PB=(V3j>-1)>PA=(V3,0,-1),PC=(0,2,-1),

设平面PBA与平面PBC的法向量分别为访=(x,y,z),n=(u,v,w),

CPB-m-V3x+y—z=0

，令x=l,m=(1,0,V3)'

l同■m=yfSx—z=0

(PB-n=V3u+v—w=0

,令u=1,n=(1,V3,2V3),

(-PC-n=2v-w=0

设二面角力-PB-C的大小为。，由图可知。为钝角,

所以cos。=一鲁裳=一£=一：

|?n|-|n|2-48

第14页，共16页

故二面角的余弦值为一

A-PB-Co

【解析】(1)根据直线与平面垂直的判定定理证明；(2)用向量数量积计算二面角的余弦

值.

本题考查了棱锥的基本性质，考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题,

属于中档题.

21.【答案】解：(1)因为/(2)=2a—16=2,所以a=9,

/(x)=%3—6x2+9x,/'(x)=3(x2—4x+3)=3(x—3)(x—1),

当x<1或x>3时，g'(x)>0,当1<x<3时，g'(x)<0,

故①当t<l时，/(吟在«,1)和(3,+8)上递增，在(1,3)上递减；

②当lWt<3时,f(x)在(t,3)上递减，在(3,+8)上递增;

③当t>3时，f(x)在(£,+8)上递增：

(2)因为f(x)在［犯巾+1J上的最大值为f(7n),

所以由(1)可得:股匐m+1)，解得：1