九年级数学配套课件：切线长定理和三角形的内切圆

第二十四章圆24.2直线和圆的位置关系

学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练第3课时切线长定理和圆内切三角形

学习目标1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点）2.会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.3.能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.（难点）

新课导入复习回顾：1.切线的判定定理是什么？经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.切线的性质定理是什么？圆的切线垂直于过切点的半径

新知探究问题1

上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？POBAO.PAB温故知新学以致用实践运用总结梳理OPAB经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

新知探究注意：切线和切线长是两个不同的概念：

1.切线是直线，不能度量；

2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.

新知探究温故知新学以致用实践运用总结梳理OPAB问题2

如图，PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？

新知探究切线长定理:

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.∵PA、PB分别切☉O于A、B∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.几何语言表示:

新知探究OPAB已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.证明：连接OA和OB∵PA是☉O的切线，

∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.

新知探究OPAB归纳总结：我们学过的切线，常有以下性质：1.切线和圆只有一个公共点；2.切线和圆心的距离等于圆的半径；3.切线垂直于过切点的半径；4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心；6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.

新知探究例1.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C.BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系.解：OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP.（3）写出图中所有的全等三角形.△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.（4）写出图中所有的等腰三角形.△ABP,△AOB.（5）若PA=4，PD=2，则半径OA为

.（2）写出图中与∠OAC相等的角.

∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.

新知探究3

问题3

如图，是一块三角形的铁皮，如何在它上面裁下一块圆形的用料，并且使裁下的圆与三角形的三条边相切？

新知探究思考：如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？

如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？(2)在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？

三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.

新知探究圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.MND作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.

新知探究1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.BACI

如图：

☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.

新知探究名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边垂直平分线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.内心在三角形内部．ABOABCO

新知探究例2△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长.C

新知探究ABFDEO解:设AF=x，则AE=x.∴CE=CD=AC-AE=13-x，

BF=BD=AB-AF=9-x.由

BD+CD=BC，可得

(13-x)+(9-x)=14，∴AF=4，BD=5，CE=9.解得

x=4.

新知探究ABFDEO1.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.定理辅助线分别连接圆心和切点；连接两切点；连接圆心和圆外一点.2.三角形的内切圆

课堂小结与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.定义到三边的距离相等.性质A2.如图，已知点O是△ABC

的内心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BOC=

.1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,∠APB=40°,则∠APO=

,PB=

.BPOA第1题BCO第2题20°4110°

课堂训练3.已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.·ABCDO证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H，EFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.

课堂训练证明：连接BD，∵AC切⊙O于点D，AC切⊙O于点B，∴DC=BC，OC平分∠DCB.∴OC⊥BD.∵BE为⊙O的直径，∴DE⊥BD.∴DE∥OC．4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.

课堂训练

5.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为C，求△ABC的面积S.CABOFDE解：用面积法，记△ABC的内心为O,连接OA、OB、OC

课堂训练

课堂训练

中考链接1．（2020•西宁）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（）A．

B．2

C．D