1.3探索三角形全等的条件课件数学苏科版八年级上册

探索三角形全等的条件（1）当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况:三角×三边√两边一角？两角一边三角形全等的判定（“边角边”）问题：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABCABC“两边及夹角”“两边和其中一边的对角”它们能判定两个三角形全等吗？尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A

（即使两边和它们的夹角对应相等）.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ABC探究活动1：SAS能否判定的两个三角形全等ABCA′

DEB′

C′

作法：（1）画∠DA'E=∠A；（2）在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC；（3）连接B'C'.？思考：

①

△A′B′C′与

△ABC

全等吗？如何验证？②这两个三角形全等是满足哪三个条件？在△ABC

和△DEF中，∴

△ABC

≌△DEF（SAS）．

文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

（简写成“边角边”或“SAS”）．

“边角边”判定方法几何语言：AB=DE，∠A=∠D，AC=AF

，ABCDEF必须是两边“夹角”例：已知:如图,AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，试说明:∠A=∠D.解:∵∠1＝∠2(已知)，∴∠1+∠DBC＝∠2+∠DBC(等式的性质)，

即∠ABC＝∠DBE.

在△ABC和△DBE中,

AB＝DB(已知)，∠ABC＝∠DBE(已证)，

CB＝EB(已知)，∴△ABC≌△DBE(SAS).∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).1A2CBDE

如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？B

A

CD△ABC和△ABD满足AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.探究活动2：SSA能否判定两个三角形全等画△ABC和△DEF，使∠B=∠E=30°，AB=DE=5cm，AC=DF=3cm．观察所得的两个三角形是否全等？

ABMCDABCABD有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.

边角边内容两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“SAS”)应用为证明线段和角相等提供了新的证法注意1.已知两边，必须找“夹角”2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边

小结探索三角形全等的条件（3）问题：若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?60°45°用“角角边”判定三角形全等60°45°

这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为1中的条件吗？75°两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.总结∠A=∠A′（已知），∠B=∠B′

（已知），AC=A′C′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.ABCA′B′C′例1

如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.试说明：(1)△BDA≌△AEC；解：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∠ADB=∠CEA=90°，

∠ABD＝∠CAE,AB＝AC，∴△BDA≌△AEC(AAS).(2)DE＝BD＋CE.∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.解：∵△BDA≌△AEC,方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．角角边内容两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（简写成“ASA”)应用为证明线段和角相等提供了新的证法注意注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别小结探索三角形全等的条件（4）ABCDEF1.

什么叫全等三角形？能够重合的两个三角形叫全等三角形.3.已知△ABC

≌△DEF，找出其中相等的边与角.①AB=DE③CA=FD②BC=EF④∠A=∠D⑤

∠B=∠E⑥∠C=∠F2.

全等三角形有什么性质？全等三角形的对应边相等，对应角相等.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC≌△DEF吗?即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等．探究活动1：一个条件可以吗？（1）有一条边相等的两个三角形不一定全等（2）有一个角相等的两个三角形不一定全等结论：有一个条件相等不能保证两个三角形全等.三角形全等的判定（“边边边”）6cm300有两个条件对应相等不能保证三角形全等.60o300不一定全等探究活动2：两个条件可以吗？3cm4cm不一定全等30060o3cm4cm不一定全等30o

6cm结论：（1）有两个角对应相等的两个三角形（2）有两条边对应相等的两个三角形（3）有一个角和一条边对应相等的两个三角形结论:三个内角对应相等的三角形不一定全等.（1）有三个角对应相等的两个三角形60o30030060o90o90o探究活动3：三个条件可以吗？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm（2）三边对应相等的两个三角形会全等吗？

先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′

,使A′B′=AB,B′C′=BC,A′C′

=AC.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，他们全等吗？ABCA′B′C′想一想：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？作法：（1）画B′C′=BC；（2）分别以B',C'为圆心，线段AB,AC长为半径画圆，两弧相交于点A'；（3）连接线段A'B',A'C'.文字语言：三边分别相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”）

“边边边”判定方法ABCDEF在△ABC和△DEF中，∴△ABC

≌△DEF（SSS）.

AB=DE，

BC=EF，

CA=FD，几何语言：例1

如图，有一个三角形钢架，AB=AC

，AD是连接点A

与BC中点D

的支架．是说明：（1）△ABD≌△ACD

．CBDA解题思路：先找隐含条件公共边AD再找现有条件AB=AC最后找准备条件BD=CDD是BC的中点证明：∵

D

是BC中点，

∴BD=DC．在△ABD

与△ACD

中，∴△ABD≌△ACD

（SSS）．CBDAAB=AC(已知）BD=CD

（已证）AD=AD

（公共边）准备条件指明范围摆齐根据写出结论(2)∠BAD=∠CAD.由（1）得△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD.

（全等三角形对应角相等）1.将三根木条用钉子钉成一个三角形木架.2.将四根木条用钉子钉成一个四边形木架.三角形的稳定性

请同学们看看:三角形和四边形的模型,扭一扭模型,它们的形状会改变吗?动动手不会会理解“稳定性”“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.边边边三边分别相等的两个三角形全等.三角形的稳定性：三角形三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了.小结探索三角形全等的条件（5）

工人师傅常常利用角尺平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．请同学们说明这样画角平分线的道理．1．说请按序说出木工师傅的“操作”过程．取：OC=OD移：CM=DM画射线OM以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D．分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M．12作射线OMCDM∴射线OM就是所求作的图形.2．作与写用直尺和圆规在图中按序将木工师傅的“操作”过程作出来，并写出作法．3．证请对你的作法进行证明．证明：在△MOC和△MOD中，

∴△MOC≌△MOD（SSS）,∴∠COM＝∠DOM，即OM平分∠AOB．

4．用用直尺和圆规完成以下作图：（1）在图（1）中把∠MON四等分．（2）在图（2）中作出平角∠AOB的平分线．图（2）图（1）结论：过直线上一点作这条直线的垂线就是作以这点为顶点的平角的角平分线．OC＝OD，OM＝OM，CM＝DM，1．观察思考在作角平分线图的基础上，作过C、D的直线l（如图），观察图中射线OM与直线l的位置关系，并说明理由．l2．问题变式你能用圆规和直尺过已知直线外一点作这条直线的垂线吗（如图，经过直线AB外一点P作AB的垂线PQ）？3．比较直线l直线AB点OPQ⊥直线AB点POM⊥直线l分析：作图的关键是在直线AB上确定C、D两点，使得PC＝PD；确定点Q，使得CQ＝DQ．4．作法．步骤3

作直线PQ．步骤1

以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与直线AB交于C、D．CDQ·P∴直线PQ就是经过直线AB外一点P的AB的垂线．AB5．归纳总结．经过一点可用直尺和圆规作一条直线与已知直线垂直．步骤2

分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于点Q．21用直尺和圆规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于a、b