2022年江苏省泰州市高考数学押题试卷及答案解析

2022年江苏省泰州市高考数学押题试卷

本试卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座

位号和考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码

粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不

能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上;如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

I.己知集合4={小2-2x+320},8={xeZ|——<0},则AA8=()

X+2

A.{x\-2<x^3}B.{-1,0,1,2,3}

C.{-2,-1,1,2,3}D.R

2.已知复数z=a+bi(ci,bER)f若+2=b+i,则z=()

A.-1+2ZB.l+2zC.-1-2/D.1-2/

3.己知sin2a=—,,贝!Isir?(a+,)=()

13V15

A.-B.-C.------

888

4.在等差数列伍〃}中，02=4,且41,Q3,49构成等比数列，则公差d=()

A.0或2B.2C.0D・0或-2

5.函数J(x)=m(/—4x；4)的图象可能是()

(%—2)

6.已知在三角形A3C中，BC=4,\AB\=2\AQ,则易•品的取值范围是（）

A.（一拳32）B.[一拳32]C.（0,32）D.[0,32）

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7.已知数列｛板｝满足m=Lan+i+an=(n+l)*cos—(n^2,尤N),S〃是数列｛〃〃｝的前〃

项和，则S2021=()

A.508B.506C.1011D.1009

8.己知实数xi,九2满足xie'i=/,x2(bm-3)=e6,贝！Ixi%2=()

A・.B.e5C.e6D.e1

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

TC

9.下列四个函数中，以n为周期且在(0,-)上单调递增的偶函数有()

A.y=cos|2x|B.y=sin2xC.y=|tanx|D.y=/g|sinjv|

10.下列命题中是真命题的有()

A.函数/(x)=/在其定义域上为减函数

B.若随机变量：服从正态分布N⑺，o2),且P(?W4)=0.79,P-2)=0.21,

则|1=1

C.若(x+4)(3+x)6=ao+ai(2+x)+a2(2+x)2+ai(2+x)3+"-+ai(2+x)7,则“2=

36

D.若｛〃”｝为等比数列，则S4〃，Sin-S4n,S⑵-S8n,…仍为等比数列

11.下列结论正确的有()

A.若10g“3Vl,则“>3

B.若。=$1113b--log2sin-,c=2-s；n3,则力>c>a

C.若xy^O,2X=18'—9°\则x-y=1

D.若a=b=c=则a<c<b

12.在棱长为1的正方体ABC。-A181C1Q1中，E为棱£>Qi的中点，点尸在该正方体的侧

面CD。1。上运动，且BiF〃平面4BE,以下命题正确的有()

A.平面A18E截正方体所得的截面图形为等腰梯形

B.侧面CDDiCi上存在一点F,使得812LCD1

1

C.三棱锥F-A18E的体积为定值&

1

D.直线81尸与直线AO所成角的正弦值可以为,

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。其中第16题有两个空，第一个空答

对得2分，第二个空答对得3分，两个空全对得5分。

13.已知向量a=(1,加-1),b=(-2,机)，若a_Lb,则正实数m的值为.

27r

14.请写出函数/(x)=sin(2x4--y)+sin2x+2图像的一个对称中心：.

X2y2

15.已知Fi,F2分别为椭圆E：—+T7=1(a>b>0)的左、右焦点，E上存在两点A,

B,使得梯形AFxFiB的高为&c(c为半焦距)，且4%=5872,则E的离心率为.

16.拿破仑•波拿巴(法语名：NapoleonBonaparte,1769年8月15H-1821年5月5日)，

法国伟大的军事家、政治家，法兰西第一帝国的缔造者.拿破仑一生钟爱数学，他发现

并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则

这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在aABC中，NBAC=60°,

以AB,BC,AC为边向外作三个等边三角形，其中心依次为D,E,F,若DF=4,则

AB

—=,A8+AC的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若siny4sinS+cos2A+cos2B+sin2C

—2.

(1)求C；

(2)若AABC为锐角三角形，且6=4,求AABC面积的取值范围.

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18.（12分）已知数列｛“”｝的前〃项和为且。1=。2=2,。3=3,当“22时,S”+2+S"=

2S.+1+1,数列｛为｝是正项等比数列，且64=16,b3—bib2.

（1）求｛而｝和｛氏｝的通项公式;

（2）把｛如｝和出”｝中的所有项从小到大排列,组成新数列｛Cn｝,例如｛Cn｝的前7项为2,

2,2,3,4,4,5,求数列｛cn｝的前1000项和T1000.

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19.（12分）2022年是奥运年，我国北京和张家口联合承办第二十四届冬季奥运会，本届冬

奥会共设7个大项（滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项）、15个分项（高

山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、短道速滑、速度滑

冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项）共计109个小项.某

校为了调查学生是否喜欢冬季冰雪运动与性别有关，在高三年级特选取了200名学生进

行了问卷调查，得到如下的2X2列联表：

喜欢不喜欢合计

男生ac

女生匕d

合计

已知从这200名学生中随机抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8,表格中“=100,

d=20.

（1）完成2X2列联表，并判断是否有90%的把握认为喜欢冰雪运动与性别有关；

（2）从上述喜欢冰雪运动的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取

3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望.

2

参考公式及数据：心回耦黯e其中

P（K20.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

沁））

ko0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828

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20.(12分)如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，点Bi在底面ABC内的射影恰好是点C,D

是AC的中点，且满足D4=CB.

(1)求证：AB_L平面BCCiBi；

(2)已知AC=2BC=2,直线BBi与底面ABC所成角的大小为争求二面角C-8。-

C1的大小.

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xy

21.(12分)已知椭圆C：—+—=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,。为坐标原

a2b2

点，直线/：x=l与C的两个交点和O,B构成一个面积为迷的菱形.

(1)求C的方程.

(2)圆E过。，B,交/于点M,N,直线AM,AN分别交C于另一点P,Q.

①求k,\p,kAQ的值；

②证明：直线尸。过定点.

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22.(12分)已知函数/(x)=/〃(x-1)+§(a£R).

(1)求函数/(x)的单调性；

(2)当a>0,x€[l,e2]时，If(x+1)一号学区5-?恒成立，求实数4的取值范围.

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2022年江苏省泰州市高考数学押题试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

X—3

1.已知集合4={小2-2x+320},B-{xeZ|—<0},则ACB=()

A.[x\-2cxW3}B.{-1,0,I,2,3}

C.{-2,-1,1,2,3}D.R

解：：集合A={X/-2x+320}=R,

x—3

B={xGZ|—<0}={xGZ|-2<x^3}={-1,0,1,2,3},

・"GB={-1,0,1,2,3).

故选：B.

2.已矢口复数z=〃+bi(mZ?GR),若:[+2=b+i,则z=()

A.-1+2/B.l+2zC.-1-2/D.1-21

a

解：复数z=a+/?i(〃，/?ER)>,2021+2=/?+i,

aai

•j•NU.7NnJ7.1+2j/=—+2=2-ai=b+if

•»CL-Ifb=2,

•**z=-l+2i.

故选：A.

3.已知sin2a=—J,则si—(a+?)=()

13V155

A.-B.-C.-----D.

8888

W，....1mu-2/,兀、l-cos(2a+f)1+m2a3

用《：・sin2a=­q,则sin(a+4)=---------------~=-----S------=g，

故选：B.

4.在等差数列{〃〃}中，及=4,且Ql,Q3,49构成等比数列，则公差d=()

A.0或2B.2C.0D.0或一2

解：设等差数列公差为4

因为。3,。9,构成等比数列，

所以a3=〃1〃9,

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4-8d)=(&4-2d产

所以

田+d=4

解得”=0或2,

故选：A.

5.)

济(%2—4%+4)_m

解函数_,可知函数的图象关于（）对称，排除

:/(x)=37~~^32,0A,

(x-2)(x-2)

B.

当xVO时，/”(x-2)2>0,(x-2)3<0,函数的图象在x轴下方，排除

故选：C.

6.已知在三角形ABC中，3c=4,|A8|=2|AC],则6♦晶的取值范围是()

3?32

A.(—g-,32)B.L学32]C.(0,32)D.10,32)

解：因为BC=4,|AB|=2|AC|,

|48|+|AC|>4,即2\AC\+MC|>4

所以，

\AB\-|i4C|<4、2\AC\-\AC\<4

4

解得,<\AC\<4,

由余弦定理COSNCAB=觉:产2

AC2+AB2-BC2AC2+AB2-BC2

所以AB-AC=\AB\■\AC\cosZ.CAB=\AB\■\AC\■

2ACAB2

514cl2-16

2

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416,

因为.<\AC\<4,所以可<\AC\2<16,

所以一等<显尊W<32,即易•品16(-等，32),

故选：A.

mi

7.已知数列｛〃〃｝满足m=l,an+\+an=(n+l)*cos—(n>2,nGN),S〃是数列｛如｝的前〃

项和，则S2021=()

A.508B.506C.1011D.1009

解：y=cos—的周期丁=空=4,

22

nn

由。〃+1+。〃=(n+l)*cos—(〃22,〃EN),

2

.•・〃2+Q3=3cOSTl=-3,04+(25=5COS211=5,。6+。7=-7,。8+〃9=9,..........,

.•.52021=1+(-3+5)+(-7+9)+...+(-2019+2021)

=1+2X505=1011,

故选：C.

8.已知实数xi,无2满足x2(Inxi-3)=次则xix2=()

A.0B./C.e6D.e1

解：:•实数万，x2满足xie*I=/,x2(lnx2-3)=典

.*.%1>0/%2>/，令t=lnxi-3,r>0,

则久2=et+3,由条件不(伍工2-3)=e6,

则，3=典

令/(x)=xex,(x>0),则/(x)=(x+1)

由题意当x>0时，f(x)>0,f(x)在(0,+8)上单调递增，

t=3

・••由工1?*1=/,tee9得xi=r=/g-3,

^•X\X2=X2(Inxi-3)=。6.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

7T

9.下列四个函数中，以n为周期且在(0,-)上单调递增的偶函数有()

A.y=cos|2x|B.y=sin2xC.>,=|tanx|D,y=/g|sinx|

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n

解：由于函数丁=(：0$|2¥|=(：052¥在(0,—)上单调递减，故排除4；

由于y=sin2%是奇函数，故排除5；

71

由于y=|taru|是偶函数，以n为周期且在(0,-)上单调递增，故C满足条件；

71

由于y=|siM是偶函数，以n为周期且在(0,-)上单调递增，

71

故》=这四2|是偶函数，以1T为周期且在(0,-)上单调递增，故。满足条件；

故选：CD.

10.下列命题中是真命题的有()

A.函数=：在其定义域上为减函数

B.若随机变量；服从正态分布N⑺，o2),且P(收4)=0.79,P-2)=0.21,

则P=1

C.若(X+4)(3+冗)6=。0+。1(2+X)+。2(2+X)(2+X)34---+«7(2+X)7,则42=

36

D.若｛斯｝为等比数列,则S4〃，S8n-S4〃,S⑵-S8〃，…仍为等比数列

解：对于A,函数/(x)=]在(-8,0),(0,+8)上单调递减，在定义域上不单调，

故A错误，

对于B,「随机变量卫服从正态分布N(|1,。2),且「(JW4)=0.79,PP(?W-2)

=0.21,即有P(^4)=0.21,

故它对应的正态曲线关于直线x=l对称，即口=1,故B正确，

对于C,,?(x+4)(3+x)6=[2+(2+x)][1+(2+x)]6,则a2=盘X1+^x2=36,

故C正确，

对于D,当等比数列｛”“｝的公比为q=-1时，S4n=叫二,二；『]=0,

则S4",Ssn-54"，S12”-58”,•不成等比数列,故D错误.

故选：BC.

11.下列结论正确的有()

A.若10ga3<L则。>3

B.若。=5山3h=-logzsin-,c=2~sin3,则6>c>a

C.若孙#0,2*=18>'=93则x-y=l

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D.若a=h=c=则a<c<h

解:对于4,当时,由log。3VL得log〃3Vk>g“a,则〃>3,

当OVaVl时，由log“3Vl,得loga3Vlog〃a,则。<3,

VO<tz<l,A0<a<l,综上，。>3或OVaVl,故A错误；

1TT17rl

对于B,VO<TQV/,.*.0<sin-<sin—=一，

36362

111

/.log2sin^<log2=—1，••-log2sin-^>1,

i11.1

<-sin^<0,・・・2-2<2-s啊<2。=1,

V2-sinr-.11>[2一sin工1

/.—<23vi,/.sin-V—V—<23<1V—logsin-,

2322023

.\b>c>a,故B正确；

对于C,令2'=18,'=9q’=>0,则x=log2l,y=logi8f,xy=log93

.IgtIgtIgt.lg21g8

,log2flog18f=log9bF正五二羸一•斡B

...IgtIgt_SWg18Tg2)

,・x-y=log2t-logi8r=菽-

IglS-Ig2lgl8

Ig2lgl8Igl8—lg2_lg18Tg2_lg9_

故C正确;

-^9S21gl8=~项-二项

对于£>,令/(x)=竽，(x>0),则/(%)=[竺(x>0),

当0<x<e时，f(x)>0,当x>e时，f(x)<0,：.f(x)在(0,e)上递增，在

(e,+°°)上递减，

Ineln3ln4,,一“

\><3<4,：.f(e)>f(3)>f(4),——>—>―,：.a<c<b,故。正确.

e34

故选：BCD.

12.在棱长为1的正方体ABC。-A181C1D1中，E为棱。Ci的中点，点尸在该正方体的侧

面CDDiCi上运动，且B1F〃平面AiBE,以下命题正确的有（）

A.平面4BE截正方体所得的截面图形为等腰梯形

B.侧面CDDICI上存在一点凡使得

1

C.三棱锥尸-A18E的体积为定值：

2

1

D.直线8声与直线A。所成角的正弦值可以为I

解：对于4中，取C。的中点M,连接ME,CD\,BM,可得ME〃CQi,

又由AiB〃CDi,所以

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所以平面A18E截正方体所得的截面图形为梯形AEM8,且为等腰梯形，所以A正确;

对于8中，取C£>i的中点为F,

在△B1CD1中，由81c=初£>1,当F为CDi的中点。时，所以3iOJ_CZ)i,所以8正确：

对于C中，因为AAiBE的面积为定值，当点尸为平面CDD1C1内的动点，

所以点尸到平面CDD\C\的距离是变化的，所以三棱锥尸-48E的体积不是定值，

所以C错误；

对于。中，在正方体ABC。-AIBICIDI中，可得AQ〃BiCi,

所以直线BiF与直线AD所成角即为直线与直线BiCi所成角，

当点尸与点力重合时，设/。81。=。，

在直角△C181。中，可得sin。==呼>得，

所以直线B1F与直线AD所成角的正弦值可以为点所以D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。其中第16题有两个空，第一个空答

对得2分，第二个空答对得3分，两个空全对得5分。

13.已知向量Q=(1,w-1),b=(-2,?7t),若aJ_b,则正实数m的值为2.

解：根据题意，向量；=(1,机-1),b=(-2,m),

_>—>_>—>

若a_L6,则=-2+m(〃i-1)—nr-m-2=0>

解可得m--1或2,

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又由团>0,则机=2；

故答案为：2.

14.请写出函数/（X）=sin（2x+华）+sin2x+2图像的一个对称中心：（：,2）（注：只

knn

要具有（不■一一，2）（fcGZ）这种形式的对称中心都对）.

--------26-----------------------------------------

27r

解：函数/（X）=sin（2x+母）+sin2x+2=sin2xcos—+cos2xsin—2T74-sin2x+2

=^sin2x+^cos2x=2sin（2x+§）+2,

由2x+1=Ki,解得：尢=竽一看，（AwZ）,

knn

，函数/（x）图像的对称中心为（二~—二，2）,猊Z,

26

71

当上=1时，所得函数图像的一个对称中心为（鼻，2）,

7TklTTC

故答案为：（一，2）,（注：只要具有（一一一，2）（依Z）这种形式的对称中心都对）.

326

%2y2

15.已知Fi,乃分别为椭圆E：—4-77=1（«>Z?>0）的左、右焦点，E上存在两点A,

a2b2

_TT2\/2

B,使得梯形AF\F2B的高为鱼c（c为半焦距）,且AR=5B&，则E的离心率为_丁_.

解：,:赢=5BF2,

.•.欣||AF2,

则AF\,BF2为梯形AF1F2B的两条底边,

作尸2P_LAFI,垂足为P,如图所示，

;梯形的高为鱼。（c为半焦距），

：.F2P=V2c,

在Rt△为尸尸2中，FIF2=2C,

：.sinz.AF1F2=姜=孝，即44&尸2=1

设|AFl|=x,

第15页共24页

贝IJ|A@|=24-X,

在△AH7?2中，

2222

由余弦定理可得，|4尸2产=\AFr\+|&尸2『-2\AF\\\F]F2\COS^9即(2Q-%)=x+4c一

,2

2V2cx,解得|AFI|=3-,

,2

同理可得，|BF2|=—，，

a+竽c

・・・京=5晶2,

b2

~~^c

一黄一=5,化简整理可得，4a=3>/2c,

语c

・c4272

^e=a=^f2=—

2\l2

故答案为：—.

16.拿破仑•波拿巴(法语名：NapoleonBonaparte,1769年8月15日-1821年5月5日)，

法国伟大的军事家、政治家，法兰西第一帝国的缔造者.拿破仑一生钟爱数学，他发现

并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则

这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在△A3C中，ZBAC=60°,

AB

以AB,BC,AC为边向外作三个等边三角形，其中心依次为£>,E,F,若。F=4,则一=

AD

V3_,AB+AC的最大值为8.

解：设BC=a,AC=h,AB=c,如图，连接AF,BD,

由拿破仑定理可知△。砂为正三角形，

因为D为等边三角形的中心，所以在△A3。中，NA8O=N8AO=30°,NBD4=120°,

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设BD=AD=m,由余弦定理可得=AD2+BD2-2AD'BDcosZBDA,即AB2=m2+m

1

2-2/T72X(-2),

解得AB=V3m,所以"-丫丝-W，

ADm

因为AB=c,所以AO=9,同理AF=*

c

在尸中，/砌£>=/BAO+/BAC+/C4F=120°,AD=卮。六=4,

b31c2cb

由余弦定理可得DP=AD2+AF2-2AO・AFcosND4F,即16=至+为一2x再x再x

所以(b+c)2-bc=48,

因为8>0,c>0所以。即（---）

2

3

则一（He）2^48,解得b+cW8,

4

即AB+AC的最大值为8,

故答案为：V3；8.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinAsinB+cos2A+cos2B+sin2C

=2.

(1)求C；

(2)若△A3C为锐角三角形，且6=4,求△ABC面积的取值范围.

解：(1)因为sinAsin^+cos2/4+cos2B+sin2C=2,

所以2-sin2C=sinAsinB+(1-sin2A)+(1-sin2B),

222222

可得sinA+sinB-sinC=sinAsinB,由正弦定理知化简得a+b-c=abf

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由余弦定理知，cosC=喀骁=盥另,

因为CG(0,TT),

所以c=*

(2)由(1)知，C=1,

所以A+B=芋,

0<6<5n

又△4BC是锐角三角形，可得〈。〈竽―法，解曳<B斐

bc

由正弦定理知,诉=痂'

T7LA4sU'SlTlLt47s

又6=4,可得c=寺版=而法,

l―112^327r「s讥(冬-8)6r-

所以SA4BC=/3inA=2X4X^FXSIN(~~B)=4娼X5出8=+2^'

因为.<B<1，所以tan8>冬

所以2百Cc<8次,

故△ABC面积的取值范围为（2V3,8V3）.

18.（12分）已知数列伍〃｝的前〃项和为S”且。1=。2=2,。3=3,当”22时，S”+2+S"=

2S/1+1+L数列出”｝是正项等比数列，且64=16,b3—b\b2.

（1）求｛“”｝和｛加｝的通项公式；

（2）把｛〃"｝和｛为｝中的所有项从小到大排列，组成新数列｛Cn｝,例如｛Cn｝的前7项为2,

2,2,3,4,4,5,求数列｛cn｝的前1000项和T1000.

解：（1）当”22时，S"+2+S"=2S“+I+1,"N3时，Sn+i+Sn-\=2Sn+l,相减可得：加+2+z

=2〃“+1,

由Sn+2+Sn=2Sn+1+1,〃=2时，〃]+〃2+。3+〃4+。1+〃2=2(+。2+〃3)+1,解得〃4=4,

。4+。2=2。3,而Q3+41W2。2,

，数列■〃｝从第二项开始为等差数列,即=。2+（〃-2）Xl=n.

・0’九=1

（几，n>2

设正项等比数列｛瓦｝的公比为（7>0,VZ?4=16,加=加历.

/./?1<73=16,q=b\,解得夕=6=2,

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•**b/r=2〃.

（2）数列（即｝的前1000项为：2,2,3,4,5,1000,

数列｛加｝为：21,22,2",2|（）=1024,

因此新数列｛cn｝中包括数列｛〃”｝的前991项为：2,2,3,4,5,991,

包括数列｛为｝的前9项：21,22,29.

二数列｛Cn｝的前1000项和Tiooo=2+2+3+4+…+991+（2'+22+—+29）

_991x（1+991）2（29-1）

―1+2+2-1

=492559.

19.（12分）2022年是奥运年，我国北京和张家口联合承办第二十四届冬季奥运会，本届冬

奥会共设7个大项（滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项）、15个分项（高

山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、短道速滑、速度滑

冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项）共计109个小项.某

校为了调查学生是否喜欢冬季冰雪运动与性别有关，在高三年级特选取了200名学生进

行了问卷调查，得到如下的2义2列联表：

喜欢不喜欢合计

男生aC

女生bd

合计

已知从这200名学生中随机抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8,表格中a=100,

d=20.

（1）完成2X2列联表，并判断是否有90%的把握认为喜欢冰雪运动与性别有关；

（2）从上述喜欢冰雪运动的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取

3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望.

参考公式及数据：犬=回舄篇"而，其中〃

P（公0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

》依）

ko0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828

解：（1）由题可知，从200名学生中抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8,

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故喜欢冰雪运动的有200X0.8=160人，

不喜欢冰雪运动的有200-160=40人，即。=100,6=60,c=20,d=20,

2义2列联表如下：

喜欢不喜欢合计

男生10020120

女生602080

合计16040200

2

2_200x(100x20—60x20)，

,K-160x40x120x802.⑼

没有90%的把握认为喜欢冰雪运动与性别有关.

(2)按分层抽样，设抽取女生x名，男生y名，工=三=三，解得x=3,y=5,

16060100

即抽取的8人中喜欢冰雪运动的女生有3人，男生有5人，

故X=0,1,2,3,

P(X=0)=4=4,P(X=1)=第=i|,P(X=2)=等=P(X=3)=4=强,

Cl28Cl28cl56cl56

故X的分布列如下：

X0123

515151

P————

28285656

q1Cic1o

故E(X)=0x2g+1x2g+2xgg+3x=g.

20.(12分)如图，在三棱柱ABC-481。中，点Bi在底面ABC内的射影恰好是点C,D

是AC的中点，且满足D4=Z)B.

(1)求证：A8_L平面BCC1B1；

71

(2)己知AC=2BC=2,直线BB\与底面ABC所成角的大小为求二面角C-BD-

(1)证明：。是AC的中点，DA=DB,所以A8J_BC,

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因为加在底面ABC内的射影恰好是点C,所以平面ABC,

因为ABu平面ABC,

所以AB_LBiC,

因为8CnBC=C,8Cu平面BCC1B1,BiCu平面8CC1B1,

所以A8_L平面BCC\B\.

(2)解：设BCiCBiC=F,取8。中点E,连接EF、EC,

困为AC=2BC=2,所以BC=BO=C£>=1,

所以CE上BD,

由(1)知FC_L平面ABC,所以CE是EF在平面ABC内投影，

所以BDLEF,

所以NFEC是二面角C-B。-。的平面角，

由(1)知BiC_L平面A8C,所以BC是BB1在平面ABC内投影,

所以/Bi8c是直线BB\与底面ABC所成角,NBiBC=多

所以BiC=BC*tan—=V3>

因为四边形BBCC是平行四边形，所以FC=1-BiC=多

又因为CE=BC・sin60。=孚，

所以尸C=CE,因为尸C_LC£,所以/尸EC=45°.

故二面角C-BD-Ci的大小45°.

XV

21.(12分)已知椭圆C：—+—=1(«>/?>0)的左、右顶点分别为4,B,0为坐标原

a2b2

点，直线/：x=l与C的两个交点和O,B构成一个面积为痣的菱形.

(1)求C的方程.

(2)圆E过0,B,交/于点M,N,直线AM,AN分别交C于另一点P,Q.

①求kAP'kAQ的值；

②证明：直线P。过定点.

解：(1)因为直线/：x=l与C的两个交点和。，8构成的四边形是菱形，

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所以/垂直平分03,所以3(2,0),〃=2,

设。(1,yo)为直线/与C的一个交点，则菱形的面积为］x2X|2yoi=2|卯，

因为菱形的面积为历，

_,y/6V6

所以21yoi=遍，解得yo=±~^-,即。(1,±—),

x2y213

代入W+/=1，得-7+ZT?=L

a2b2a22b2

又因为/=4,所以廿=2,

%2y2

所以c的方程为:-+J=l.

42

(2)①由题意，得。8为圆E的一条弦，且直线x=l垂直平分弦，

故直线x=l经过圆心E,所以MN为圆E的直径，

所以NMON=90°,即•6=0,

设M(l,yw),N(1,yN),则