专题4.4 正比例函数的图象与性质（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

专题4.4正比例函数的图象与性质（知识讲解）【学习目标】1.理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数的图象；2.理解并掌握正比例函数的性质，解决简单的实际问题．要点梳理【知识点一】正比例函数的定义1、正比例函数的定义一般的，形如（为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.2、正比例函数的等价形式（1）、是的正比例函数；（2）、（为常数且≠0）；（3）、若与成正比例；（4）、（为常数且≠0）.【知识点二】正比例函数的图象与性质正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小.【知识点三】待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数（为常数，≠0）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.【典型例题】类型一、正比例函数的定义1．已知函数y=(m-3)x+(m2-9)，当m取何值时，y是x的正比例函数?【答案】-3【分析】根据正比例函数定义即可求解．解：∵y=(m-3)x+(m2-9)是正比例函数，∴m2-9=0且m-3≠0，∴m=．【点拨】本题考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义“形如（k为常数，且k≠0）的函数叫正比例函数”是解题关键．举一反三：【变式1】若函数是关于的正比例函数，求、的值．【答案】当，时，是的正比例函数．【分析】正比例函数的一般式为，要特别注意定义满足，的指数为1．解：由题意，得，解得∴当，时，是的正比例函数．【点拨】本题主要考查了正比例函数的定义，熟悉正比例函数的定义是解题关键，容易出错的地方是忽略k≠0这个条件．【变式2】已知y=（k-3）x+-9是关于x的正比例函数，求当x=-4时，y的值．【答案】24.试题分析：利用正比例函数的定义得出的值即可，得到函数解析式，代入的值，即可解答．解：当且时，y是x的正比例函数，故当k=-3时，y是x的正比例函数，当x=-4时，y=-6×（-4）=24．类型二、正比例函数的解析式2．已知与成正比例，且时．(1)试求与之间的函数表达式；(2)若点在这个函数图象上，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由题意可设，把条件代入可求得与的函数关系式；（2）把代入函数解析式可求得答案．解：(1)与成正比例，可设，当时，，，解得，，与的函数关系式为；(2)当时，代入函数解析式可得，解得．．【点拨】本题主要考查待定系数法的应用，掌握待定系数法的应用步骤是解题的关键举一反三：【变式1】已知，与成正比例，y2与成正比例，当时，；当时，．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）求当时y的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）设y1=kx2，y2=a（x-2），得出y=kx2+a（x-2），把x=1，y=5和x=-1，y=11代入得出方程组，求出方程组的解即可；（2）把x=2代入函数解析式，即可得出答案．解：（1）设，，则，把，和，代入得：即，，∴y与x之间的函数表达式是，（2）把代入得：．【点拨】本题考查了用待定系数法求出正比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．【变式2】正比例函数y=kx的图象经过点P，如图所示，求这个正比例函数的解析式．【答案】y=x．【分析】把P点坐标代入正比例函数y=kx中，即可得到k的值，进而得到正比例函数的解析式．解：∵正比例函数y=kx的图象经过点P（2，3）∴3=2k，解得k=，∴正比例函数的解析式为：y=x．【点拨】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．类型三、正比例函数的图象3.已知函数y=x，请按要求解决下列问题：(1)在平面直角坐标系中画出图象；(2)点（m－1，m）在函数y=x的图象上，求m的值．【答案】(1)画图象见分析(2)【分析】（1）利用两点法画出函数图象；（2）将点的坐标代入函数的解析式，从而可求得m的值．解：(1)当x=0时，y=0，当x=2时，y=1，则图象过点（0，0），（2，1）；∴函数y=x的图象如图所示：(2)∵点（m-1，m）在的函数y＝x上，∴m=（m-1），∴m=-1．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，依据一次函数的定义求得m的值是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上．(1)求m，n的值；(2)在x轴找一点P，使得PA＋PB的值最小，请求出PA＋PB的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法求解m、n值即可；（2）作点A关于x轴对称的点，连接，交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小，最小值为PA＋PB＝．过点作∥x轴，过点B作∥y轴，和相交于点H，求出的长即可．(1)解：∵点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上．∴∴．(2)解：作点A（1，4）关于x轴对称的点，连接，交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小，PA＋PB＝．过点作∥x轴，过点B作∥y轴，和相交于点H，在Rt△中，∠H＝90°，则，∴PA＋PB的最小值为．【点拨】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征、最短路径问题、坐标与图形变化、勾股定理，熟练掌握最短路径的解题方法是解答的关键．【变式2】如图，已知正比例函数的表达式为y＝﹣x，过正比例函数在第四象限图象上的一点A作x轴的垂线，交x轴于点H，AH＝2，求线段OA的长．【答案】线段OA的长为．【分析】由AH⊥x轴，AH＝2得A点的纵坐标为﹣2，代入可得A点的横坐标，利用勾股定理即可计算出OA的长．解：∵AH⊥x轴，AH＝2，点A在第四象限，∴A点的纵坐标为﹣2，代入得，解得x＝4，∴A（4，﹣2），∴OH＝4，∴OA＝．【点拨】本题主要是考查了一次函数上的点的特征以及勾股定理求解边长，熟练地利用一次函数表达式，求出其函数图像上的点的坐标，是求解该类问题的关键．类型四、正比例函数性质4、已知，一次函数(1)当a、n为何值时，y随x的增大而增大？(2)当a、n为何值时，函数的图象经过一、二、四象限？(3)当a、n为何值时，函数的图象经过原点？【答案】(1)，n为任意实数；(2)且；(3)当且．【分析】（1）由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出并求解即可；（2）当函数的图象经过一、二、四象限时，由一次函数的图像与系数的关系可知且，求解即可；（3）根据一次函数的定义结合一次函数图像上点的坐标特征，得出，，求解即可．(1)解：当y随x的增大而增大时，有，解得，∴当，n为任意实数时，y随x的增大而增大．(2)解：当函数的图象经过一、二、四象限，可知，解得，∴当且时，函数的图象经过一、二、四象限．(3)解：若函数的图象经过原点，则有，，解得，，∴当且时，函数的图象经过原点．【点拨】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系以及一次函数图像上点的坐标特征，解题关键是牢记一次函数的相关知识并熟练运用．举一反三：【变式1】已知函数是关于x的正比例函数．(1)求k的值；(2)当时，求y的取值范围．【答案】(1)5(2)【分析】（1）由正比例函数的定义可得，解之即可；（2）由（1）得到函数表达式，再根据求出，即y的取值范围．（1）解：由正比例函数的定义可得：，解得：k=5；（2）由（1）可得：函数表达式为，当时，，即．【点拨】本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是根据正比例函数的定义求出k值．【变式2】已知函数是正比例函数．(1)若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值；(2)若函数的图象过第一、三象限，求m的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由函数关系式中y随x的增大而减小，利用正比例函数的性质可得出，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值；（2）由函数的图象过第一、三象限，利用正比例函数的性质可得出，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值．(1)解：∵函数是正比例函数，∴，解得：．∵函数关系式中y随x的增大而减小，∴，∴，∴．∵函数的图象过第一、三象限，∴，∴，∴．【点拨】此题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大，且函数图象经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，且函数图象经过第二、四象限”是解题的关键．类型四、正比例函数图象与性质综合5．已知正比例函数图象经过（﹣2，4）．（1）如果点（a，1）和（﹣1，b）在函数图象上，求a，b的值；（2）过图象上一点P作y轴的垂线，垂足为Q，S△OPQ＝，求Q的坐标．【答案】（1），

（2）（0，）或（0，）【分析】（1）设正比比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），再把（﹣2，4）代入求出k的值，进而得出其解析式，把点（a，1）和（﹣1，b）代入求出a、b的值即可；（2）设P（x，﹣2x），则Q（0，﹣2x），根据三角形面积公式即可得出P点坐标，进而求得Q的坐标.解：（1）设正比比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），∵正比例函数图象经过（﹣2，4），∴4＝﹣2k，解得k＝﹣2，∴正比例函数的解析式为y＝﹣2x．∵点（a，1）和（﹣1，b）在函数图象上，∴1＝﹣2a，b＝﹣1×（﹣2），解得，b＝2；（2）设P（x，﹣2x），则Q（0，﹣2x），∵S△OPQ＝，∴﹣x（﹣2x）＝，解得x＝，∴Q（0，）或（0，-）.【点拨】此题考查正比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数的应用，运算能力，正比例函数与几何图形面积问题.举一反三：【变式1】已知：如图，正比例函数y=kx的图象经过点A，（1）请你求出该正比例函数的解析式；（2）若这个函数的图象还经过点B（m，m+3），请你求出m的值；（3）请你判断点P（﹣，1）是否在这个函数的图象上，为什么？【答案】（1）正比例函数解析式为y=﹣2x；（2）m=﹣1；（3）点P不在这个函数图象上，理由见分析．【分析】（1）将点A的坐标代入正比例函数解析式中求出k的值，即可确定出正比例解析式；（2）将点B（m，m+3）代入所求的解析式，即可求得m的值；（3）把x=-代入所求的解析式，求得y的值，比较即可.解：（1）由图可知点A（﹣1，2），代入y=kx得：﹣k=2，k=﹣2，则正比例函数解析式为y=﹣2x；（2）将点B（m，m+3）代入y=﹣2