2022年湖南省长沙市中考数学试卷和答案解析

2022年湖南省长沙市中考数学试卷和答案解析

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请

在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分,

共30分）

1.（3分）-6的相反数是（）

A.-1B.-6C.1D.6

66

2.（3分）如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体

的主视图是（）

正面

3.（3分）下列说法中，正确的是（）

A.调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查

B.“太阳东升西落”是不可能事件

C.为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是

条形统计图

D.任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一

定是13次

4.（3分）下列计算正确的是（）

A.a74-a5=a2B.5a-4a=l

C.3a2,2a3=456a6D.（a-b）2=a2-b2

5.（3分）在平面直角坐标系中，点（5,1）关于原点对称的点的坐

标是()

A.(-5,1)B.(5,-1)C.(1,5)D.(-5,-1)

6.（3分）《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳

入劳动教育课程，并做出明确规定.某班有7名学生已经学会炒

的菜品的种数依次为：3,5,4,6,3,3,4.则这组数据的众数

和中位数分别是（）

A.3,4B.4,3C.3,3D.4,4

7.（3分）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书

香满校园”的读书活动.现需购买甲，乙两种读本共100本供学

生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8

元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（）

A.8x元B.10（100-x）元

C.8（100-x）元D.（100-8x）元

8.（3分）如图，AB/7CD,AE/7CF,ZBAE=75°,则NDCF的

度数为（）

A.65°B.70°C.75°D.105°

9.(3分)如图，PA,PB是OO的切线，A、B为切点，若NAOB

=128°,则NP的度数为（）

A

A.32°B.52°C.64°D.72°

10.（3分）如图，在AABC中，按以下步骤作图：

①分别以点A、B为圆心，大于工AB的长为半径画弧，两弧交于P、

2

Q两点;

②作直线PQ交AB于点D；

③以点D为圆心,AD长为半径画弧交PQ于点M,连接AM、BM.

若AB=2扬则AM的长为（）

A.4B.2C.V3D.我

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）若式子标在实数范围内有意义，则实数x的取值范围

是.

12.（3分）分式方程2二的解为______.

Xx+3

13.（3分）如图，A、B、C是QO上的点，OC_LAB,垂足为点D,

且D为OC的中点，若OA=7,则BC的长为.

14.（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+t=0有两个相等的实数根,

则实数t的值为.

15.（3分）为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，

从该校全体1000名学生中，随机抽取了100名学生进行调查.结

果显示有95名学生知晓.由此，估计该校全体学生中知晓湖南省

“强省会战略”的学生有名.

16.（3分）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、

追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在

全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威

力.看似“码码相同”，实则“码码不同通常，一个“二维码”

由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专

门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200

个方格作为数据码.根据相关数学知识，这200个方格可以生成

22。。个不同的数据二维码，现有四名网友对22。。的理解如下：

YYDS（永远的神）：22。。就是200个2相乘，它是一个非常非常大

的数；

DDDD（懂的都懂）：22。。等于20（）2；

JXND（觉醒年代）：22。。的个位数字是6；

QGYW（强国有我）：我知道21。=1024,103=1000,所以我估计

2200比1060大.

其中对22。。的理解错误的网友是（填写网名字母代号）.

三、参考答案题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分,

第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每

小题6分，共72分.参考答案应写出必要的文字说明、证明过程或

演算步骤）

17.（6分）计算：|-4|+（1）I-（V2）2+2035°.

3

18.（6分）解不等式组：（3x>-8-x①.

l2（x-l）46②

19.（6分）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数.某

小区物业公司决定对小区环境进行优化改造.如图，AB表示该小

区一段长为20m的斜坡，坡角ZBAD=30°,BD±AD于点D.为

方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°.

（1）求该斜坡的高度BD；

（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离.（假设图中C,A,

D三点共线）

B

20.(8分)2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在

此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河

湖生态环境”的水资源保护知识竞赛.为了了解本次知识竞赛成

绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩

进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表.

成绩X/分频数频率

60^x<70150.1

70WxV80a0.2

80^x<9045b

90<xV10060c

(1)表中a=,b=,c=；

(2)请补全频数分布直方图；

(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分,从这

4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法

求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率.

21.（8分）如图，AC平分NBAD,CB±AB,CD±AD,垂足分别

为B,D.

(1)求证：△ABCgZ\ADC；

(2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积.

22.（9分）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑

地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数,

看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题.其大意是：把

300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群,

狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同.问：应该如

何分？请你根据题意参考答案下列问题：

(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，

九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主.”请你根据

以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正

确的打“J”，错误的打“X”.

①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案.

②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案.

③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种.

(2)若罗秀才再增加一个条件：”数量多且数量相同的三个群里，

每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”,求每

个群里狗的数量.

23.(9分)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB

=AD.

(1)求证:AC±BD；

(2)若点E,F分别为AD,AO的中点，连接EF,EF=1,AO

2

=2,求BD的长及四边形ABCD的周长.

24.(10分)如图，四边形ABCD内接于0O,对角线AC,BD相

交于点E,点F在边AD上，连接EF.

(1)求证：ZkABEsaDCE；

(2)当前=合，ZDFE=2ZCDB时，则岖-些=；迎+四

BECEABAD

=；J_+J_-J_=.(直接将结果填写在相应的横

ABADAF

线上)

(3)①记四边形ABCD,AABE,ZkCDE的面积依次为S,Si,

S2,若满足诉=何+厄，试判断^ABE,ACDE的形状，并说

明理由.

②当而=合，AB=m,AD=n,CD=p时，试用含m,n,p的式

子表示AE,CE.

25.(10分)若关于x的函数y,当t-■|■WxWt+a时，函数y的最大

值为M,最小值为N,令函数h=M,我们不妨把函数h称之为

2

函数y的“共同体函数

(1)①若函数y=4044x,当t=l时，求函数y的“共同体函数”

h的值；

②若函数丫=1«^^(kWO,k,b为常数)，求函数y的“共同体函

数”h的解析式；

(2)若函数y=2(x21),求函数y的“共同体函数”h的最大

X

值；

(3)若函数y=-x2+4x+k,是否存在实数k,使得函数y的最大

值等于函数y的“共同体函数“h的最小值.若存在，求出k的值;

若不存在，请说明理由.

参考答案与解析

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请

在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分,

共30分）

1.【参考答案】解：-6的相反数是6,

故选：D.

【解析】本题考查了相反数,熟练掌握相反数的意义是解题的关键.

2.【参考答案】解：根据主视图的概念，可知选B,

故选：B.

【解析】本题考查三视图的概念，掌握概念是解题的关键.

3.【参考答案】解：A、调查某班45名学生的身高情况宜采用全面

调查，故A符合题意；

B、“太阳东升西落”是必然事件，故B不符合题意；

C、为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是

扇形统计图，故C不符合题意；

D、任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可

能是13次，故D不符合题意；

故选：A.

【解析】本题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，条形统计

图，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键.

4.【参考答案】解：・・・a7+a5=a7r=a2,

AA的计算正确；

V5a-4a=a,

AB的计算不正确;

V3a2*2a3=6a5,

，C选项的计算不正确；

■:（a-b）2=a2-2ab+b2,

・・・D选项的计算不正确，

综上，计算正确的是A,

故选：A.

【解析】本题主要考查了同底数塞的除法法则,合并同类项的法则,

单项式乘以单项式的法则和完全平方公式，正确使用上述法则与公

式进行运算是解题的关键.

5.【参考答案】解：根据中心对称的性质，可知：点（5,1）关于原

点O中心对称的点的坐标为（-5,-1）.

故选：D.

【解析】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基

本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形.

6.【参考答案】解：•・•这7个数据中出现次数最多的数据是3,

・•・这组数据的众数是3.

把这组数据按从小到大顺序排为：

3,3,3,4,4,5,6,

位于中间的数据为4,

・•・这组数据的中位数为4,

故选：A.

【解析】本题主要考查众数的定义：一组数据中出现次数最多的数

据就是这组数据的众数，中位数是指将一组数据按照由小到大(或

由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称中间位置的

数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数

据的平均数这这组数据的中位数.

7.【参考答案】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为:

8(100-x)元.

故选：C.

【解析】此题主要考查了列代数式，正确表示出乙的本数是解题关

键.

VAB//CD,

.e.ZDGE=ZBAE=75°,

VAE/7CF,

.\ZDCF=ZDGE=75O,

故选：C.

【解析】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行,

同位角相等.

9.【参考答案】解：TPA,PB是。O的切线，A、B为切点，

.\ZOAP=ZOBP=90°,

VZAOB=128°，

:.ZP=360°-ZOAP-ZOBP-ZAOB=52°,

故选：B.

【解析】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关

键.

10.【参考答案】解：由作图可知，PQ是AB的垂直平分线，

.•.AM=BM,

•・•以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M,

.,.DA=DM=DB,

.e.ZDAM=ZDMA,ZDBM=ZDMB,

VZDAM+ZDMA+ZDBM+ZDMB=180°,

2ZDMA+2ZDMB=180°,

AZDMA+ZDMB=90°,即NAMB=90°,

.,.△AMB是等腰直角三角形，

.,.AM=^2.AB=^2.X2V2=2,

22

故选：B.

【解析】本题考查尺规作图中的相关计算问题，解题的关键是根据

作图证明AAMB是等腰直角三角形.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.【参考答案】解：由题意得：

x-1920,

解得：x219,

故答案为：x219.

【解析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式4

(a'O)是解题的关键.

12.【参考答案】解：方程的两边同乘x(x+3),得

2(x+3)=5x,

解得x=2.

检验：把x=2代入x(x+3)=10W0,即x=2是原分式方程的解.

故原方程的解为：x=2.

故答案为：x=2.

【解析】此题考查了分式方程的求解方法.注意：①解分式方程的

基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，②解

分式方程一定注意要验根.

13.【参考答案】解：TOA=OC=7,且D为OC的中点，

.,.OD=CD,

VOC±AB,

.*.ZODA=ZCDB=90o,AD=BD,

在△AOD和aBCD中，

'OD=CD

•ZADO=ZBDC

AD=BD

.•.AAOD^ABCD(SAS),

.e.BC=OA=7.

故答案为：7.

【解析】本题主要考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，解题

关键是熟知垂径定理内容.

14.【参考答案】解：•・•关于x的一元二次方程x2+2x+t=0有两个相

等的实数根，

/.A=0,即22-4XlXt=0,

解得t=l,

故答案为：t=L

【解析】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a

W0）的根与A=b2-4ac有如下关系：当A>0时，方程有两个不

相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当AV0

时，方程无实数根.

15.【参考答案】解：估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”

的学生有：1000XJL=950（名）.

100

故答案为：950.

【解析】本题主要考查样本估计总体，熟练掌握样本估计总体的思

想及计算方法是解题的关键.

16.【参考答案】解：（1）•・•22。。就是200个2相乘，

AYYDS（永远的神）的说法正确；

:22。。就是200个2相乘，2002是2个200相乘，

.•.220。不等于2002,

ADDDD（懂的都懂）说法不正确；

*：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,•••,

・・・2n的尾数2,4,8,6循环，

V2004-4=50,

・•・22。。的个位数字是6,

AJXND（觉醒年代）说法正确；

V210=1024,103=1000,

.,.2200=（210）20=（1024）20,1060=（103）2°=10002°,

V1024>1000,

A2200>1060,

.,.QGYW（强国有我）说法正确；

故答案为：DDDD.

【解析】本题考查实数的运算，熟练掌握乘方的性质，积的乘方运

算法则，尾数的循环规律是解题的关键.

三、参考答案题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分,

第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每

小题6分，共72分.参考答案应写出必要的文字说明、证明过程或

演算步骤）

17.【参考答案】解：|-4|+（1）-1-（V2）2+2035°

3

=4+3-2+1

=6.

【解析】本题考查了零指数塞，负整数指数塞，绝对值，实数的运

算，准确熟练地化简各式是解题的关键.

18.【参考答案】解：（3x>-8-xQ,

解不等式①得：x>-2,

解不等式②得：x<4,

，原不等式组的解集为：-2VxW4.

【解析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不

等式组是解题的关键.

19.【参考答案】解：(1)在RtZkABD中，VZADB=90°,ZBAD

=30°,BA=20m,

.*.BD=1BA=1O(m),

2

答：该斜坡的高度BD为10m；

(2)在4405中，ZBAD=30°,ZBCA=15°,

.e.ZCBA=15o,

.*.AB=AC=20(m),

答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m.

【解析】本题主要考查坡度坡角的定义及解直角三角形，得到AB

=AC是解题的关键.

20.【参考答案】解：(1)由题意得：a=150-15-45-60=30,b

=454-150=0.3,c=604-150=0.4,

故答案为：30,0.3,0.4；

(2)补全频数分布直方图如下：

Zl\/NZN/K

女女女男女女男女女男女女

共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、

一名女生的结果有6种，

・••选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为g=工

122

【解析】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和频数分

布直方图等知识.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结

果，适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所

求情况数与总情况数之比.

21.【参考答案】（1）证明：••'AC平分NBAD,

.e.ZBAC=ZDAC,

VCB±AB,CD±AD,

.•.ZB=90°=ZD,

在△ABC和△ADC中,

'NB=/D

,ZBAC=ZDAC，

AC=AC

AAABC^AADC(AAS)；

(2)解：由(1)知：AABC^AADC,

=

:.BC=CD=3,SAABCSAADC9

.，.SAABC=1AB>BC=1X4X3=6,

22

*'•SAADC=6,

.'•S四边形ABCD=SZ\ABC+SZSADC=12，

答：四边形ABCD的面积是12.

【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全

等三角形的判定定理.

22.【参考答案】解：(1)设“三多”的每群狗有x条，则“一少”的

狗有(300-3x)条,

根据题意得：[300-3x)0,

[300-3x<x

解得75<x<100,

•・・x为奇数，

・・・x可取77,79,81......99,共12个,

，①正确，②③错误，

故答案为：V,X,X；

(2)设“三多”的每群狗有m条，“一少”的狗有n条，

根据题意得：(加切=300,

lm-n=40

答：“三多”的每群狗有85条，”一少”的狗有45条.

【解析】本题考查不等式组及二元一次方程组的应用，解题的关键

是读懂题意，列出不等式组和方程组.

23.【参考答案】(1)证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，AB=

AD,

"ABCD是菱形，

AACIBD；

(2)解：•・,点E,F分别为AD,AO的中点，

/.EF是△AOD的中位线，

.•.OD=2EF=3,

由(1)可知，四边形ABCD是菱形，

.*.AB=BC=CD=AD,AC1BD,BD=2OD=6,

在Rtz^AOD中，由勾股定理得：AD=7I居于=后子=后，

・•・菱形ABCD的周长=4AD=4后.

【解析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、三角

形中位线定理以及勾股定理等知识,熟练掌握菱形的判定与性质是

解题的关键.

24.【参考答案】(1)证明：•・•翁=俞，

.'.ZACD=ZABD,§PZABE=ZDCE,

又•；NDEC=NAEB,

.'.△ABE^ADCE；

(2)解：VAABE^ADCE,

•••A-B-=---B-E-=---A,E

DCCEDE

.*.AE*CE=BE*DE,

•AE_DEAE<E-BE>DE=n

**BECE=-BE»CE，

VZCDB+ZCBD=180°-ZBCD=ZDAB=2ZCDB,

XVZDFE=2ZCDB,

.*.ZDFE=ZDAB,

，EF〃AB,

.•.ZFEA=ZEAB,

VDC=CB，

.e.ZDAC=ZBAC,

.\ZFAE=ZFEA,

.\FA=FE,

VEF/7AB,

.,.△DFE^ADAB,

••E•F=--D-F-f

ABAD

.•.空FE=EFAF=DFAF=AD=1>

**AB+ADAB+ADAD4ADAD，

•・•鲤+鲤=空厘=1,

ABADABAD

...空+鲤=1,

ABAD

^=0,

ABADAF

故答案为：0,1,0；

(3)解：①△ABE,ZXDCE都为等腰三角形，

理由：记AADE、ZkEBC的面积为S3、S4,

则S=Si+S升S3+S4,

..Si_s4_gE

**§7DE,

・・・SiS2=S3s4①，

,VsWs]+1$2'

・・・S3+S4=2假商②，

由①②可得偲何，

即（呵-瓜）三°，

，S3=S4,

:.SAABE+SAADE=SAABE+SAEBC,

即SAABD=SAADC,

・・・CD〃AB,

.\ZACD=ZBAC,ZCDB=ZDBA,

VZACD=ZABD,ZCDB=ZCAB,

.\ZEDC=ZECD=ZEBA=ZEAB,

AAABE,ADCE都为等腰三角形；

②丁位=前,

.\ZDAC=ZEAB,

VZDCA=ZEBA,

.•.△DAC^AEAB,

.-.AD=AC,

EAAB

*.*AB=m,AD=n,CD=p,

，EA・AC=DAXAB=mn,

ZBDC=ZBAC=ZDAC,

.\ZCDE=ZCAD,

XZECD=ZDCA,

/.△DCE^AACD,

•••C-D-=--C-E-f

ACCD

.•.EA-AC+CE*AC=AC2=mn+p2,

22

则AC=7^,.EC=^=J_,

AAE=AC-CE=1m,

vm+p2

2

.*.AE*CE=-™^-.

mn+p2

【解析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，对于

相似恒等式的推导是解题的关键.

25.【参考答案】解：⑴①,・气=1,

•'•IWxW旦，

22

*.*函数y=4044x,

/.函数的最大值M