2022年湖北省武汉为明学校高考冲刺数学模拟试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/(%)=坐，若关于％的方程"(X)F-〃矿(x)+：=0有4个不同的实数根，则实数的取值范围为

x8

()

A.吗B.(0,奉eg，》口.(争)

2.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3,则可输入的实数x值的个数为()

I开当]

7^7

A.1B.2C.3D.4

3.已知复数2=一』一，则复数Z的虚部为()

3+4/

4444

A.-B.一一C.-iD.一一i

5555

4.已知函数/(x)=<：：：[],若不等式/(x)Wx-Z|对任意的xeR恒成立,

则实数A的取值范围是()

A.(-oo,l]B.[l,+oo)C.[0,1)D.(-1,0]

22

5.已知点A(2百3加)在双曲线*}=1伍>0)上，则该双曲线的离心率为()

A.叵B.巫C.屈D.2厢

32

6.设a,b都是不等于1的正数，则“/。8(12</08;12"是“2">2">2'’的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

7.已知函数〃x)=(lnoxT，+6_4),若%>()时，“力之。恒成立，则实数"的值为()

A.2eB.4eC.>-----D.一1：

\!e—2\/4-e

22i22

8.设双曲线9一3=1(。>0,人>0)的一条渐近线与抛物线y=Y+§有且只有一个公共点，且椭圆鼻+2=1

的焦距为2,则双曲线的标准方程为()

7o92222)

A.---上=1B.--—=1C.---二=1D.二—二=1

43432332

9.已知函数/(力=优(a>0,且a/1)在区间［肛2ml上的值域为,2问，贝||。=()

A.y/2B.—C.工或D・丁或4

4164

10.-----中，如果rn<.__(八_-Tn———'则------的形状是()

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

11.如图是二次函数/(x)=f一法+〃的部分图象，则函数g(x)=alnx+f'(x)的零点所在的区间是()

12.已知集合例={x|-2<x<6},7V={x|-3<x<log235},则MnN=()

A.{x|-2<x<log235)B.{x|-3<x<log235}

C.{x|-3<x<6}D.{x|log235<x<6}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x-y-l<0,

13.已知》,丁满足约束条件,2x+y-4<0,,则2=彳+丫的最小值为.

yw2x,

14.已知“是抛物线：/=2x上一点，N是圆f+(y—2)2=l关于直线x-y=()对称的曲线。上任意一点，则|肱V|

的最小值为

15.已知集合A={x|OWx〈l},B={x\a-l<x<3},若A]B中有且只有一个元素，则实数”的值为.

16.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡雕，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十

二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，这里所说的圆堡雕就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，

十二而一”，就是说：圆堡璇（圆柱体）的体积为丫=-!-*（底面圆的周长的平方x高），则由此可推得圆周率"的取

12

值为•

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）设函数=-矶awR）.

（1）当a=4时，求不等式/（x）35的解集；

（2）若〃x）24对xeR恒成立，求”的取值范围.

18.（12分）设椭圆E：安（a,b>0）过M（2,、6），N（",l）两点，O为坐标原点，

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且砺_L而？若存在，写出该

圆的方程，若不存在说明理由.

19.（12分）已知外鸟为椭圆E:]+%=l（a>b>0）的左、右焦点，离心率为点尸（2,3）在椭圆上.

（1）求椭圆E的方程；

1,1

（2）过E的直线4,4分别交椭圆于A、。和氏。，且问是否存在常数X,使得为，4师成等差数列？

若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由.

22

20.（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：[+4=1（。>匕>。）的左、右焦点分别为6、F?,且点片、

F2与椭圆C的上顶点构成边长为2的等边三角形.

\MF\

(2)已知直线/与椭圆C相切于点P,且分别与直线x=T和直线x=-1相交于点“、N.试判断《制是否为定

值,并说明理由.

22

21.(12分)已知椭圆C:「+A=l(a>b>0)的两个焦点分别为Fi(—0,0)、F2(72»0).点M(1,0)

6r

与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.

(1)求椭圆c的方程;

(2)已知点N的坐标为(3,2),点P的坐标为(m,n)(n#3).过点M任作直线1与椭圆C相交于A、B两点,

设直线AN、NP、BN的斜率分别为％、k2、k3,若ki+k3=2k2,试求m,n满足的关系式.

22.(10分)若不等式1+2'+4'也＞0在xe(CU]时恒成立，则。的取值范围是

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

求导，先求出“X)在》40,向单增，在xe(&,+oo)单减，且/(x)111a*=/(&)=；知设f(x)=f,则方程

1

[/(X)]29-〃矿。)=0有4个不同的实数根等价于方程

o

1_1

/7一机/+7=0在(0,彳)上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.

82

【详解】

--x2-2xelnx

依题意,、e(l-21nx),

fW=x

令/'(x)=。，解得lnx=g,x=&，故当x£((),〃)时，Z(x)>0,

当X£(G,+OO),/r(x)<0,且于(品)="n伞=j_,

e2

11

故方程9/一〃x=0在(0,-)上有两个不同的实数根,

82

1

A>0nr一一>0n

2

(4一>017771_

故------1—>0

824

0</,+z<

2Q<m<\

，也>。

解得me

故选：C.

【点睛】

本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法:

⑴构造法：构造函数g(x)(g'(x)易求，g'(x)=0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数

的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解；

(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端

点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.

2.C

【解析】

试题分析：根据题意，当x<2时，令/一1=3,得x=±2；当x>2时，令咋2%=3,得

x=9,故输入的实数x值的个数为1.

考点：程序框图.

3.B

【解析】

利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出

【详解】

55(3-4z)34.

z=----=------------=----1

3+4i(3+4z)(3-4z)55

4

则复数z的虚部为-g.

故选：B.

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

4.A

【解析】

先求出函数“X)在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数［和g(x)=|x—4的图象,

利用数形结合进行求解即可.

【详解】

当xNl时，/(x)=lnx,nf(x)=Ln/⑴=1,所以函数/(x)在(1,0)处的切线方程为：y=x-\,令

g(x)=|x-K，它与横轴的交点坐标为(％,0).

在同一直角坐标系内画出函数/(x)=<；；：［［和g(x)=B一％|的图象如下图的所示：

y

利用数形结合思想可知：不等式/(x)w|x-Z|对任意的xeR恒成立，则实数4的取值范围是ZW1.

故选：A

【点睛】

本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.

5.C

【解析】

将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.

【详解】

将x=2Gy=3jiU代入方程才方=1e>0)得/?=3ji限而双曲线的半实轴。=而，所以c=寿=10,

得离心率0=£=屈,故选C.

a

【点睛】

此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.

6.C

【解析】

根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可.

【详解】

由“log«2<logb2"，得"一<";"」，

ab

log2alog2b

log9a<0

得〈"八或log,b>0或0>log2a>log,b,

log2b>Q

0<a<1

即1或a>b>l或Q<b<a<i,

b>\

由2">2">2，得。>反>1,

故"log：<log；”是"2">2'>2”的必要不充分条件，

故选C.

【点睛】

本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题.

【解析】

通过分析函数y=lnar-l(x>0)与丫=/+。1-4(》>0)的图象，得到两函数必须有相同的零点/,解方程组

lnaz-l=0

即得解.

a2+at-4=0

【详解】

如图所示，函数y=lnar-l(x>0)与y=x2+ar-4(x>0)的图象,

因为X>0时，/(x"0恒成立,

于是两函数必须有相同的零点/,

Inaf—1=0

所以《

a2+at-4=0

故选：D

【点睛】

本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

8.B

【解析】

设双曲线的渐近线方程为y="，与抛物线方程联立，利用△=(),求出人的值，得到，的值，求出。力关系，进而判

b

无2

断出。大小，结合椭圆二2+y

1的焦距为2,即可求出结论.

a

【详解】

设双曲线的渐近线方程为y=依，

代入抛物线方程得x2-kx+^=0,

42

依题意A=K-3==±耳,

bV3百

fv2

二椭圆三=1的焦距彳=2,

—b2-b2=—b2=\,b2=3,a2=4,

33

22

双曲线的标准方程为匕-'=1.

43

故选:B.

【点睛】

本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题.

9.C

【解析】

对a进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解.

【详解】

mn

a=ma'=2m

分析知，相＞0.讨论：当时，”,所以"”=2,m=2,所以。=、/5；当0<a<l时，\

a2'"=2ma2'"=m

所以所以a=-!-.综上，a=L或a=O,故选C.

241616

【点睛】

本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素

养.

10.B

【解析】

化简得lg8sA=lg=-lg2,即_加二/结合。〈二〈二，可求_，得一代入s加。=.$加3,从

c°s匚=芯=:==+=———

而可求C,B,进而可判断.

【详解】

由二二85二=二二双!1二一二二011二=一二二2，可得四8$4=__血_=-四2,..._

□cos-

=:

<0<匚<口'9••smC^sinb―,••tcmC'-一,C^—，B-—・

gfn信一二）*os二+%m二亨||

==f二十二

故选：B

【点睛】

本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题.

11.B

【解析】

根据二次函数图象的对称轴得出。范围，)'轴截距，求出。的范围，判断g(x)在区间端点函数值正负，即可求出结论.

【详解】

'：f(x)=x2-bx+a,结合函数的图象可知,

二次函数的对称轴为x=g,0＜/(0)=。＜1,

g<x=《<l,Vf'(x)=2x-b,

所以g(无)=aInx+f\x)=aInx+2x-b在(0,+oo)上单调递增.

又因为g(g)=alng+l_0<0,g6=alnl+2-0>0,

所以函数g(x)的零点所在的区间是

故选:B.

【点睛】

本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.

12.A

【解析】

根据对数性质可知5<log235<6,再根据集合的交集运算即可求解.

【详解】

v5<log235<6,

集合M={x|-2<x<6},

由交集运算可得McN={x[—2<x<log235}.

故选：A.

【点睛】

本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-3

【解析】

作出约束条件所表示的可行域，利用直线截距的几何意义，即可得答案.

【详解】

画出可行域易知z=x+y在点A(-1,一2)处取最小值为—3.

故答案为：—3

【点睛】

本题考查简单线性规划的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属于基础题.

14.V3-1

【解析】

由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到的

最小值.

【详解】

假设圆心（0,2）关于直线x-y=（）对称的点为（毛,%）,

x%=2

则有《°,解方程组可得，

%0%+2=0.%=0'

122

所以曲线C的方程为（x—2）2+丁=1,圆心为C（2,0）,

设M（x,y）（x>0）,贝！—2p+y2,

又丁=2x,所以|知。2=（%一2）2+y2=X2—2》+4=（》—1）2+3,

:.\MCf.=3,BPIMCI.=6，所以|M/V|.=73-1,

IIminIIminIInun

故答案为：V3-1.

【点睛】

该题考查的是有关动点距离的最小值问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点，点与圆上点的距离的最小值为到

圆心的距离减半径，属于中档题目.

15.2

【解析】

利用An5中有且只有一个元素，可得a—1=1,可求实数a的值.

【详解】

由题意中有且只有一个元素，所以a—1=1,即a=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查集合的交集运算，集合交集的运算本质是存同去异，侧重考查数学运算的核心素养.

16.3

【解析】

|I,

根据圆堡璇(圆柱体)的体积为丫=—X(底面圆的周长的平方X高)，可得一X(2Q)7?=万产进而可求出乃的值

1212'

【详解】

解:设圆柱底面圆的半径为广,圆柱的高为〃，由题意知

1,

l

—xh=71rh，解得兀=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题主要考查了圆柱的体积公式.只要能看懂题目意思，结合方程的思想即可求出结果.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1){x|x4O或xN5}；(2)a<-3^a>5.

【解析】

试题分析：(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集(2)根据绝对值三角不等式得

/(x)最小值，再解含绝对值不等式可得。的取值范围.

Illifx<ll<x<4x〉4

试题解析：(D卜一1|+k一4|之5等价于1或3>5或

2元一525'

解得：》<()或%25.故不等式/(力25的解集为{刈1<0或》25}.

(2)因为：/(x)=|x-l|+|x-a|>|(x-l)-(x-«)|=|«-l|

所以/(x)mM=|。一1|，由题意得：|。一1|24,解得3或“25.

点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是

运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函

数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.

22o

18.(1)—+^-=1(2)9+)2=一

84-3

【解析】

£.+/

试题分析：(D因为椭圆E:部'十乒=1(a,b>0)过M(2,0),N(6,1)两点,

42_1_1

2,22ng22

所以{1,解得{：:所以{，一椭圆E的方程为三+匕=1

6111/=484

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且0A±而，设该圆的切线方程

y=kx+m

为丫=&+〃?解方程组{/y2得炉+2(履+“2)2=8,即(1+2女2)/+45吠+2根2—8=0,

—+—=1

84

贝!]△=16k2m2-4(1+2^2)(2m2-8)=8(8公-m2+4)>0,BP8A:2-m2+4>0

4km

2m2-8

XX=-----T-

121+2公

2-8)22加？一8公

22k(2nv4km2

%%=(履1+m)(左2+“)=kxx+km®+x2)+m------------------卜〃广=-------

121+2k21+2公1+2公

V(2m2-8)4k2m?/-8k°

yy={kx+m){kx+m)=k2xx+km{x+%)+〃/=-------+m2=-------—

2]2]2}1+2421+2/1+2左2

要使函,就需使'+—,即筌RS=。,所以34西―。，所以八中之。又

8k~—nV+4>0,

由I、Ii>2er-1,12、8口口2-\/6-2,\/6

所以｛,，所以根2二，即//2—*—或〃24-——,

3m2>8333

因为直线丫=区+加为圆心在原点的圆的一条切线，

22c

m

II__〃厂_OI-

所以圆的半径为7二-yU，厂2=立正=13m2—8=5,r=2,

Jl+公1+—3

O

所求的圆为f+y2=g此时圆的切线丫=履+机都满足〃此2匹或加《一名色

333

而当切线的斜率不存在时切线为x=±2®与椭圆上+广=1的两个交点为（淮，士或（一巫，土巫）满足

384333

OA1OB,

Q

综上，存在圆心在原点的圆Y+y2=5,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且丽，丽.

考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系.

点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理.存在性问题，往往从假设存在出发，运

用题中条件探寻得到存在的是否条件具备.(2)小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性.

r2v27

19.(1)—+<-=1；(2)存在，—.

161248

【解析】

(1)由条件建立关于Ac的方程组，可求得a,b,c,得出椭圆的方程；

(2)①当直线4c的斜率不存在时，可求得|4。=6,|明=8,,求得4,②当直线加-的斜率存在且不为0时，设

小：丁=依》+2)联立直线与椭圆的方程，求出线段M[=尊打，再由(_L/?得出线段忸。|二,根

据等差中项可求得2,得出结论.

【详解】

a2=16

....49r2

(1)由条件得,下+m=1n6二12,所以椭圆后的方程为:--1----11

1612

c2=4

a2=h2^c2

(2)£(一2,0),

①当直线儿的斜率不存在时，MC=6,忸。=8,义+焉=：+:=(,此时丸=二,

/IC£>zJOoZ448

’22

—厂I—y=1

②当直线/心的斜率存在且不为0时，设/检：y=M、+2),联立1612消元得

y=k(x+2)

(4k2+3)x2+16/x+1一48=0,

16《_16公_48

设4(石，必),。(々，必)

4F+3''I%-4^+3

22

|AC|=dT+k\x]-x2\=\Jl+k.+々)2-4%%2=24(、+'),

24（左2+1）

V直线BO的斜率为-同理可得忸=

K1,4+3公

4（一1）“+3

114女2+34+3d7（1+公）7

-------------]----------------=---------------------------------------------------------------------------------------------ZZZ-------

\AC\\BD\24（1+A:2）24（公+1）24（1+A:2）24

77

2/1=」-,所以几=」-

2448

71.1

综合①②，存在常数4=欣，使得的，儿师成等差数列.

【点睛】

本题考查利用椭圆的离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中的弦长公式的相关问题，当两直线的斜率具

有关系时，可能通过斜率的代换得出另一条线段的弦长，属于中档题.

fV21

20.(1)—+^-=1(2)局为定值一.

432

【解析】

(1)根据题意，得出。，仇c,从而得出椭圆C的标准方程.

(2)根据题意设直线方程/：丫=匕+，〃，因为直线与椭圆相切,这有一个交点，联立直线与椭圆方程得

(4炉+3)/+8k我+4(加2-3)=(),贝！］△=(),解得4r+3—=o①

把x=-4和x=-l代入y=Ax+，〃,得M（-4,-4左+〃?）和+

I-.|N*1

|N6的表达式，比即可得出局=5为定值.

【详解】

解：（1）依题意,2c=a=2,r.c=1/=6•

22

所以椭圆C的标准方程为土+乙=1.

43

⑵阖|N£为|定值于1

①因为直线/分别与直线x=-4和直线x=—l相交,

所以，直线/一定存在斜率.

②设直线/:y=kx+m,

由“；2[2得（4乃+3卜2+8knr+4（〃—3）=。,

由△=（8A〃）2-4x（4%2+3）x4（m2—3）=0,

得4^+3-加=0.①

把x=Y代入>=丘+帆,得+

把x=_]代入>=履+加,得N（T,_A+w）,

又因为耳（TO）心（1,0）

所以的周=卜k+冽|,

眼用=J（T+l『+（-+=心+（-4攵+加『，②

由①式，得3=4-4左2,③

把③式代入②式，得|M耳卜，4（%-〃2）2=2\-k+m\,

.MU"时J即加用1

\MF\2k-同2抑画|为定值5。

【点睛】

本题考查椭圆的定义、方程、和性质，主要考查椭圆方程的运用，考查椭圆的定值问题，考查计算能力和转化思想，是中档

题.

21.（1）—+y2=1；（2）m-n-l=0

3

【解析】

试题分析：（1）利用M与短轴端点构成等腰直角三角形，可求得b的值，进而得到椭圆方程；（2）设出过M的直线

1的方程，将1与椭圆C联立，得到两