专题02 二次函数y=ax²的图像和性质（七大类型）（题型专练）（解析版）

专题02二次函数的相图像和性质（七大类型）【题型1二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】【题型2二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】【题型3二次函数y=ax²图像性质】【题型4二次函数y=ax²平移规律】【题型5二次函数y=ax²中y值大小比较问题】【题型6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】【题型7二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】【题型1二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】1．（2020九上·南丹期中）抛物线y=-2x2A．直线x=12B．直线x=-12C．直线x=0D【答案】C【解析】解：由抛物线y=-2x2可得：对称轴为直线故答案为：C.2．（2021九上·武汉开学考）抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．有最低点D．对称轴是x轴【答案】B【解析】解：抛物线y=2x2的开口向上，对称轴为y抛物线y=-2x2开口向下，对称轴为y故抛物线y=2x2与y=-2x2相同的性质是对称轴都是故答案为：B.【题型2二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】3.抛物线y=-1A．向上 B．向下 C．向右 D．向左【答案】B【解答】解：∵y=-13x∴二次函数的图像开口向下，故答案为：B4．（2022九上·普陀期中）已知抛物线y=(a-1)A．-2 B．-1 C．0 D．2【答案】D【解析】解：∵抛物线y=(∴a-1>0，∴a>1，那么a的取值可以是2．故答案为：D5．（2021九上·连山期末）如果抛物线y=(a-2)x2开口向下，那么aA．a>2 B．a<2 C．a>-2 D．a<-2【答案】B【解析】解：∵抛物线y=(a-2)x2∴a-2<0，∴a<2.故答案为：B.6．（2023九上·义乌期末）二次函数y＝2x2的图象开口方向是.【答案】向上【解析】解：∵二次函数y＝2x2中，a＝2＞0，∴开口向上，故答案为：向上.7．（2023九上·平桂期末）二次函数y=ax2的图像经过点(-2，8)，则a的值为【答案】2【解析】解：将(-2，8)代入y=ax2得故答案为：2.8．（2022九上·永嘉月考）二次函数y=-43x2的图像开口向(填“上”【答案】下【解析】解：∵a=-4∴抛物线的开口向下.故答案为：下9.（2021秋•霍林郭勒市期末）如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）．【答案】①③②【解答】解：①y＝3x2，②y＝x2，③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1，∵3＞1＞，∴抛物线②y＝x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．故依次填：①③②．10．（2022九上·柳林期中）若二次函数y=(m-1)xm2+1的图象开口向下，则m的值为【答案】-1【解析】解：∵二次函数y=(m-1)xm2∴m2+1=2，m-1<0∴m=-1，故答案为：-1．11．（2021九上·台安期中）已知抛物线y＝ax2的开口向上，且|a|＝4，则a＝．【答案】4【解析】解：∵抛物线y＝ax2开口向上，∴a＞0，∵|a|＝4，∴a＝4，故答案为：4．12．（2021九上·奉贤期中）如果抛物线y=(m+1)x2的最低点是原点，那么实数m的取值范围是【答案】m＞－1【解析】∵抛物线y=(m+1)x2开口向上，m+1>0，13．（2021九上·龙岩期末）已知二次函数y＝ax2开口向下，且|2﹣a|＝3则a＝.【答案】-1【解析】∵二次函数y＝ax2开口向下，∴a<0，∴2-a>0，∴2-a=3，解得a=-1，故答案为-1.【题型3二次函数y=ax²图像性质】14.（2021秋•肥东县期末）二次函数y＝x2的图象经过的象限是（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【答案】A【解答】解：∵y＝x2，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），∴抛物线经过第一，二象限．故选：A．15.（2022秋•滨江区期末）已知二次函数y＝（m﹣2）x2（m为实数，且m≠2），当x≤0时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞2 C．m＞0 D．m＜2【答案】B【解答】解：当x≤0时，y随x的增大而减小，∴抛物线开口向上，∴m﹣2＞0，∴m＞2，故选：B．16．（2021九上·蓬江期末）关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标为（0，3）C．对称轴为y轴D．当x＜0时，函数y随x的增大而增大【答案】C【解析】解：∵y＝3x2，∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0），∴A、B都不符合题意，C符合题意，∵a＝3＞0，对称轴为x＝0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，∴D不符合题意，故答案为：C．17．（2022九上·东阳期末）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1【答案】B【解析】解：∵二次函数y=(a-1)x2的对称轴为y轴，当x>0∴二次函数y=(∴a-1>0，即：a>1，故答案为：B.18．（2022九上·通州月考）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（）A．它的图象经过点（﹣1，﹣2）B．当x＜0时，y随x的增大而减小C．它的图象的对称轴是直线x＝2 D．当x＝0时，y有最大值为0【答案】B【解析】A将x=-1代入求得y=2，故不符合题意；B根据函数的性质，当x<0时，y随x的增大而减小，故符合题意；C图像的对称轴是直线x=0，故不符合题意；D当x=0时，y取最小值0，故不符合题意；故答案为：B19．（2022九上·杨村月考）同一坐标系中作y=3xA．关于y轴对称，抛物线开口向上B．关于y轴对称，抛物线开口向下C．关于y轴对称，抛物线的顶点在原点D．关于x轴对称，抛物线的顶点在原点【答案】C【解析】解：因为y=3x2，y=ax2形式的二次函数对称轴都是所以它们的共同特点是：关于y轴对称，抛物线的顶点在原点．故答案为：C．20．（2022九上·拱墅期中）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（﹣2，﹣1），则必在该图象上的点还有（）A．（2，﹣1） B．（2，1）C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）【答案】A【解析】解：∵二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的对称轴为y轴，∴点（﹣2，﹣1）关于对称轴的对称点为（2，﹣1），∴点（2，﹣1）必在该图象上，故答案为：A.21．（2021九上·长丰期末）若二次函数y=mx2（m≠0）的图象经过点（2，-5），则它也经过（）A．（-2，-5） B．（-2，5） C．（2，5） D．（-5，2）【答案】A【解析】解：∵y=mx2，∴抛物线对称轴为y轴，∵图象经过点（2，-5），∴图象经过点（-2，-5），故答案为：A．22．（2021九上·余杭月考）若二次函数y＝ax2的图象经过点(1，－2)，则它也经过（）A．(－1，－2) B．(－1，2) C．(1，2) D．(2，1)【答案】A【解析】解：∵图象经过点（1，-2），∴a=-2，∴y=-2x2，AB、当x=-1时，y=-2×（-1）2=-2，∴A正确，B错误；C、当x=1时，y=-2×12=-2，错误；D、当x=2时，y=-2×22=-4，错误.故答案为：A.23．（2020九上·沙河口期末）关于二次函数y=x2①它的图象是抛物线；②它的图象有最低点；③它的图象经过(0，0)；A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【解析】解：二次函数y=x2图象是抛物线；函数y=x2的图像有最低点；函数y=x2的图像经过点（0，0）；函数y=x2的图像开口向上；∴正确的选项有4个；故答案为：A24．（2022九上·嘉兴期中）已知原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，则m的范围是．【答案】m＜﹣1【解析】解：∵y＝（m+1）x2，∴抛物线顶点坐标为（0，0），当m+1＜0时，抛物线有最高点，∴m＜﹣1，故答案为：m＜﹣125．（2021九上·汉阳月考）已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3.（1）求当x＝﹣2时，y的值.（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.【解析】（1）解：∵二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3，∴3=9a，∴a=13∴二次函数解析式为y=13∴当x=-2时，y=13（2）解：∵二次函数的解析式为y=13x2，∴二次函数的开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴.26．（2020九上·梅河口期末）已知，直线y=-2x+3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A的坐标是（1）求a，m的值；（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．【解析】（1）解：把A的坐标（-3，m）代入y=-2x+3得m=-2×（-3）+3=9，所以A点坐标为（-3，9），把A（-3，9）代入线y=ax2得9a=9，解得a=1．综上所述，m=9,a=1．（2）解：抛物线的表达式为y=x2，根据抛物线特点可得：对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．【解析】【分析】（1）先A（-3，m）代入y=-2x+3可求出m，从而确定A点坐标，再把A点坐标代入线y=ax2可计算出m；（2）由（1）易得抛物线的表达式为y=x2，然后根据二次函数的性质确定对称轴和顶点坐标．【题型4二次函数y=ax²平移规律】27．（2023九上·衢州期末）将抛物线y=-x2向左平移A．y=(x-2)2B．y=-(x-2)2C．y=-【答案】C【解析】解：抛物线y=-x2向左平移2个单位，得到的抛物线为：故答案为：C.28.（2022秋•承德县期末）将二次函数y＝﹣3x2的图象平移后，得到二次函数y＝﹣3（x﹣1）2的图象，平移的方法可以是（）A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度【答案】B【解答】解：y＝﹣3（x﹣1）2的图象是由y＝﹣3x2向右平移1个单位得到的，故选：B．29.（2022秋•新丰县期末）将抛物线的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：将抛物线的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为y＝x2﹣3．故选：A．30．（2023九上·泰兴期末）将抛物线y=-2x3向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为【答案】y=-2【解析】解：将抛物线y=-2x3向上平移3个单位长度得故答案为：y=-2x2+3.【题型5二次函数y=ax²中y值大小比较问题】31.已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=-2x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（A．y1<y3<y2B．y1【答案】D【解答】解：∵点A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=-2x2图象上，∴y1=-2×4=-8；y2=-2×1=-2；y3=-2×9=-18，∴y3＜y1＜y2．故答案为：D32.函数y＝ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而.【答案】减小【解答】解：∵二次函数解析式为y＝ax2（a＞0），∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而减小.故答案为：减小.【题型6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】33.（2021秋•淮阴区期末）下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax+b的图象是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、对于直线y＝ax+b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，所以A选项错误；B、由抛物线y＝ax2开口向上得到a＞0，而由直线y＝ax+b经过第二、四象限得到a＜0，所以B选项错误；C、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，而由直线y＝ax+b经过第一、三象限得到a＞0，所以C选项错误；D、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，则直线y＝ax+b经过第二、四象限，由于ab＞0，则b＜0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确．故选：D．34.（2021秋•立山区期中）如图，在同一直角坐标系中，k≠0，函数y＝kx2和y＝kx﹣2的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵直线y＝kx﹣2经过点（0，﹣2），∴排除B选项，A选项中，抛物线开口向上，k＞0，直线从左至右下降，k＜0，错误，不符合题意．C选项中，抛物线开口向下，k＜0，直线从左至右下降，k＜0，正确，符合题意．D选项中，抛物线开口向下，k＜0，直线从左至右上升，k＞0，错误，不符合题意．故选：C35.．（2021九上·岑巩期中）下列图像中，当ab>0时，函数y=ax2与A． B．C． D．【答案】D【解析】解：A、对于直线y=ax+b，得a>0，b<0，与ab>0矛盾，所以B、由抛物线y=ax2开口向上得到a>0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a<0，所以C、由抛物线y=ax2开口向下得到a<0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a>0，所以D、由抛物线y=ax2开口向下得到a<0，则直线y=ax+b经过第二、四象限，由于ab>0，则b<0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D故答案为：D.【题型7二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】36.（2022秋•栖霞市期末）如图，⊙O的半径为2，C1是函数的图象，C2是函数的图象，则阴影部分的面积是（）A．4π B．2π C．π D．无法确定【答案】B【解答】解：∵C1是函数y＝﹣x2的图象，C2是函数的图象，且当x相等时，两个函数的函数值互为相反数，∴函数的图象与函数的图象关于x轴对称，∴阴影部分面积即是半圆面积，∴面积为：．故选：B．37．（2021九上·福山期中）二次函数y=3x2的图象如图，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数y=3x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠ACO=120°，则菱形【答案】2【解析】连接BC交OA于D，如图，∵四边形OBAC为菱形，∴BC⊥OA，∠ACO=∠ABO，BC=2BD，OA=2OD，BC平分∠ABO，∵∠ACO=120°∴∠ABO=120°∴∠OBD=60°∴OD=设BD=t，则OD=∴B把B(t，3解得：t1=0（舍去），∴BD=1，OD=∴BC=2BD=2，OA=2OD=2∴S故答案为：2338.（2021•顺河区校级月考）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是．【答案】8【解答】解：∵函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象关于x轴对称，∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而边长为4的正方形面积为16，39．（2021九上·通州期末）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2(x≥0)与y2=14x2【答案】2【解析】解：∵x≥0，则y=4y=x2解得y=4y2=1∴BC=4-2=2故答案为：240．（2021九上·互助期中）如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是．【答案】19【解析】解：设抛物线的解析式为y＝ax2，当抛物线经过（1，3）时，a＝3，当抛物线经过（3，1）时，a＝19观察图象可知19≤a≤3故答案为：19≤a≤341．（2020九上·砀山期末）如图，在平面直角坐标系中，A（-2，-1），B（-1，-1），若抛物线y=ax2(a≠0)与线段AB有交点，则a的取值范围是【答案】-1≤a≤-【解析】解：把A（-2，-1）代入y=ax2得a=-14把B（-1，-1）代入y=ax2得a=-1，所以a的取值范围为-1≤a≤-故答案为：-1≤a≤-42．（2020九上·禹城期末）如图，矩形ABCD的长AB=6cm，宽AD=3cm．O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线y=ax2经过C、