2021年沪教版必修二数学单元复习-期末复习【真题训练】教师版

期末复习【真题训练】

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第卜6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸

的相应位置直接填写结果.

1.(2021•江苏淮安市•高一月考)第24届国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽

的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个

大正方形，若小正方形的面积为4,大正方形的面积为100,设直角三角形中较大的锐角为氏

【分析】设直角二角形的边长为。，a+1,a2+(a+2)2=lQ0,a>Q.解出tan。的值，再利

用两角差的正切公式，即可得出.

【详解】设直角三角形的边长为a,a+2,

则/+(〃+2)2=100,。>0,解得。=6,故四个小直角三角的三边分别为6、8、10.

.„4八3tan0-l31

sin,cosC=—,/.tan<9=-,/.tan(/<Z91---)=--------=±-=-,

5534l+tan。77

故答案为：y.

【点睛】本题考查了勾股定理、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.易错

点在于“设直角三角形中较大的锐角为。”，常见的题目都是较小角.

2.(2021•全国高一课时练习)在AABC中，内角A,8,C所对的边分别为a力,c,已知

bsinA-GacosB=2b->/3c，则A=.

【答案】

6

【分析】正弦定理边化角后，结合两角和差正弦公式以及辅助角公式可求得sin(A+()=l,

根据A的范围可确定结果.

【详解】在△ABC中，由正弦定理得：sinBsinA->/3sinAcosB=2sinB-V3sinC，

•.・A+3+C=»,.,.sinC=sin(A+B),

二sin3sinA-GsinAcosB=2sinB->/3sinAcosB-y/3cosAsinB»

整理可得：sinBsinA=2sinB-V3cosAsinB，

•/Be(O,^),...sin5w0,/.sinA=2->/3cosA»

即sinA+>/3cosA=2sin[A+^)=2,「.sin(A+=1,

71

A(71^7t\71/日人)

Ae(0,^),/.A+—G,「.AH—=一,解得：A=一.

3v33J326

故答案为：—•

6

【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的知识，解题关键是能够利用正弦定理将已知边角

关系式中的边化为角，从而利用三角恒等变换的知识来进行化简.

3.（2021•全国高一课时练习）在△A3C中，sinA:sinB:sinC=7:3:5,那么这个三角

形的最大角是

27r

【答案】y

【分析】根据正弦定理，通过比例设出边长，借助余弦定理计算即可.

【详解】由正弦定理,a:/?:c=sinA:sinB:sinC=7:3:5,

设a=7A,b=3Z,c=5Z（Z>0）,

显然该三角形的最大角是角A,

»2229A2+25公-49二

由余弦定理，可得cosA=c-一矿

2bc2x3Zx5A2

因为力«0,兀），所以A=

故答案为：--

3

【点睛】本题考查正、余弦定理的综合运用，关键点在于找到最大角，记住“大边对大角”

即可.

4.（2020•广东佛山市•佛山一中高一月考）已知tana=2,则当±2*

3cosa-sina

【答案】4

Qin/V+9cosa

【分析］平土上上匕分子分母同除以cosa,将tana=2代入即可得结果.

3cosa-sincz

-sina+2cosatana+22+2,

【详解】-------------=---------=-----=4.

3cosa-sina3-tana3-2

故答案为:4.

【点睛】关键点睛：本题主要考查，同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题.同角三

角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关

系是正余弦与正切之间的转换是关键.

5.(2020•全国高一单元测试)若函数/(X)=cos?x-asinx+〉0)的最大值为0,最小

值为-4,则实数2。+8=

【答案】2

【分析】由平方关系化为关于sinx的函数，再用换元法化为二次函数，然后利用二次函数性

质求解.

【详解】/(x)=-sin2x-asinx+Z?+l,令£=sinx(-l<1),

则y=—厂—af+8+1(-1Wr<1),函数的对称轴为?=——,

—1+。+匕+1=0,a=2,

当一冷1，即。22时,=>〈

一1一。+/?+1=-4,=-2,

当一即0<a<2时，一(一•(一•|)+8+1=0且一1-4+匕+1=-4,此时无

解；

a—2,

\，所以2a+0=2-

b=-2,

故答案为：2.

【点睛】思路点睛：本题考查求三角函数求最值问题，一般有两种类型：一是利用三角函数

恒等变换公式化为函数为一个角的一个二角函数形式，然后结合正弦函数性质求得最值，另

一种是化为关于sinx(或cosx)的二次函数形式，用换元法后利用二次函数性质求得最值.

6.(2021•陕西西安市•西安一中高一月考)若函数/(x)=xsin5-+l,则

/(1)+/(2)+/(3)+……+/(2021)=

【答案】3032

【分析】根据正弦函数的周期性进行求解即可.

JTY_2_%—4.

【详解】因为函数g(x)=sin—的最小正周期为71,

2I

所以有当左wN*时,

/(4Z)=(4Z)sin—^―+1=1,

/(4J)=(4Z-1)sin逖+1=一(4J)+1

f(4k-2)=(4k-2)sin(软一.4+1=1,

/(4左一3)=(4左一3)sin(4k；3)万*]=⑷左_3)+1,

因此有：/(4&-3)+/(4k—2)+/(4Z-l)+/(4k)=2(ZeN*),于是有：

/(1)+/(2)+/(3)+……+/(2021)

=f(l)+f(2)+f(3)+……+/(2017)+/(2018)+/(2019)+/(2020)+/(2021)

=2x505+2021+1

=3032

故答案为：3032

【点睛】关键点睛：根据所求的代数式的值联想到正弦型函数的周期性是解题的关键.

7.(2021•上海高一专题练习)一正弦曲线的一个最高点为1=,3]，从相邻的最低点到这最

(4)

高点的图象交x轴于最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为

【答案】y=3sin(乃

【分析】设正弦曲线为y=Asin(5+°)+〃，利用最值求出A,再利用函数的最小正周期求

出。的值，最后根据最大值点求出0的值即得解.

【详解】设正弦曲线为y=Asin(s+夕)+6,

3=A+h

由题得〈.,,,.・.〃=0,A=3,

-3=-A+h

所以y=3sin(0x+。).

因为正弦曲线的一个最高点为3),从相邻的最低点到这最高点的图象交x轴于,

111

所以函数的最小正周期为！-(-3

2-4-4-

44

所以y=3sinOrx+。).

]7t

由题得3=3sin(乃x—(p~—.

44

所以y=3sin(;rx+色).

4

TT

故答案为：y=3sin(^x+-)

4

【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式，一般先设出三角函数的解析式^=45由(心4/)+3

再求待定系数A，WM，最值确定函数的A#,周期确定函数的w,非平衡位置的点确定函数

的《

8.(2020•南昌县莲塘第一中学高一月考)关于函数/(x)=sinN+binR有下述四个结论:

①“X)是偶函数；②/(x)在区间单调递减；③“X)在[―4,句有3个零点；④“X)

的最小正周期为2%；⑤/(x)的最大值为1，其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②③

【分析】由奇偶性定义可判断出/(x)为偶函数，①正确；

分别在工€[2攵4,2攵万+司(左eN)和xe[2Qr+肛2kr+2司(左eN)两种情况下求得了(x)

解析式，结合偶函数的对称性可得/(x)图象，结合图象可判断出②③④⑤的正误.

【详解】：/(》)=5皿凶+同11%|的定义域为/?.

且/(-%)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx\=f(x),

••・/(x)为偶函数，①正确；

、'ixe[2&；r,2Z；T+;r](ZeN)时，/(x)=2sinx；

当X€[2左乃+万,2人不+2不](左eN)时，/(x)=O；

又/(x)为偶函数，图象关于y轴对称，则可得/(力图象如下图所示：

由图象可知：“X)在万,兀J上单调递减，②正确;

/(x)在[一肛句上有一万，％=0和彳=万三个零点，③正确;

・・•/（—1）=2,/（—］+2万）=/（苧）=0,.•.2〃不是/（力的周期，且由图象可知/（x）

不具备周期性，④错误；

由图象可知：/（x）1rax=2,⑤错误.

故答案为：①②③.

【点睛】关键点点睛：本题考查含绝对值的正弦函数相关问题的求解，解题关键是能够通过

分类讨论的方式得到/（x）的表达式，并根据函数奇偶性确定/"）的图象，采用数形结合的

方式判断出各个选项的正误.

9.（2021•浙江高一期末）已知向量第B满足出|=1,求一孩1.5+1=0,则小（2々+5）的

取值范围是

【答案】|，7

【分析】由数量积公式结合-1机。s01得出g«|M|W3,再由

aQ

小（22+母=2〃石+1=］讲+］结合二次函数的性质得出所求范围.

【详解】•：a-b=\a^b\cos0=\a\cos0

inin、0_

.•㈤一-^.5+1=0可得|利2一A团cos8+l=0可变形为c°sa=-^y:

33yl«l

i

由-1技2so1可知，西二'，解得；区3

—\a\3

「一

・・・B・（2M+B）=2万・5+1=,362+^X£-5J

故答案为：—

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由-1祀osO1得出g«|初43,从而由二次函数的

性质得出范围.

10.（2021惭江高一期末）已知平面向量b，［满足：同=问=2,a-b=-2，,一〃一句=1,

则无1的取值范围是

【答案】［0,4］

【分析】求出£出夹角，将日，5，I的起点重合，则向量I的终点在以n+b终点为圆心，

以1为半径的圆上，作出图形后可得向量在向量。方向上投影的最大值和最小值，也即7"的

最大值和最小值.

【详解】•••同=|闸=2,无瓦=一2,.•.8$@可=靠［=一；，与石夹角为120。，a+b

与了夹角为60。，|万+.=2.将心5，不的起点重合，由于卜一〃—*1.因此向量C的

终点在以a+5终点为圆心，以1为半径的圆上，如图.容易得，向量1在向量方方向上的最小

投影是0,最大投影是2,所以的取值范围是［0,4］.

故答案为：［0,4］.

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量数量积的范围，解题关键是作图，将2,b.5的

起点重合，得出向量己的终点在以々+6终点为圆心，以1为半径的圆上，利用图形求得结论.

11.（2021•江苏高一期中）在AA6c中，OA^OB=\,ZAOB=—,若

3

OC=之砺+〃砺五|=26，则九+//的取值范围为.

【答案】［YG,4JT|

【分析】利用数量积得到万一以+〃2-12=0,设r=4+",消去〃，根据关于乂的方程有

根，只需A=9产-12（产一12）20,求出力的范围即可.

2zr

【详解】•••0A=03=l,ZA0B=—,

3

砺•砺=|明＜词cosZAOB=l.lcosg=-g.

•.♦西=26，A|oc|2=12,

，(九西+〃而J=12,BPA2Q42+2/dAOA^OB+笛丽°=12

：.%一©+〃2_]2=0

设f=/l+〃，则〃=r—4,代入万一〃九+〃2一]2=0得：

Z2-(r-/l)/l+(r-Z)2-12=0,整理得：322-3/2+r-12=0.

要使关于4的方程有根，只需A=9/2-12(r2-12)>0,

解得：-4y/3<t<4y/3.

所以4+〃的取值范围为[-46,46]

故答案为：[-46,46]

【点睛】进行向量运算：

(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；

(2)树立“基底”意识，利用基向量进行运算.

12.(2021•江苏高一期中)设复数z满足闵=1,冈=20+22=-1+6，，则|z「Z2l=

【答案】a

【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦

定理求解出卜—2|的值.

【详解】设4/2在复平面中对应的向量为西，运，4+Zz对应的向量为西，如下图所示:

又因为NOZiZs+NZQZ2=180°,所以cosNZQZ?=-cosNOZZ3=-1,

所以|在『=OZ：+OZ；-2OZ「OZ2-cosNZQZ2=1+4+1=6,

所以昆乙卜卡，又|Z1一2|=224|=",

故答案为：\[6■

【点睛】结论点睛：复数的几何意义:

（1）复数z=a+阳〃力eR）《对应》复平面内的点z（a力）（〃力eR）；

（2）复数z=a+仇.（a,beR）＜一.对应,平面向量万亍.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题

纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.（2021•浙江高一期末）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即

“以小斜基并大斜累减中斜暴，余半之，自乘于上；以小斜幕乘大斜累减上，余四约之，为

实；一为从隅，开平方得积”，可用公式5］（其中a,b,c,5为三

角形的三边和面积）表示，在AAbC中，a,b,。分别为角凡B,C所对的边，若。=2,且

hcosC-ccosB=c2＞则AASC面积的最大值为（）

A.1B.6C.76D.2娓

【答案】B

【分析】由己知条件等式，结合余弦定理可得匕工=/,进而有方=Gc,将其代入公式S,

a

应用二次函数的性质求最值即可.

21222212I22

【详解】由题设，结合余弦定理知：ba+b~C-Ca+C~b=C2,即2"工=,2,而

2ah2aca

a=2,

底,尸斗产部

•••当。=2时，S皿=技

故选:B.

【点睛】关键点点睛：应用余弦定理的边角关系，代入已知等式整理得b=Gc,再由面积公

式求最值.

14.（2021•四川省泸县第二中学高一月考（文））已知定义在R上的函数/（%）满足

+=-X）,且当乙4x4不时，/（x）=sinx,则当函数g（x）=/（x）在

-g,乃有零点时，关于其零点之和有以下阐述：①零点之和为②零点之和为巴；③零

2J42

3兀

点之和为一；④零点之和为4.其中结果有可能成立的是()

4

A.①②B.②③C.③④D.②③④

【答案】D

7T

【分析】由题意可知，函数/(X)关于x=一对称，作出函数图像，将g(x)=/(x)-a在

4

7C

-万，万有零点，转化为函数y=/(x)与函数y=以有交点，结合图像，利用函数零点个数

分类讨论即可.

【详解】由题意，函数满足+=所以函数/(X)关于x=(对称，

TT

又因为当"yVxV乃时，/(x)=sinx,所以作出函数的图像如图所示，g(x)=/(x)—a在

4

一g兀有零点，

即函数y=/*)与函数有交点，结合图像可知，*正或。=1时，有两个各点,

2

TT

零点之和为二;

2

当°=也时，有三个零点，零点之和为手；当正＜1时，有四个零点，零点和为7,

242

所以可能成立的有②③④.

故选：D

【点睛】函数零点的求解与判断方法:

(1)直接求零点：令f(x)=O,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间句上是连续不断的曲线，且

/(a)/S)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零

点.

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，两两个函数的图象，看其交点的横坐

标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

15.(2021•天津南开中学高一期中)在梯形ABC。中，已知

ABUCD,AB=5,AD=26CD=1,且亚.丽=7，设点P为边上的任一点，贝U

丽•丽的最小值为()

A.—B.—C.3D.—15

55

【答案】B

【分析】由尼•丽=7求出向量疝砺的夹角的余弦值，设旃=2耳心，然后建立平面直

角坐标系利用向量坐标求解数量积.

【详解】设

则而而=(而+觉).例+网=而•丽+访+觉•丽+反•而

=-5x2后cos6+20-lx5+lx2加cos6

=15-86cos。

由前•丽=7，则15—86cos6=7,所以cos6=@

过点。作OO_LA8交A8于点。，以。为原点，AB为“轴，。。为，轴，建立平面直角坐

标系.

在直角八!。。中，由de=cose=X5，可得AO=2,则8=4

AD5

所以A(-2,0),B(3,0),D(0,4),C(l,4)

设而=2配=2(—2,4)=(-244/1)(0«X<1)

AP=Afi+BP=(5,0)+(-2/l,4Z)=(5-2A,4A)

DP=n4+AB+BP=(-2,-4)+(5-22,42)=(3-2/l,4Z-4)

所以衣•而=(5—22,44).(3-244/1-4)=20储_322+15

411

所以当4=不时，丽.丽有最小值彳

故选：B

【点睛】关键点睛：本题考查利用向量的数量积求向量夹角利用向量坐标求解向量数量积的

最小值，解答本题的关键是由衣.丽=7求出向量而,通的夹角的余弦值，再建立坐标系,

得出点的坐标，设丽=2而，利用向量的坐标得出福.而=20纪-324+15，属于中档题.

16.(2021・上海高一课时练习)已知复数4、Z?满足匕一Z2|=r(r>0),复数

例(1n,n&N*)满足的-zj=r或者弧—I=r,且同-叼上厂对任意1成

立，则正整数〃的最大值为()

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】用向量0X,而表示三三，根据题意，可得|砺-砺|=|丽］=乙因为=r或

者3-Z21=r,根据其几何意义可得他的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为〃，数形

结合，即可得答案.

【详解】用向量丽,而表示1名，

因为上―2I=r(r>0)，所以-03卜网=「，

又助(1<i<N*)满足的一zj=r或者弧—zj=r,

则何可表示以妫起点，终点在以月为圆心，半径为崩圆上的向量，或终点在以6为圆心，半

径为巡圆上的向量，则终点可能的个数即为〃，

因为陶-闻冷，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60。，

如图所示，则最多有10个可能的终点，即止10.

故选：C

【点睛】解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到。，的终点轨迹，根据条件，数形结合,

即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.（2021•浙江高一期末）已知AABC的内角人从必对边分别为a、3c,已知J?=（2a,2Z?）,

rc

n=（cos6,cosA）且满足沅•月二——一.

cosC

（1）求G

（2）若c=3,求当函数/（B）=cos28—4cosCsin8取最小值时AABC的周长；

（3）求sinAsin8的取值范围.

兀（3-

【答案】⑴（2）3+373;（3）I0,-.

【分析】（1）先由题中条件，得至UZacosB+ZbcosA：—^；,再由正弦定理将该式变形整

cosC

理，求出cosC,即可得出角C；

（2）先将/（B）化简整理，得至iJ/（8）=-2（sinB+g）+|,确定其取最小值时，5=1,

进而可求出各边长，得到三角形的周长；

2万，2、（in\

（3）先由（1）得到8=日--A,,将所求式子化为sinAsinB=sinAsin［三--A,

化简整理后，利用三角函数的性质，即可求出其范围.

【详解】

(1)由题意可得)”「=2acosB+2bcosA=--一

cosC

根据」E弦定理可得2sinAcosB+2sinBcosA=把C,则2sin(A+B)=当©,

cosCcosC

qjn1TT

所以2sinC=^——，又。为三角形内角，所以Cc(O,〃)，因此cosC=—,所以。=一；

cosC23

(2)因为=cos28-4cosCsin5=l-Zsin?8-2sin6=-21in3+g)+-1.

由。=工可得0<B<4，因此OvsinBWl；所以当且仅当sin8=l时,

33

/（B）=—2,inB+g）+,取得最小值，此时5=］；

因为c=3,所以b=•,「=2G,a=bcosC=下＞，

smC

则△ABC的周长为a+0+c=3+36；

(3)因为C=工，所以3=空—A,

33

因此sinAsinB=sinAsin|--A\

=^-sin2A+—sin2A=^-sin2A+—（1-cos2A）=—sin2A--j+—,

4244V，2I4

因为Ae（0,｝）,所以2A-3（一亲言），

因此sin（2A_^）e（_g,l,所以;sin（2A_^）+；e（0,1,

即sinAsinB的取值范围是（0,《.

【点睛】思路点睛：

求解三角形的相关问题时，一般先利用正弦定理或余弦定理将题中条件进行转化，求出所需

角或边；再结合题中条件，进行求解；有时也会利用三角函数的性质或基本不等式求解最值

或范围问题.

18.（2021•金昌市第一中学高一期中（理））已知在AMC中，“，b,c分别是角4B,

)4-

C所对的边，且cosA3sinA-cosA

（1）求角的大小；

⑵若a=2叵,S.股c=2g，判断三角形的形状.

TT

【答案】（1）］；（2）三角形是等边二角形.

【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简已知式得sin（2A-?）=l,再结合三角

形内角的取值范围即得角4即可；

（2）先利用面积公式得到从=8,利用余弦定理得到b+c=40，再解方程即得

b=c=2&，即可判断结果.

【详解】解：（1）:cosA（gsinA-cosA）=g,

>/3sinAcosA-cos2A

3I

=-^-sin2/4--（l+cos2A）

=—^-sin2A--cos2A--=—，BPsin|2A--।=1,

2222k6；

又力为三角形的内角，有AE（0,万）,24一工£（一二,一^—],

6I6oJ

：.2A--=-,解得A=工；

623

（2）''a-2>/2-S.ABC=2G，sinA=,

：.-besinA=2y/3,即%=8①，

2

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=（b+c\-3bc,即8=（b+c'1-24,解得

Hc=4夜②，

联立①②，解得：/?=C=2VL

所以三角形是等边三角形.

【点睛】方法点睛：

求解三角形中有关边长、角、面积的相关问题时，通常结合三角恒等变换，利用正弦定理、

余弦定理与三角形面积公式，建立a+8，ab,/+〃之间的等量关系与不等关系，然后利

用函数、方程或基本不等式求解.

19.（2021•江苏高一期中）已知函数/（x）=J5sin（（yx+e）（3>0,-的图象关

TT

于直线x=一对称，且图象相邻两个最高点的距离为万.

3

a-]J的值.

7T

【分析】(1)利用周期求&，利用图象关于直线x=-对称求(P:

3

jrTT7T7T

(2)先求出a-7的正弦、余弦值，再把a-一拆成a-二-二，利用两角差的余弦公式求

6366

值即可.

【详解】(1)=图象相邻两个最高点的距离为"，

=的最小正周期为不，

2%

・•・「=»,又0〉0解得：a)=2.

丫的y=/(x)图象关于直线对称,

，2x—+0=%4+—,又——<(p<—,解得：(p=——.

32226

(2)由(1)知，/(x)=V3sin|

了圉=氐W邛,所以sin(a一讣；.

(左、71.(兀、.兀

=cosa——cos—+sina----sin—

I6j6I6)6

V15V31

---------X---------1——X

4242

375+1

―_8-

【点睛】(1)求三角函数解析式的方法：

①求A通常用最大值或最小值；②求。通常用周期；③求。通常利用函数上的点带入即可求解.

(2)利用三角公式求二角函数值的关键：

①角的范围的判断；②根据条件进行合理的拆角，如£=(a+Z?)-e,2a=(c+夕)+(。-夕)等.

20.(2021•江苏苏州市•高一期中)(1)对于平面向量h,求证："可W同M，并

说明等号成立的条件；

(2)我们知道求/(e)=cos6+Gsin。的最大值可化为求/(6)=2sin(e+。的最大值，也