2022-2023学年福建省泉州实验中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州实验中学九年级第一学期期末数学试

卷

一.选择题（只有一个正确答案，本大题共10小题，每小题4分，共40分）

I.在中，ZC=90°,AB=10,AC=6,则cosA的值等于（）

A.—B.—C.—D.

5534

2.若正多边形的中心角为72°,则该正多边形的边数为（）

A.8B.7C.6D.5

3.下列说法中不正确的是（）

A.想了解某种饮料中含色素的情况，宜抽样调查

B.“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件

C.“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件

D.一组数据6,7,8,9,10的方差是3

4.函数y=fcf2-4x+4的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（)

A.k<\B.人<1且/WOC.&W1D.

5.如图：在AABC中，点。，£分别是AB,AC的中点，若四边形BCED的面积是3。病,

则△AOE的面积是（）

A.\cnfiB.2cm1C.3c/n2D.4c7研

6.五名同学捐款数分别是5,3,6,5,10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10

元.追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（）

A.只有平均数B.只有中位数

C.只有众数D.中位数和众数

7.如图，。。的半径为10,若OP=8,则经过点P的弦长可能是（）

8.如图，半径为5的OA中，弦3C,EQ所对的圆心角分别是N3AC,ZEAD,若DE=6,

ZBAC+Z£AD=180°,则弦3C的长等于()

A.8B.10C.11D.12

9.已知A(3,几)、B(m,n+1)是抛物线y=or2+4or+c(«<0)上两点，则机的值不可

能是()

A.2B.0C.-6D.-9

10.如图：已知点A(-8,0),B(2,0),点C在直线y=-返"2加上，则使AABC

3

是直角三角形的点C的个数为()

A.1B.2C.3D.4

填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)

11.二次函数y=-(x-1)2-3图象的顶点坐标为.

12.若圆锥的底面半径为3,母线长为4,则这个圆锥的侧面积是.

13.一条上山直道的坡度为1：7,沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为米.

14.如图，直角坐标系中一条圆弧经过A(0,4),8(4,4),C(6,2)三个网格点，

已知点力为x轴正半轴上的一点，若直线C。与该圆弧相切，则点。的坐标为

15.在平面直角坐标系中，点A的坐标（-1,0）,点8的坐标（4,0）.已知：抛物线y

=N-2x+〃与线段AB有唯一公共点，则”可以取（写出所有正确结论的序号）.

①"=1;

②n=2；

③“W-8；

④--3；

⑤-8W后-3

16.如图：的半径为1,弦AB=1,点尸为优弧篇上一动点，4CLAP交直线P8于点

C,

（1）求NC的度数是.

三.解答题（本大题共9小题，共86分）

17,计算：||+cos60°-（5-tan60°）0+2二

18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=nx2+4x-3与x轴交于A、3两点，点3的坐标

为（3,0）,点尸是抛物线上第一象限内的一点，直线8尸与y轴交于点C.

（1）求a的值.

（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标.

⑶连接”，设点尸的横坐标为“，△然2的面积为S.当1时，直接写出S

的取值范围.

19.如图：现有一架长4机的梯子AB斜靠在墙面上，要想使人安全地攀上梯子的顶端，梯

子与地面所成的角a一般要满足50°WaW75°.

(1)当梯子与地面夹角为60°时，求这架梯子底端A与墙角C的距离；

(2)若将梯子底端沿CA方向滑动1〃?到点A'处，此时能否安全使用这架梯子？如果

能，请说明理由.如果不能，也请说明理由.

20.作图题：如图：在矩形ABCD中，已知AQ=10,A8=6,

(1)用直尺和圆规在A。上找一点E,使EC平分/BED,(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)求△COE内切圆半径r的值.

21.如图，A8是。。的直径，BC是。。的切线，连接AC交。。于点。，E为俞上一点,

连接AE、BE,BE交4c于点凡且

(1)试说明E为俞的中点；

(2)若点E到弦的距离为1,cos/C=,，求A。的值.

5

A

22.如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此

某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A.白

开水，用瓶装矿泉水，C.碳酸饮料，D,非碳酸饮料.根据统计结果绘制如下两个统

计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题

/

25-

20-

15---------1—1

10--F-1

5--------------------------

ABCD:晶

（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；

（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学

每天用于饮品的人均花费是多少元？

饮品名称白开水瓶装矿泉水碳酸饮料非碳酸饮料

平均价格（元/瓶）0234

（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位

班长记为4,B,其余三位记为C,D,E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，

请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率.

23.已知：△ABC,AB=AC,NBAC=90°,。是AB边上一点，连接C£）,E是CD上一

点，且NAE£>=45°.

（1）如图1,若AE=DE,求证

（2）如图2,连接BE,若求tan/A8E的值.

AA

D

D

B

图1图2

24.已知：四边形ABC。为(DO的内接四边形，BD、AC相交于点E,AB^AC.

(1)如图1,求证：2/AO2+NC£>5=180°；

(2)如图2,过点C作CFLA8于点尸，交8。于点G,当NZ)BC=45°时，求证：CE

=CG；

(3)如图3,在⑵的条件下，连接A。并延长交8。于点从当A£=CE=3代时，

求CD的长.

25.己知抛物线y蒋x2-c(c>0)的顶点为A,点M(mn)为第三象限抛物线上的一

点，过用点作直线MB,MC交抛物线于B,C两点(点B在点C的左侧)，MC交y轴

于。点，连接8c.

(1)当&C两点在x轴上，且△A8C为等腰直角三角形时，求c的值；

(2)当BC经过。点，MC经过04的中点力，且0C=20B时，设直线交y轴于E

点，求证：M为8E的中点；

(3)若AMBC的内心在直线x=〃?上，设8c的中点为N,直线人经过N点且垂直于x

轴，直线/2经过M,A两点，记h与h的交点为P,求证P点在一条新抛物线上，并求

这条抛物线的解析式.

参考答案

一.选择题（只有一个正确答案，本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.在RtZiABC中，ZC=90°,AB=10,4c=6,则cosA的值等于（）

A.—B.—C.—D.—

5534

【分析】根据余弦的定义，角的邻边与斜边的比值，就可以求出.

故选：A.

【点评】本题主要考查对三角函数的定义的记忆.

2.若正多边形的中心角为72°,则该正多边形的边数为（）

A.8B.7C.6D.5

【分析】根据正多边形的中心角=曲匚，求出”即可.

n

解：由题意，型一=72°,

n

•・77=5,

故选：D.

【点评】本题考查正多边形的中心角知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考

常考题型.

3.下列说法中不正确的是（）

A.想了解某种饮料中含色素的情况，宜抽样调查

B.“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件

C.“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件

D.一组数据6,7,8,9,10的方差是3

【分析】根据事件发生的可能性大小、方差公式判断即可.

解：A、想了解某种饮料中含色素的情况，宜抽样调查，本选项说法正确，不符合题意；

8、“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，本选项说法正确，不符合题意；

C、“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件，本选项说法正确，不符合题意；

D、数据6,7,8,9,10的平均数彳=《（6+7+8+9+10）=6,

5

方差(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=2,本选项说法不

5

正确，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条

件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事

件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

4.函数y="2-4x+4的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()

A.k<\B.且ArWOC.D.且%#0

【分析】分为两种情况：①当％W0时，求出△=加-4改=-16A+16》。的解集即可；②

当&=0时，得到一次函数y=-4x+4,与x轴有交点；即可得到答案

解：①当上#0时，kx2-4x+4=0,

A—b2-4ac=16-4^X4=-16Z+1620,

E；

②当上=0时，y=-4x+4,与X轴有交点.

综上所述，%的取值范围是

故选：C.

【点评】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点

的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键.

5.如图：在△4BC中，点。，E分别是AB,4c的中点，若四边形8CED的面积是3°〃2,

则△ADE的面积是()

A.1cm2B.2cm2C.3cm2D.4cm2

【分析】由于。、E是A3、4c的中点，因此OE是△ABC的中位线，由此可得△AOE

和△ABC相似，且相似比为1：2;根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出

△ADE的面积.

解：•.•点O,E分别是AABC的边AB,AC的中点，

是AABC的中位线,

J.DE//BC,DE=—BC,AD=—AB,AE=—AC,

222

即包_=池=些=上

'ABACBC2'

A^ADE^AABC,相似比为」，

2

故SAADE：SMBC—1：4,

即四边形BCED的面积=WSAA8C=3C，〃2,

4

•'•5AABC—4czn2,

/\ADE的面积=lcm2.

故选：4.

【点评】本题主要考查对相似三角形性质及三角形的中位线定理的理解.

6.五名同学捐款数分别是5,3,6,5,10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10

元.追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（）

A.只有平均数B.只有中位数

C.只有众数D.中位数和众数

【分析】根据中位数和众数的概念做出判断即可.

解：根据题意知，追加前5个数据的中位数是5,众数是5,

追加后5个数据的中位数是5,众数为5,

•••数据追加后平均数会变大，

.•.集中趋势相同的只有中位数和众数，

故选：D.

【点评】本题主要考查平均数、中位数和众数的知识，熟练掌握平均数、中位数和众数

的基本概念是解题的关键.

7.如图，。。的半径为10,若OP=8,则经过点P的弦长可能是（）

【分析】过点P作弦CE_LOP,连接OC,根据勾股定理求出CP,根据垂径定理求出CE,

判断即可.

解：过点尸作弦CELOP,连接0C,

由勾股定理得，CP=yoc2_0p2=6,

则CE=2CP=12,

二过点P的最短的弦长为12,

；O。的半径为10,

的直径为20,即过点P的最长的弦长为20,

.♦.12〈点尸的弦长V20,

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所

对的两条弧是解题的关键.

8.如图，半径为5的OA中，弦8C,EO所对的圆心角分别是/8AC,ZEAD,若£>E=6,

ZBAC+ZEAD=\S0°,则弦8c的长等于（）

A.8B.10C.11D.12

【分析】作直径CF,连接BF,先利用等角的补角相等得到然后再根

据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到OE=B尸=6,再利用勾股定理，继而求得答

案.

解：作直径CF,连接8片如图，

则NF8C=90°,

,.,ZBAC+Z£A£>=180°,

而/847+/54尸=180°,

J.ZDAE^ZBAF,

・・・征=前，

:.DE=BF=6,

.\BC=^CF2_BF2=8.

解法二：如图，过点A作AM_LBC于M,ANLDE于N.

：.CM=MB,DN=NE=3,

9

：AC=AB=AD=AEf

：.ZBAC=2ZMAC,NEAD=2/DAN,

VZBAC+ZEAD=180°,

A2ZCAM+2ZDAN=180°,

・・・NCAM+ND4N=90°,

VZACM+ZCAM=90°,

・•・ZACM=/DAN,

•・・N4MC=NAN£>=90°,

•••△AMC丝△OMA(AAS),

:.AM=DN=3,

ACM=^AC2_AH2=^52_32=4,

：.BC=2CM=i,

【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理.注意

掌握辅助线的作法.

9.已知A（3,九）、B（〃?，n+\）是抛物线（aVO）上两点，则〃7的值不可

能是（）

A.2B.0C.-6D.-9

【分析】求得抛物线的对称轴，开口向下，在对称轴左边函数），随x的增大而减小，在

对称轴的右边函数y随x的增大而增大，即可判断.

解：•.j，=«x2+4av+c（°<0）的对称轴为*=-9=-2,开口向下，

2a

在对称轴的右边函数y随x的增大而减小，

V3>-2,

-2<m<3,

"：A（3,n）关于对称轴的对称点为（-7,〃），

在对称轴的左边函数y随x的增大而增大，

-Km<-2,

故“不可能为-9,

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断函数的增减性；利用抛物线上

点的横坐标大小比较纵坐标的大小.

10.如图：已知点A（-8,0）,B（2,0），点C在直线y=-返什2向上，则使△ABC

3

是直角三角形的点C的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据/A为直角，为直角与NC为直角三种情况进行分析.

解：如图，

①当/A为直角时，过点4作垂线与直线的交点W(-6,4百)，

②当NB为直角时，过点8作垂线与直线的交点S(2,生巨)，

3

③若NC为直角，

则点C在以线段AB为直径、AB中点E(-2,0)为圆心、4为半径的圆与直线

的交点上・

在直线丫=二/1乂+2\反中，当x=0时y=2禽，即。(0,2百)，

3

当y=0时4=6,即点P(6,0),

则PQ=M12+36=4百,

过AB中点E(-2,0),作直线/于点F,

则NEFP=NQOP=90°,

；NEPF=NQPO,

：./\EFP^/\QOP,

.EFPEpEF_2+6

"Q0=PQ'n2734忖

解得：EF=4,

以线段AB为直径、E(-2,0)为圆心的圆与直线y=八区x+Wi恰好有一个交点.

3

所以直线y=3~x+2\B上有一点C满足NACB=90°.

3

综上所述，使AABC是直角三角形的点C的个数为3,

故选：C.

【点评】本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论，关键是

根据圆周角定理判断NC为直角的情况是否存在.

二.填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)

11.二次函数y=-(x-1)2-3图象的顶点坐标为(1,-3).

【分析】根据二次函数顶点式求解.

解：；二次函数解析式为y=-(x-1)2-3,

抛物线的顶点坐标为(1,-3),

故答案为：(1,-3).

【点评】本题考查二次函数的性质，顶点式y="(x-/z)Xk,顶点坐标是(h,k),对

称轴是直线x=〃，此题考查了学生的应用能力.

12.若圆锥的底面半径为3,母线长为4,则这个圆锥的侧面积是1如.

【分析】圆锥的侧面积=底面周长X母线长+2,把相应数值代入即可求解.

解:圆锥的侧面积=2irX3X4+2=12n.

故答案为：12IT.

【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是

圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.

13.一条上山直道的坡度为1：7,沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为10A/?

米.

【分析】设上升的高度为x米，根据坡度的概念得到水平距离为7x米，根据勾股定理列

出方程，解方程得到答案.

解：设上升的高度为x米，

•••上山直道的坡度为1：7,

水平距离为7x米，

由勾股定理得：♦+(7x)2=1002,

解得：Xi=ioj5，X2--10&(舍去)，

故答案为：

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高

度h和水平宽度/的比是解题的关键.

14.如图，直角坐标系中一条圆弧经过A(0,4),B(4,4),C(6,2)三个网格点，

已知点。为x轴正半轴上的一点，若直线C£)与该圆弧相切，则点。的坐标为(7,

0).

【分析】由A、B、C三点坐标可先确定出圆弧所在圆的圆心M的坐标，设。(x,0),

则可表示出MC、0c和MD的长，由勾股定理可得到关于x的方程，可求得。点坐标.

解：设圆弧所在圆的圆心为M,

作弦4B和BC的垂直平分线，交点即为圆心.

如图所示，则圆心例(2,0),

2

设。(x,0),由题意可知M£>2=(x-2)2,MC=(6-2)+(2-0)2=20,CD?=

(x-6)2+22=N-⑵+40,

：CD与圆相切，

：.MC1CD,

：.MC2+DC2=MD2,即20+N-12x+40=(x-2)2,解得x=7,

：.D(7,0),

【点评】本题主要考查垂径定理和切线的性质，利用点的坐标确定出圆心坐标是解题的

关键.

15.在平面直角坐标系中，点A的坐标(-1,0),点2的坐标(4,0).已知：抛物线y

=N-2x+n与线段AB有唯一公共点，则n可以取①④(写出所有正确结论的序号).

①〃=1；

②〃=2；

③〃<-8；

④-8W〃V-3；

⑤-8W〃W-3

【分析】当该抛物线与线段AB有公共点时，与x轴的交点分别介于48之间，于是得

到结论.

解：二次函数关于直线x=l对称，x轴上的（-1,0）和（3,0）关于对称轴对称.要

满足一个交点的话，这个交点的横坐标只能3<xW4.

(9-6+n<0

由题意:

116-8+n>0

解得--3.

若二次函数的顶点在4B上时，△=4-4"=0,

.".n—1,

故答案为：①④.

【点评】本题考查了函数图象与系数的关系，利用图象与x轴的交点在线段4B上得出不

等式组是解题关键.

16.如图：的半径为1,弦AB=1,点尸为优弧众上一动点，AC_LAP交直线P8于点

C,

（1）求NC的度数是60°.

（2）求△ABC的最大面积是逅.

则NAOB=60°,根据圆周角定理得NAP8=/NAOB=30°,由于ACLAP,所以NC

=60°；

（2）因为AB=1,则要使△ABC的最大面积，点C到AB的距离要最大：由/ACB=60°,

可根据圆周角定理判断点（？在。。上，且/4。8=120。，如图2,于是当点C优弧A8

的中点时，点C到A3的距离最大，此时AABC为等边三角形，从而得到△ABC的最大

面积.

解：（1）连接。A、OB,作△ABC的外接圆力，如图1,

：OA=OB=1,A8=l,

...△Q4B为等边三角形，

AZAOB=60Q,

.•.NAPB=』NAOB=30°,

2

'JAC1.AP,

AZC=60°；

(2)-：AB=1,要使AABC的最大面积，则点C到AB的距离最大,

VZACB=60Q，点C在OD上，

AZADB=\20°,

当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时aABC为等边三角形，且面积

为®4"=近，

44_

二△ABC的最大面积为亚

4

故答案为：近.

4

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记

住等边三角形的面积公式.

三.解答题（本大题共9小题，共86分）

17.计算：|]“年|+cos60°-(5-tan60°)°+2L

【分析】分别进行绝对值、零指数累及负整数指数基的运算，然后代入特殊角的三角函

数值，最后合并即可.

解：原式=-1+a-1+£

=如一】.

【点评】本题考查了实数的运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握各部分的运算法

则.

18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+4x-3与x轴交于A、8两点，点8的坐标

为(3,0),点尸是抛物线上第一象限内的一点，直线BP与y轴交于点C.

(1)求a的值.

(2)当点P是线段的中点时，求点P的坐标.

(3)连接AP,设点P的横坐标为相，AABP的面积为S.当1＜山〈自■时，直接写出S

的取值范围.

【分析】(1)把8(3,0)代入y=aF+4x-3,列方程求a的值；

(2)过点P作PDLc轴于点。，则PD//CO,由平行线分线段成比例定理求出点D的

坐标，即得到点P的横坐标，再由二次函数的关系式求出点P的纵坐标；

(3)过点尸作尸D_Lx轴于点Q,用含〃7的代数式表示点P的坐标，由二次函数的关系

式可以求出点A、B的坐标及线段A8的长，将aABP的面积即S用含m的代数表示即得

到5关于m的二次函数，再由二次函数的性质求出S的取值范围.

解：(1)把B(3,0)代入y=ar2+4x-3,

得9a+12-3=0,解得a=-l.

(2)如图1,过点尸作轴于点。，

•/CO±OB,

：.PD//CO.

•.O•DC—P•

BDBP

是BC的中点，

.CP.

BP

•.O•D_~.—1,

BD

12

・・・OD=BD=±OB=&.

22

3

：.D(—,0),

2

.♦.点p的横坐标为方

由(1)得，抛物线的解析式为y=-N+4X-3,

当x='f"时，y=-e)2+4乂5-3号，

.•.点p的坐标为厚，4)•

24

(3)如图3,作轴于点。，则尸(加，-加2+4m-3),

当y=0时，由-N+4x-3=0,得汨=1,无2=3,

：.AB=3-1=2；

・・,点P在第一象限的抛物线上，

PD=-加+4加-3,

•:S=S&ABP二AB・PD,

2

.•.5=」><2(-m2+4tn-3)=-nt2+4m-3,

2

R

VS=-m2+4m-3=-(/??-2)2+l,且1V/nV—,

2

工当m=2时，S最大=1,

若m=1,则S=0,

・・・S的取值范围是0V5W1.

【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行线分

线段成比例定理、解一元二次方程等知识与方法，解第（3）题的关键是过点P作x轴的

垂线，将点P的纵坐标用二次函数的关系式来表示，从而得出S关于〃，的函数关系式,

再由二次函数的性质求出S的取值范围.

19.如图：现有一架长4〃?的梯子A8斜靠在墙面上，要想使人安全地攀上梯子的顶端，梯

子与地面所成的角a一般要满足50°WaW75；

（1）当梯子与地面夹角为60°时，求这架梯子底端4与墙角C的距离;

（2）若将梯子底端沿CA方向滑动到点A'处，此时能否安全使用这架梯子？如果

也请说明理由.

【分析】（1）根据锐角三角函数关系求出AC的长即可；

（2）利用锐角三角函数关系得出a的余弦值，进而得出a度数，即可得出答案.

解：（1）VZBAC=60°,ZC=90°,AB=4m,

AC

AcosZBAC=—,

AB

：.AC=AB•coshO0=4X—=2(m),

2

即这架梯子底端A与墙角C的距离为2m；

(2)不能够安全地使用这个梯子，理由：

根据题意得：A'C—1m+2m=3m,

即梯子的底端距离墙面3/«,

3

.".cosa=—=0.75,

4

，Na七41°,

;梯子与地面所成的角a一般要满足50°WaW75°.

.♦•此时不能够安全地使用这个梯子.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键.

20.作图题：如图：在矩形ABCD中，已知AO=10,AB=6,

(1)用直尺和圆规在4。上找一点E,使EC平分NBED,(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)求△(?£)《内切圆半径r的值.

【分析】(1)以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E即可；

(2)根据勾股定理求出AE,CE的长，然后利用三角形内切圆的性质列式计算即可.

解：(1)如图，以B为圆心，BC长为半径画弧交AO于点E,点E即为所求；

（2）由（1）可得：BC=BE=AD=1Q,

在RtZVIBE中，由勾股定理得：^^VBE2-AB2=8>

AD£=10-8=2,

在中，ZD=90°,CD=AB=6,DE=2,

C£=VcD2+DE2=2^f10，

；△COE内切圆半径为r,

.,.2-r+6-r=2y[\Q,

，r=4-A/10-

【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了矩形的性质.

21.如图，A8是。。的直径，BC是。0的切线，连接AC交。。于点。，E为会上一点，

连接AE、BE,BE交AC于点、F,且NAEE=NEAB.

（1）试说明E为俞的中点；

（2）若点E到弦的距离为I,cos/C=3,求4。的值.

5

【分析】（1）根据圆周角定理得到/4EB=90°,根据直角三角形的性质得到

ZEAD,^g=pE，证明结论；

（2）连接0E交A。于“，根据垂径定理得到AH=DH=^AD,根据余弦的定义求出

04、OH,根据勾股定理计算，得到答案.

【解答】（1）证明：••,AB是的直径，

AZAEB=90Q,

AZEAB+ZABE=90°,ZAFE+ZEAD=90°,

*.<NAFE=NEAB,

：.NABE=NEAD,

・・AE=DE，

・••点E是俞的中点；

(2)解：如图，连接0E交A£＞于H,

•点E是俞的中点，

/.OH±AD,

：.AH=DH^—AD,

2

是。。的切线，

AZABC=90°,

：.ZAOH=ZC,

.".cosZAOH-^-——,

0A5

设O。的半径为x,则OH=x-1,

.x-l3

x5'

解得：

1=—,

22__________

•，.^^=VOA2-OH2=J,产-铮2-2,

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于

经过切点的半径是解题的关键.

22.如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此

某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种「从白

开水，B.瓶装矿泉水，C.碳酸饮料，D.非碳酸饮料.根据统计结果绘制如下两个统

计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题

25-

20-

15---------------r—

io-jq

0ABcD二晶

（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；

（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学

每天用于饮品的人均花费是多少元？

饮品名称白开水瓶装矿泉水碳酸饮料非碳酸饮料

平均价格（元/瓶）0234

（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位

班长记为A,B,其余三位记为C,D,E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，

请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率.

【分析】（1）由B饮品的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各饮品的人数之和等

于总人数求出C的人数即可补全图形；

（2）根据加权平均数的定义计算可得；

（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式计算可

得.

解：（1）这个班级的学生人数为15・30%=50（人），

选择C饮品的人数为50-（10+15+5）=20（人），

10X0+15X2+20X3+5X4

(2)=2.2(元)

50

答：该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元;

(3)画树状图如下：

ABCDE

BCDEACDEABDEABCEABCD

由树状图知共有20种等可能结果，其中恰好抽到2名班长的有2种结果，

所以恰好抽到2名班长的概率为/?=1.

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所

有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解

题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.

23.已知：/\ABC,AB=AC,NBAC=9O°,。是4B边上一点，连接CD,E是CD上一

点，且/AE£>=45°.

(1)如图1,若AE=DE,求证BD=®AD；

(2)如图2,连接BE,若求tan/ABE的值.

图2

【分析】(1)证明NACO=NC4E=22.5°,如图1中，过点力作。厂LBC于T.证明

DA=DT,8。=加力7即可解决问题;

(2)如图2中，连接BE,过点C作CTLAT交AE的延长线于7.证明AABE丝4CAT

(A4S)可得结论.

解：(1)'：AE=DE,

：.4ADE=ZDAE,

VZCAD=90°,

AZADC+ZACD=90°,ZDAE+ZCAE=90a,

：.ZCAE=ZACD,

J.EA^EC,

VZAED=45°=ZCAE+ZACD,

：.ZACD=22.5°,

\'AB=AC,ZBAC=90°,

AZACB=45°,

：.ZBCD=ZACD=22.5°,

・・・。。平分/4。8,

如图1中，过点D作DTVBC于T.

•.•CO平分NAC3,DT1.CB,DALCAf

:・DA=DT,

9：AB=AC,N8AC=90°,

・・・N8=45°,

JBD=y[2DT=近AD；

•・・AE_L8E,CT±AT,

AZAEB=ZT=ZBAC=90",

：.ZBAE+ZABE=90°,ZBAE+ZCAE=90°,

・・・ZABE=ZCATf

u

：AB=ACf

•••△•噂△CAT(AAS),

：.AE=CT,BE=ATf

VZAED=ZCET=45°,ZT=90°,

：.ET=CT=AE,

:.BE=2AE,

.•.,tan/Z.AOBfE=——AE=—1.

BE2

【点评】本题考查解直角三角形，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全

等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解

决问题.

24.已知：四边形A8C。为。。的内接四边形，BD、AC相交于点E,AB=AC.

(1)如图1,求证：2/4OB+/CDB=180°；

(2)如图2,过点C作于点尸，交BD于点、G,当NOBC=45°时，求证：CE

=CG；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接40并延长交于点H,当AE=CE=3代时,

求CD的长.

【分析】⑴根据圆周角定理，将2/AO8+NCC8转化为△ABC的内角和即可;

(2)过点C作CNLDB交BD于点N,交。0于点M,利用ASA证明aCEN丝△CGM

从而证明结论;

(3)连接AP,0E,CH,延长A0交8c于。，过。作0MJ_A8于先证AQJ_3C,

MilEEH=GH,在DE上取EP=EH,APCHAPCH,求得PE=HE=3,由

△CDESABAE,即可求得CD的值.

【解答】(1)证明：••,ABuAC,

,ZACB=ZABC,

"/四边形ABCD为。0的内接四边形,

.../4£>C+/ABC=18O°,

NADB=NACB,

・・・ZADB=ZABC,

,?NADC=NCDB+NADB,

・・・ZADC+ZABC=ZCDB+ZADB+ZADB=ZCDB+2ZADB=\S00,

A2ZADB+ZCDB=18O0；

(2)证明：过点、C作CNLDB交BD于点、N,交。0于点M,

VZDBC=45°,

・・・NMCB=1800-NCNB-NDBC=45°,

：.ZMCB=ZDBC=45°,

•e•MB=DC,

*：AB=AC,

•'-AB=AC'

AD=AM-

ZACM=ZDBA,

'：ZCNG=ZGFB,NNGC=ZFGB,

：.NNCG=1800-ZCNG-NNGC=1800-ZGFB-NFGB=NGBF=NECN,

在ACEN与ACGN中,

'/ENC=/GNC

<CN=CN，

ZECN=ZGCN

:./XCENQ/XCGN(AS4),

:.CE=CG；

(3)解：如图，连接AP,OE,CH,延长AO交8C于Q,过。作OMLAB于M,

YE为AC的中点，

J.OELAC,

9：AB=AC,

：.OE=OM,

・・・4。平分NCA8,

：.AQ.LBCf

・・・CQ=6Q,点〃在A。上，

:・CH=BH,

VZDBC=45°,

：.ZHCB=ZDBC=45°,

：.ZCHB=\S0o-ZHCB-ZDBC=90Q,

：.CHA.BD,

•:CE=CG,

:・EH=GH,

在DE上取EP=EH,

贝lj四边形APCH为DAPCH,

：.AP//CHfAP=CH,ZAPH=90°,

VZAHP=ZBHQ=45°,

:.AP=PH=2PE=2x,AH=®PH=2®x,

:AH2-PFf=AE1-PE1,

8x2-4N=（3^/5）2-x2,

解得：x=3,

：・PE=HE=3,

：.AP=PH=CH=BH=6,BE=9,

在Rtz^ABQ中，

♦:BQ=3近,AQ=6近+3近=9近,

•.•弦AC与8。相交于E,

：./\CDE^^BAE,

,CD=CE

••瓦一丽’

...8=组生=皂叵也叵=10.

BE9

【点评】本题考查圆的综合应用，掌握圆的相