第7章锐角三角函数综合提优专题复习讲义苏科版九年级数学下册

锐角三角函数综合提优专题复习【夯实基础】锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边.锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）特殊角的三角函数值的计算三角函数有关公式tanA=sinAcosAsin2A+cossin(90°α)=cosα,cos(90°α)=sinα,拓展：利用等腰三角形顶角构造半角三角函数：构造二倍角三角函数：tana＝eq\f(a,b)taneq\f(a,2)＝eq\f(a,b＋\r(,a2＋b2))本专题一共3种综合压轴题型，分别是三角函数与函数综合，三角函数与各类模型综合，三角函数与圆综合,适合基础好的学生使用。其中三角函数与各类模型综合，各类模型包括：手拉手模型，主从联动模型，等积模型，面积之比转化为线段之比模型，费马点模型，角平分线全等模型，K型相似模型，隐圆模型三角函数与函数综合1．（21·22上·苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点B，点D为该抛物线的顶点．(1)顶点D的坐标为；(2)将该抛物线向下平移单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点在内，求m的取值范围；(3)若点P、点为该抛物线上两点，连接，且，求点P的坐标．2．（22·23上·苏州·阶段练习）平面直角坐标系中，已知A的坐标为，B在y轴正半轴上，且，将线段绕点A顺时针方向旋转45°，交y轴于点C．(1)求直线的解析式；(2)点D是直线上的一点，且满足，求点D坐标．3．（21·22下·苏州·中考真题）如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．4．（22·23下·苏州·期末）如图由平面直角坐标系第一象限内一点向坐标轴分别作平行线得到矩形，在矩形边上取一点，作经过点的双曲线交边于点，连接、．(1)______；(2)求证：；(3)若将点关于作对称点，且点正好落在轴上，连接并延长交轴于点，求的面积（请用只含字母的代数式表示）．5．（22·23下·苏州·一模）如图1，抛物线经过，且与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接，直线l过点B、C．(1)填空：；直线l的函数表达式为：．(2)已知直线平行于y轴，交抛物线及x轴于点P、G．当时（如图2），直线与线段分别相交于E、F两点，试证明线段总能组成等腰三角形．(3)在（2）的条件下，如果此等腰三角形的顶角是的2倍，请求出此时t的值．三角函数与圆综合1．（22·23·苏州·中考真题）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2022上·苏州·期末）如图，以面积为20cm2的Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若，则AC＋BC＝．3．（21·22·宁波·阶段练习）如图，已知内接于，是该圆的直径，是上的点，线段与交于点，若，，，．(1)试用含的代数式表示；(2)若，求的值；(3)若，求．4．（22·23上·苏州·阶段练习）如图，已知，为内的一条射线，A是射线上一点，．动点P从点A出发沿水平向左运动，动点Q从点O出发，沿竖直向上运动，且始终保持．连接，交于点B．经过O、P、Q三点作圆，交射线于点C，连接．设（其中）．(1)如图1，若，且，求的长；(2)如图2，若为的角平分线．在点P、Q运动过程中，的值是否为定值，若是，请说明理由；若不是，请用含x的代数式表示．5．（22·23下·苏州·二模）如图，是的两条直径，，点E是上一点，连接，，分别交于点F，G，连接．(1)若，求的度数；(2)求证：；(3)设，的面积为，的面积为，且，求的值．6．（22·23下·苏州·一模）如图，点在的边上，与相切于点，与相交于点，经过上的点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径长；(3)在（2）的条件下，延长交于点，连接，求的值．7．（22·23下·乌鲁木齐·一模）如图，已知O是边上的一点，以O为圆心、为半径的与边相切于点D，且，连接，交于点E，连接并延长，交于点F．(1)求证：是切线；(2)求证：；(3)若，F是中点，求的长．8．（22·23下·苏州·阶段练习）如图，锐角内接于，射线经过圆心并交于点，连结，，与的延长线交于点，平分．(1)求证：．(2)若，求的余弦值．(3)若，的半径为，求的长．9．（21·22下·苏州·一模）定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．(1)如图1，在半对角四边形ABCD中，，则________°﹔(2)如图2，锐角内接于，若边AB上存在一点D，使得，在OA上取点E，使得，连接DE并延长交AC于点F，．求证：四边形BCFD是半对角四边形；(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作于点H，交BC于点G，．①连接OC，若将扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为_________；②求的面积．三角函数与各类模型综合1．（21·22下·苏州·二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝60，∠B＝∠D＝90，AB＝AD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，则sin∠ECF＝（

）A． B． C． D．2．（21·22下·苏州·三模）如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为（）A．5 B． C．3 D．3．（2020·苏州·二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC=5cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD=3cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，交AC于点F，则CF的长为（

）cm．A． B．4﹣ C．5﹣ D．6﹣4．（22·23·苏州·二模）如图，在正方形中，点E，F分别在，上，且，分别交，于点M，N．设和的面积分别为和，若，则的值为．5．（22·23下·苏州·二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为．6．（22·23下·宿迁·一模）如图，正方形的边长为8，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边上的点，且，当线段的长最小时，．7．（21·22下·苏州·一模）如图，将绕斜边的中点旋转一定的角度得到，已知，，则．8．（22·23·武汉·中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．9．（22·23下·苏州·一模）如图，是边长为的等边三角形，是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边，连接.(1)【尝试初探】如图1，当点在线段上运动时，与相交于点，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由.(2)【深入探究】如图2，当点在线段上运动时，延长ED，交CB的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当时，求的值.(3)【拓展延伸】如图3，当点在的延长线上运动时，、相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的长.10．（22·23下·苏州·一模）如图①，在四边形中，，，，，．点P在上，连接、、．(1)求的长；(2)探索：是否存在这样的点P，使得平分、平分同时成立？若存在，求出的长；若不存在，说明理由；(3)如图②，与相交于点E，过点P作，与相交于点F．设、的面积分别为．若，求的长．11．（21·22下·苏州·中考真题）（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E．①若，，求BC的长；②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值．12．（22·23上·苏州·期中）如图，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，BC＝3．(1)若AD＝1，AB＝m，在AB边上存在唯一的P点使得∠DPC＝90°．①求m的值；②PC的垂直平分线交CD于Q点，求DQ的长；(2)延长BA、CD交于点E，点F在BE上，且∠BCF＝∠E，若tan∠ECF＝，求BF的长．13．（21·22·苏州·一模）【理解概念】定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．(1)已知△ABC是“准直角三角形”，且．①若，则______；②若，则______；【巩固新知】(2)如图①，在中，，点D在边上，若是“准直角三角形”，求的长；【解决问题】(3)如图②，在四边形中，，且是“准直角三角形”，求的面积．14．（21·22下·苏州·期中）如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x．(1)___________；当时，求的值；(2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当是等腰三角形时，请求出的值．15．（22·23上·苏州·期中）（1）如图1，在中，，平分，交于点D，，交于点E．①若，，求的长；②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，和是的2个外角，，平分，交的延长线于点D，，交的延长线于点E．记的面积为，的面积为，的面积为S3．若，求的值．16．（21·22下·苏州·二模）【性质探究】如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分，交于点．作于点，分别交，于点，．(1)的形状是______．若，求的长．（用含的代数式表示）(2)【迁移应用】记的面积为，的面积为，当时，求的值．(3)【拓展延伸】若交射线于点，【性质探究】中的其余条件不变，连结，当的面积为矩形面积的时，求的值．17．（21·22下·苏州·一模）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．(1)求ED的长．(2)将木条BC绕点B在平行于纸面的平面内顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D’，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，求的长．18．（2022上·苏州·期末）如图，在矩形OABC中，顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，顶点B的坐标为（8，4），∠EAF＝90°，且∠EAF的一边与线段OC交于点E，∠EAF的另一边与线段CB的延长线交于点F，连接EF，作AG⊥EF，垂足为G（m，n），连接OG．(1)当点E由点O移动到点C时，点F运动的路程为；(2)求n与m的函数表达式，并说明点B在直线OG上；(3)当△AOE与△GOE的面积之差为时，求线段OE的长度．19．（21·22下·苏州·模拟预测）【发现】如图①，已知等边，将直角三角板的角顶点任意放在边上（点不与点、重合），使两边分别交线段、于点、．(1)若，，，则_________；(2)求证：．(3)【思考】若将图①中的三角板的顶点在边上移动，保持三角板与边、的两个交点、都存在，连接，如图②所示，问：点是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(4)【探索】如图③，在等腰中，，点为边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点处（其中），使两条边分别交边、于点、（点、均不与的顶点重合），连接．设，则与的周长之比为_________（用含的表达式表示）．20．（21·22·无锡·一模）【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】(1)如图1，对余四边形中，AB=5，BC=6，CD=4，连接AC，若AC=AB，则cos∠ABC=___________，sin∠CAD=__________．(2)如图2，凸四边形中，AD=BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2=CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形，证明你的结论．【拓展提升】(3)在平面直角坐标中，A（－1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC=90°+∠ABC．设=u，点D的纵坐标为t，请在下方横线上直接写出u与t的函数表达，并注明t的取值范围____________________________．参考答案1．（1）解：将点，代入可得，解得即顶点D的坐标为；（2）解方程可得，或则将该抛物线向下平移单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线则新抛物线解析式为：则设直线的解析式为：则，解得，即同理可得：直线的解析式为：将代入直线的解析式和直线的解析式可得：，由题意可得：，解得；（3）点在抛物线上，则解得，或当时，，此时点与点重合，取点，则，则，连接，交抛物线于点，设解析式为，则，解得即联立直线和抛物线可得：，解得或（舍去）即同理可取，连接，交抛物线与点，可求得解析式为：联立直线和抛物线，可求得或（舍去）即当时，，作，则，由勾股定理可得：设线段上存在点，使得，作，则，设则，∴，即∴，可求得解析式为：联立直线和抛物线可得：，解得或（舍去）即综上，符合题意的点的坐标为：或或2.（1）解：如图：过点B作，∵A的坐标为，，∴，，在中，根据勾股定理得：，∵，，∴，在中，由勾股定理得：，解得：，∵，∴，设，则，∴，即，，解得：，∴．设直线的函数表达式为，将点，代入得，，解得：，、∴直线的函数表达式为．（2）设点D的坐标为：，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，整理得：，两边同时平方：，解得：，，当时，，当时，，∴点D的坐标为：或．3．（1）当时，．解方程，得，．∵点A在点B的左侧，且，∴，．当时，．∴．∴．∵，∴．（2）方法一：如图1，连接AE．∵，∴，．∴，，．∵点A，点B关于对称轴对称，∴．∴．∴．∵，，∴，即．∵，∴．∴．∵，∴解方程，得．方法二：如图2，过点D作交BC于点H．由方法一，得，．∴．∵，∴，．∴．∵，，∴．∴．∴，即．∵，∴解方程，得．（3）．设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即．∵，∴．，，∴．解得，又，∴．4.（1）解：∵且四边形为矩形，，，；（2）解：由图知：，，代入，得，，，，；，，，，∵，∴，∴，；（3）解：如图：连接、，则于对称，垂直平分，，，；；，，∴，，，，；∵，∴，，又中，，，解得：，代入，解得，∴．5（1）解：∵抛物线经过点，∴，解得：；∴抛物线解析式为：，令，得：，即点C的坐标为；∵点，对称轴为直线，∴，∴点B的坐标为，设直线的解析式为：,∴，解得：，∴直线的解析式为：，即直线l的解析式为．故答案为，．（2）解：设直线的解析式为,∴，解得：，∴直线的解析式为：；∴点，点，点，∴，∴．，∴，∴当时，线段总能组成等腰三角形．（3）解：∵，C∴∴如图：线段组成等腰三角形,与（2）中的相等，H为边上的高由（2）可得：，∴∵等腰三角形的顶角是的2倍∴∴，∴,即，解得：．三角函数与圆1．解：如图，过作于，∵，∴，∵，即，∴，∵，∴，∴，即，设，则，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故选A2.解：如图，连接，延长交于点，连接，都是的直径，，，，在中，，，平分，且，，，，，如图，作，交于点，，在中，，，设，则，，，解得或（不符题意，舍去），则，故答案为：．3．（1）解：如图1，连接，，∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．（3）解：如图2，在线段上取一点G，使得，∵，∴，∵，∴，∵是的直径，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．4.（1）解：过点Q作于点D，∵，∴，设，∵，∴，即：，解得：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴．（2）过点Q作于点D，过点B作于点E，∵为的角平分线，∴，∵，∴，，，∵，∴，∴，即，解得：，∴．设，∵，∴，∴，即，整理得：，∴，∴．5.（1）解：由题意知，，∵，∴，∵，∴，∴，∴的度数为；（2）证明：由题意知，，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）解：由题意知，，，由（2）知，∴，∴，∴，∵，，，∴，即，解得，∵，∴，∴，∴的值为．6.（1）解：如图：连接交于，∵点在的边上，即是的直径，∴，∵，∴，∵，∴是的垂直平分线，，∴，∴，∵与相切于点∴∴∴是的切线．（2）解：∵，，∴,设的半径为，，则∵∴,即，解得：∴的半径长为3．（3）解：如图：设交于，连接，过M作∵∴∴∵,∴∴∴，即，解得：,∴∵∴∵是的直径∴，即∵∴∴∴∴．7.（1）证明：如图，连接，∵与圆O相切与点D，∴，即，∵，，∴，∴，即，∴是圆O的切线；（2）证明：，．，．又，，，；（3）解：∵，∴，设，则．∵，∴，解得：（舍去负值），∴，．∵，∴，设，则，，∴，∴，解得：，∴，即半径为．∵F是中点，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即，解得：，∴．8.（1）解：∵在半对角四边形ABCD中，，∴∠D=2∠B，∠A=2∠C，∵∠A+∠B+∠C+D=360°，∴3∠B+3∠C=360°，∴∠B+∠C=120°，故答案为：120°；（2）证明：∵在△BDE和△BOE中，∴△BDE≌△BOE（SSS）∴∠BDE=∠BOE，又∠ACB=∠BOA，∴∠ACB=∠BDE，连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，设∠OAC=∠OCA=x，∵=∠EAF+∠AFE，∴∠AFE=2x，则∠DFC=180°2x，∵∠AOC=180°2x=2∠ABC∴∠DFC=2∠ABC，即∠ABC=∠DFC，∴四边形BCFD是半对角四边形；（3）解：①BO=BD=r，∵DH⊥OB，OH=2，∴在Rt△BHD中，DH=6，BH=r2，∴r2=62+（r2）2，解得：r=10，∴弧BC的长为=，则该圆锥的底面半径为，故答案为：；②∵四边形BCFD是半对角四边形，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°120°=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=30°，过O作OM⊥BC于M，则BC=2BM=2OB·cos30°=OB=BD，∵BD=OB=10∴BH=102=8，又DH⊥OB，∠OBC=30°，∴HG=BH·tan30°=，∠BGD=60°，∴∠BGD=∠BAC=60°，又∠GBD=∠ABC，∴BDG∽△BCA，∴=，∴=3=3××（6+）×8=．三角函数与几何综合1.如图，连接AC，EF，过点E作EN⊥CF于点N，∵在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（HL），∴，，又∵，∴，∵E、F分别是AB、AD的中点，∴，∵在△BEC和△DFC中，，∴△BEC≌△DFC（SAS），∴，设，，∵，，∴，∵在Rt△BEC中，由勾股定理可得，∴，∴，∵，，∴，设，则，∵在Rt△CEN和Rt△FEN中，由勾股定理可得，，∴，∴，解得，则，∵，∴，∴，故选：D．2.解：延长BD交AC于点E，如图，∵DC平分，于点D，∴，在和中，，∴，∴BD=ED=1，∵，∴AE=BE=2，∵AC=7∴CE=ACAE=5，∴，∴．故选：B．3.∵△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，∴AD=AE=3，∠DAE=90°，∠AED=45°，∠FAE=15°，DE=∴∠AFG=∠AED+∠FAE=60°，过点A作AG⊥DE，垂足为G，∴AG=DG=GE=，∴AF=÷sin60°=，∴CF=ACAF=5﹣，故选C．4.解：如图，过点作于，四边形为正方形，，，，，，，，，，，，，，，，∴，设，，则，，，，，，，，整理得：，解得：，（舍去），．故答案为：．5.解：在上取一点，使得，连接，如图所示：，，四边形是平行四边形，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于，如图所示：，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值为，故答案为：．6.连接，∵正方形的边长为8，正方形，∴，，，∴，，∴，∴，，∴，∴，∴点F在以点D为圆心，以为半径的圆上，∴当点M、F、D三点一线时，的长最小，过点M作，∵，正方形的边长为8，∴，，∴，，∴．故答案为：．7.解：如图，连接，，作于，于．由题意：，，，，，共圆，，，，，，∵，，，，，，∵△ABC绕点O旋转到△FEH，∴AE=CB，FE=AB=，∴，∴∠BAC=∠ACE，∴，∴于，于．∴∠DMC=∠DHC=∠HCM=90°，∴四边形是矩形，，∵OE=,，故答案为．8．（1）延长过点F作，∵，，∴，在和中∴，∴，，∴，∴，∴．故答案为：．（2）解：在上截取，使，连接．，，．，．．，．．（3）解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，．在中，，．，由（2）知，．．，，，在上截取，使，连接，作于点O．由（2）知，，∴，∵，∴，．∵，∴，∴．．9.（1）如图1，，理由如下：∵与都是等边三角形，∴，∴，即，∴；（2）如图2，过点作于点，∵是边长为3的等边三角形，，∴，∵，∴，，由（1）得，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，

∴，∴；（3）如图3，过点作于点，∵与都是等边三角形，∴，∴，∴，∴，

又∵，∴，∴，∵，∴，设，则，∵是边长为3的等边三角形，∴，，∴，

∵，∴，即，解得，∵点在的延长线上，∴，∴，∴，即∵，∴．10.（1）解：如图1，过D作于M，则四边形是矩形，∴，（矩形性质），∴，在中，由勾股定理得，∴，∴的长为4；（2）解：不存在，理由如下：如图2，过P作交于G，交于H，∴，∴，（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同位角相等），∵平分，∴（角平分线的性质），∴，∴（等角对等边），在中，，由勾股定理得，∴，∴，∴，∴，∴，设，则，，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴，若平分，则，即，∵，与矛盾，∴不存在这样的点P，使得平分、平分同时成立；（3）解：令中边上的高为，中边上的高为，∵，∴，，∴，设，则，∴PE=kCE，h1=kh2，∴，，∵，即，整理得，则，解得，（舍去），∴，如图3，过E作交于Q，∴，∴，∴，即，∴，，∵，∴，∴，即，解得，∴，∴，∴的长为．11.（1）①∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．②∵，∴．由①可得，∴．∴．∴是定值，定值为1．（2）∵，∴．∵，∴．又∵，∴．设，则．∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．如图，过点D作于H．∵，∴．∴．12．（1）①如图1中，∵在边上存在唯一的点使得，∴以为直径的与相切于点，连接．∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴∵，，∴，过点作于点，则四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴②由①可知，∴的垂直平分线与的交点与重合，∴；（2）如图2中，延长到，使得，连接，，延长交于点．∵，，∴，，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，设，，则，在中，，∴，∴，∴．13．（1）①当时，则，∴（不合题意舍去），当，则，∵，∴，∴，综上所述：，故答案为：15；②当时，则，∴，当，则，∵，∴，∴，综上所述：或，故答案为：10或25；（2）当时，如图①，过点D作于H，在中，，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，当时，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，综上所述：或；（3）如图②，过点C作于F，，交的延长线于E，设，∵，∴，又∵，∴，又∵，在和中，，∴，∴，当时，又∵，∴，由（2）可知：，设，则，∴，∴，∴，当，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，综上所述：的面积为48或24．14．（1）解：作于交于．四边形是矩形，，，，．在中，，，，，，，，，，，，，故答案为4，．（2）结论：的值为定值．理由：由，可得．，，，，；（3）连接交于．，所以只能，，，，，垂直平分线段，在中，，，，，．综上所述，的值为．15.解：（1）①∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，∴CD＝BD＝3，∵DE∥AC，∴∠ACD＝∠EDC，∴∠EDC＝∠DCB＝∠B，∴CE＝DE＝2，∴△CED∽△CDB，∴＝，∴＝，∴BC＝；②﹣是定值．∵DE∥AC，∴＝，同①可得，CE＝DE，∴＝，∴﹣＝﹣＝＝1，∴﹣是定值，定值为1；（2）如图，过点D作DM⊥CB于点M，DN⊥CF于点N．∵CD平分∠BCE，∴DM＝DN，∵∠ECB＝2∠CBD，∠ECD＝∠BCD，∴DB＝DC，∵DE∥BC，∴∠BCD＝∠EDC＝∠ECD，∴EC＝ED，∴＝，∵＝＝＝＝，∴＝＝又∵S1•（S2﹣S3）＝S22，∴＝，设AC＝16k，则AE＝25k，∴CE＝DE＝9k，∵BC∥DE，∴＝，∴＝，∴BC＝k，∵∠DCB＝∠ECD＝∠DBC＝∠EDC，∴△CDB∽△CED，∴＝，∴CD2＝CB•CE＝（k）2，∴CD＝k，∵DM⊥CB，DC＝DB，∴CM＝BM＝k，∴cos∠CBD＝＝＝．16．（1）解：∵AE平分，∴∠CAE=∠BAE，∵，∴∠AHG=∠AHF=90°，∵AH=AH，∴△AHG≌△AHF(ASA),∴AG=AF，∴△AGF是等腰三角形；过点O作OM∥AB，交DF于M，∴△DOM∽△DBF，∴，∵OM∥AB，∴∠OMG=∠AFG，∴∠OMG=∠OGM，∴OM=OG=a，∴BF=2OM=2a；故答案为：等腰三角形；（2）过点D作DK⊥AC于点K，则∠DKA=∠CDA=90°，∵∠DAK=∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴，∵，又∵BF=2OM=2OG，,∴，令CD=3x，AC=5x，则AD=4x，∴；（3）设OG=a，AG=k，①如图，当点F在线段AB上时，点G在线段OA上，∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k+2a，AC=2(k+a)，AD2=[2(k+a)]2(k+2a)2，∴AD2=3k2+4ka，由∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，得△ABE∽△DAF，∴，∴，

∴，根据题意得，，∴AD2=10ka，即10ka=3k2+4ka，∴k=2a，∴AD=2a，∴，∴；②如图，当点F在线段AB的延长线上时，点G在线段OC上，∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k2a，AC=2(ka)，∴AD2=[2(ka)]2(k2a)2，∴AD2=3k24ka，由∠BAE=∠ADF，∠ABE=∠FAD，得△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，根据题意得，，∴AD2=10ka，即10ka=3k24ka，∴k=，∴a，∴tan∠BAE=，综上可知，tan∠BAE的值为或．17．（1）解：如图1，由题意可得，，，∴，∴．∵，，，∴，∴；（2）解：如图2，过点作，过点作于点G，∴，．∵，∴，∴．∵，∴．又，∴，∴，即，设，则，∴，在中，，，，由勾股定理可得，，∴，在中，，∴，∴．∵，∴，解得，∴，∴．18．（1）解：当点E运动到C时，在矩形OABC中，B的坐标为（8，4），∴CB=OA=8，OC=AB=4，∠OAB=90°，∵∠EAF=90°，∴∠OAE+∠EAB=∠EAB+∠BAF=90°，∴∠OAE=∠BAF，∵∠EOA=∠FBA=90°，∴△COA∽△FBA，∴即，解得，∴点F运动的路程为2，故答案为：2；（2）解：过点G作GH⊥y轴于H，GJ⊥x轴于J，连结OB，∵四边形ABCO为矩形，∴CB=OA=8，OC=AB=4，∠OAB=∠ABC=∠COA=90°，∴∠FBA=180°∠ABC=90°，∵∠EAF=90°，∴∠OAE+∠EAB=∠EAB+∠BAF=90°，∴∠OAE=∠BAF，∵∠ABF=∠AOE=90°，∴△BAF∽△OAE，∴，∵AG⊥EF，∴∠EGA=90°，∴tan∠FEA=，∵GH⊥y轴，GJ⊥x轴，x轴⊥y轴，∴四边形OJGH为矩形，∴∠HGJ=90°∴∠HE+∠EGJ=∠EGJ+∠JGA=90°，∴∠HE=∠JGA，∵∠GHE=∠GJA=90°，∴△HGJ∽△EGA，∴即，∴即，设OG解析式为y=kx，点G（m，n），∴，∵，∴，∴OG解析式为，∴当x=8时，，∴点B在直线OG上；（3）解：作GH⊥y轴于H，设OE=s，点G（m，），∴HG=m，EH=，EC=，由（2）知△BAF∽△OAE，∴，∴，∵BC⊥y轴，GH⊥y轴GH⊥y轴，∴GH∥CF，∴∠EHG=∠ECF，∠EGH=∠EFC，∴△EHG∽△ECF，∴即，整理得，∵，,△AOE与△GOE的面积之差为，∴，∴，把①代入②得，整理得，解得或，∴线段OE的长度为1或3．．（1）证明：四边形为的内接四边形，，，，，平分，，，；（2）解：由题意可得，是的直径，，，又，垂直平分线段，，，，又平分，，，，，即的余弦值为；（3）解：由题意可得，是的直径，，，又的半径为，，，，由（1）可知，，，，，，，，的长为6．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．33．(1)6(2)见详解(3)存在，当是的中点时，使得平分且平分，此时(4)与之比为【分析】（1）根据等边三角形性质得出，AB=BC=8，∠B=∠C=60°，根据AE=6，，可求BE=ABAE=2，CD=BCBD=6，可证△BDE与△DCF为等边三角形即可；（2）根据等边三角形性质得出，∠B=∠C=60°，证明∠BED=∠CDF即可；（3）存在，当是的中点时，使得平分且平分，此时；过点作于点，于点，于点，根据角平分线性质得出，然后证明即可；（4）；如图③，连接，作于点，于点，于点，先证，再证，，，然后证明，得出，将三角形周长用等线段转化得出，即可．【详解】（1）解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=8，∠B=∠