2023届贵州省毕节市高三诊断性考试（二）数学（文）试题及答案解析

毕节市2023届高三年级诊断性考试（二）

文科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，满分150分.考试

用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填写在答题卡相应位置上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案标号，写在本试卷上无效.

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.请保持答题卡平整，不能折叠，考试结束，监考员将答题卡收回.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1,已知全集。=~集合A={X1-5CW3},3={X[1<X<4},则@A）uB=（）

A.{x[%<-5或x>1}B.{无|xW-5或x>3}

C.{x|l<x<4}D,{x|l<x<3}

2.已知复数z=[\+l,则|z|=（）

A.V2+1B.72C.1D.75

3.已知。力为两条不同的直线，a,/为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A..若a〃b,b〃a,则a//aB.若W色a_La,次7/?,则aJ■分

C.若aJ/a,bHB，a/ip,贝!ja//bD.若〃尸,a-L£,则a_Lb

4.古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中，记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的办

法.如图，己知圆锥的高与底面半径均为2,过轴。。的截面为平面OA3,平行于平面048

的平面a与圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分.若双曲线C的两条渐近线分别平行于

OA,OB,则建立恰当的坐标系后，双曲线C的方程可以为（）

o

2

B.---Y=1

4

C.y2-x2=]D

5.某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取9家企业,

根据食品安全管理考核指标对抽到的企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶

图.由茎叶图所给信息，可判断以下结论中正确是（）

甲地区乙地区

58774

581480473

342991

A.若。=2,则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差

B.若。=4,则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数

C.若。=5,则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差

D.若。=6,则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数

6.将函数y=sin2x的图象向左平移g个单位长度，所得图象的对称轴中与y轴距离最近

6

的是（）

7T717171

A.x=-----B.X-----C.x=-D.X=—

126612

7.有诗云：“芍药承春宠，何曾羡牡丹”，芍药不仅观赏性强，且具有药用价值，某地以芍

药为主打造了一个如图的花海大世界，其中大圆半径为8,大圆内部的同心小圆半径为3,

两圆之间的图案是对称的.若在其中阴影部分种植红芍.倘若你置身此花海大世界之中，则

恰好处在红芍中的概率是（）

2

1<iY-

8.已知log“一<1,—<1,。2<1，则实数a的取值范围为（）

4

A（§』）B.^0,—JU（l,+oo）

9.已知函数〃x）=e"-lg此则/*）的图象大致为（）

10.等腰三角形ABC内接于半径为2的圆。中，AB=AC=2,且M为圆。上一点,

的最大值为（）

A.2B.6C.8D.10

11.已知加+e'〃=e，〃+5〃=e，则下列选项正确的是（）

A.0<m<n<\B.0<n<m<l

C.l<m<n<eD.l<n<m<e

12.已知曲线G：f+y2—卜一［y|=（）,曲线G：|X+3=1，直线y=x）与曲线G的交点

记为M，与曲线a的交点记为执行如图的程序框图，当先取遍［—1，也土以上所

2

3

有实数时，输出的点构成曲线C,则曲线C围成的区域面积为()

/输

/输出点必//输出点%/

15g

第ii卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都

必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知sin[]+e)=母■，则cos28=___.

14.已知点尸为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，若点P到)，轴和到直线3x-4y+12=0

的距离之和的最小值为2,则抛物线C的准线方程为一.

|lnx|,x>0

15.已知函数/(%)=若方程/(x)=%有4个互不相等的实数根

x2+4x+4,x<0

%,W,fZ(石<W<毛</)，则为+々+%3匕的值为一.

16.已知四棱锥P—的各个顶点都在球。的表面上，雨，平面A8CD,底面ABC。

是等腰梯形，AD//BC,AB=AD=CD=3,ZABC=~,PA=2。旭是线段A8

上一点，且过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为2〃，则2=

三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤.

C

17.已知数列｛〃“｝的前〃项和为S〃，且，=〃+

(1)求数列｛。〃｝的通项公式；

4

(2)求数列｛%-2%｝的前〃项和7；.

18.某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生成绩进行统计，将这500名

学生成绩分成5组：［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］,得到如图所示

的频率分布直方图，若a,4c成等差数列，且成绩在区间网),90)内的人数为120.

相［频率/组距

0.005［；-|----\—\-------------1

O“5’06’07’08’09’01(')()日绩

(1)求a,h,c的值；

(2)估计这500名学生成绩的中位数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);

(3)由成绩在区间［90,100］内的甲、乙等5名学生组成帮助小组，帮助成绩在区间［50,60)

内的学生4,B,其中3人帮助4,余下的2人帮助B,求甲、乙都帮助A的概率.

19.正方体ABC。—A4c中，AC与8。交于点O,点E,尸分别为A4，CG的中点.

(1)求证：平面MQF//平面BEO；

(2)若正方体棱长为2,求三棱锥尸-8EO的体积.

20.在圆。：/+y2=i上任取一点p,过点P作y轴的垂线，垂足为D点。满足

DQ=2PQ.当点尸在圆。上运动时，点。的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设曲线C与)，轴正半轴交点为A,不过点A的直线/与曲线C交于M,N两点，若

AM-AN=0＞试探究直线/是否过定点.若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说

5

明理由.

21.已知函数=-COSXXG

（1）求证：函数/（X）在o,y上单调递增;

（2）当xe~ny~~2时，依,0%之[/（》）+＜：04[6*—以）8%恒成立，求实数人的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作

答时用25铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.

选修4—4：坐标系与参数方程

22.在平面直角坐标系X。），中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已

x=J^cos。-fx=2+/cos«

知曲线G的参数方程为《7（。为参数），曲线C,的参数方程为｛（t

y=sin。y-fsin«

为参数，0＜2＜乃）.

（1）求曲线G的极坐标方程与曲线C2的普通方程;

（2）点尸（2,0）,若曲线G与曲线C?有且只有一个交点M，求1PM的值.

选修4一5：不等式选讲

23.已知a,h,c都是正数，且a+8+c=1.证明:

,1

(1)cihcW—；

27

正+正+

(2)h+cQ+Ca-\-b2\Jahc

6

答案解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1,已知全集。=&集合A=H-5<xW3}产{x[l<x<4},则@A)uB=()

A.{x|xW-5或X>1}B.{x|xW-5或x>3}

C.{x11<x<4}D.{x|l<x<3}

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用补集、并集的定义求解作答.

【详解】全集U=R，集合4={x|-5<xW3},则电A={x|xW-5或x>3},而

B={x|l<x<4},

所以&A)_B={x|x<-5或x>l}.

故选：A

2.已知复数z=—、+l,则|z|=()

1+i

A.V2+1B.72C.1D.6

【答案】C

【解析】

【分析】由复数的四则运算结合模长公式求解即可.

【详解】z=「+l=77=-1+1+1=1,|z|=府+[2=]

1-1(1-1)(1+1)11

故选：C

3.已知。力为两条不同的直线，a,6为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()

A.若a/lb,blla,则a//aB.若aHb,aLa,b11/3,则c_L£

C.若a//a、b/IB，alip,则a//bD.若a〃d〃尸,a_L£,则a_L〃

【答案】B

【解析】

7

【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可.

【详解】对于A,若aihbHa,则a//a或aua,故A错误；

对于B,若。〃〃尸，则au4或。///，

若au£,因为aJ_a,则a_L£,

若a//〃，如图所示，则在平面夕一定存在一条直线加〃a,

因为a_Le,所以〃z_La，

又mu0,所以aJ•4，

综上若a〃4a-La,O〃Z?,则故B正确；

对于C,若a〃a/〃£,a〃，，则直线a/相交或平行或异面，故C错误;

对于D,若aHa,bHB，a：B,则直线。力相交或平行或异面，故D错误.

故选：B.

4.古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中，记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的办

法.如图，已知圆锥的高与底面半径均为2,过轴。。的截面为平面0A8,平行于平面0A8

的平面a与圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分.若双曲线C的两条渐近线分别平行于

OA,OB,则建立恰当的坐标系后，双曲线C的方程可以为（）

B.—

A.=1

4

8

22„2

C.y-X=1D.--------X=1

2

【答案】C

【解析】

—2—0ci

【分析】建立坐标系，由自B=-----=-1得出==1,进而作出判断.

2-0b

22

【详解】设双曲线。C的方程为与一，=1,（。>0/>0）.

a~b~

将题设中双曲线C的一部分平移到平面0A8内，以点。为坐标原点，建立如下图所示的坐

标系：

_o_0

因为圆锥的高与底面半径均为2,所以8（2,-2）,则％=------=-1.

即渐近线os方程为y=-%,即巴=1,故。=从

h

选项ABCD中满足Q=Z?的只有选项C.

故选：C

5.某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取9家企业,

根据食品安全管理考核指标对抽到的企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶

图.由茎叶图所给信息，可判断以下结论中正确是（）

甲地区乙地区

58774

581480473

34299

A.若。=2,则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差

B.若。=4,则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数

C.若。=5,则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差

D.若。=6,则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数

9

【答案】c

【解析】

【分析】根据极差、平均数、中位数的计算方法判断ABD；由波动程度判断C.

【详解】对于A：甲地区考核得分极差为94—75=19,乙地区考核得分的极差为

99—74=25,

即甲地区考核得分的极差小于乙地区考核得分的极差，故A错误；

1770

对于B：甲地区考核得分的平均数为一(75+78+81+84+85+88+92+93+94)=——

99

乙地区考核得分的平均数为^(74+77+80+84+87+83+94+99+91)=等，

即甲地区考核得分的平均数大于乙地区考核得分的平均数，故B错误；

对于C：甲地区考核得分从小到大排列为：75,78,81,84,85,88,92,93,94

乙地区考核得分从小到大排列为：74,77,80,83,84,87,91,95,99

由以上数据可知，乙地区考核得分的波动程度比甲地区考核得分的波动程度大，

即甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差，故C正确；

对于D：由茎叶图可知，甲地区考核得分的中位数为85,乙地区考核得分的中位数为84,

则甲地区考核得分的中位数大于乙地区考核得分的中位数，故D错误；

故选：C

6.将函数y=sin2x的图象向左平移四个单位长度，所得图象的对称轴中与)，轴距离最近

6

的是()

7tr兀-兀c兀

A.x=---B.x---C.x=—D.x——

126612

【答案】D

【解析】

【分析】由平移变换得出平移后的解析式，再由正弦函数的性质求解.

【详解】将函数y=sin2x的图象向左平移:个单位长度，得到y=sin[2x+]J的图象.

TTTT(TT\rrL

由2x+—=—+而,攵WZ可得,函数y=sin|2x+—|的对称轴为》=一+一兀,左eZ.

32I3J122

TT

其中y轴距离最近的是》=二.

故选：D

10

7.有诗云：“芍药承春宠，何曾羡牡丹”，芍药不仅观赏性强，且具有药用价值，某地以芍

药为主打造了一个如图的花海大世界，其中大圆半径为8,大圆内部的同心小圆半径为3,

两圆之间的图案是对称的.若在其中阴影部分种植红芍.倘若你置身此花海大世界之中，则

恰好处在红芍中的概率是（）

【答案】C

【解析】

【分析】由圆的面积公式结合几何概型的概率公式求解.

【详解】由已知得：大圆的面积为S|=71x8?=64兀，小圆的面积为兀x3?=9兀.

64if—QjrSSir

所以阴影部分的面积为52=---=F.

55%

设“恰好处在红芍中”为事件A,则=邑=2ZZ=亘

S,64万128,

故选：C

1nV-

8.已知log“L<l，K<1,。2<1,则实数。的取值范围为（）

A.B.（o,：）u（l,+8）

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数函数，幕函数，对数函数的单调性即可解出。的范围.

11

【详解】<1=W,根据指数函数y=在R上单调递减得a〉0,

)<1=.，根据幕函数y=［在［°，+8)上单调递增知0«。<1，则。<。<1，

log,,；<1=log.a'根据对数函数J=log"x,(o<a<1)在(0,+oo)上单调递减得

八1

0<a<一,

4

综上0<a<L

4

故选：D.

9.已知函数〃x)=e'-lgW，则/(x)的图象大致为()

【解析】

【分析】根据给定的函数，由x<0时的单调性排除两个选项，当x>0时，利用导数探讨

函数的单调性、极值判断作答.

【详解】函数/(x)=e*-lg|x|的定义域为(一应0)1(0,+8),

当x<()时，f(x)=ev-lg(-x),因为函数丫=6,在(-8,0)上递增，函数y=lg(—x)在

(f,0)上递减，

因此函数/。)=6'-馆(一工)在(—8,0)上递增，BD错误；

当x>0时，f(x)=ex-lgx,求导得：f'(x)=e'——!一在(0,+℃)上递增，

xlnlO

12

/'(e-2)=e---—,而Ove，'<l,2<lnl0<3,7<e2<8，即

In10In10

12

有r（e-2）〉0,

则存在与e（e-2,l），使得r（x（））=0,当O<x<Xo时，f'M<0,当x〉与时，f\x）>0,

即函数f（x）在（0,x（））上单调递减，在（玉），+8）上单调递增，C选项不满足，A选项符合要求.

故选：A

10.等腰三角形ABC内接于半径为2的圆。中，AB=AC=2,且M为圆O上一点，

的最大值为（）

A.2B.6C.8D.10

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示，结合三角函数性质

求解作答.

【详解】以圆。的圆心。为原点，射线04为x轴建立平面直角坐标系，连接OB,OC,如

图，

因为03=04=OC=AB=AC=2,则B（l,百）,C（l,一百），

而圆。的方程为V+y2=4,设点M（2cose,2sine）（0〈e<27i）,

于是MB=（1-2cos仇百-2sin。）,MC=（1-2cos仇-0-2sin&）,

MB.MC=（1—2cos6）2+（百一2sin9）（-6—2sin。）=1一4cos。+4cos?。一3+4sin?，

=2-4cos。，

当且仅当。=兀，即cos9=—1时.，（町3・"0四=6，

13

所以MB的最大值为6.

故选：B

11.已知m+e"'=e，〃+5"=e，则下列选项正确的是()

A.0<m<n<1B.()<n<m<l

C.\<m<n<QD.\<n<m<e

【答案】B

【解析】

【分析】构造函数/(x)=x+e"g(x)=x+5*,由其单调性结合图象得出大小关系.

【详解】构造函数/(x)=x+e*,g(x)=x+5*,/(m)=m+e'n=e,g(〃)=〃+5"=e,

易知函数.f(x),g(x)为增函数.

函数.f(x),g(x)与函数>=e的图象，如下图所示:

由图可知，()<〃<，〃.

又/(1)=1+6>/(加)，g(l)=l+5>g(“)，所以加

综上，0<〃<加<1.

故选：B

12.已知曲线G:f+y2T田_|乂=0,曲线。2：凶+仪|=1,直线y=y0与曲线G的交点

记为M，与曲线G的交点记为执行如图的程序框图，当为取遍L1，也土］上所

2

有实数时，输出的点构成曲线C,则曲线C围成的区域面积为()

14

输

/输出输出

____1

（结束）

4+乃2+乃4+乃2+乃

A.----B.----C：,-----D.----

2244

【答案】A

【解析】

【分析】由程序框图结合圆的方程得出曲线C的轨迹,进而得出面积.

2+y2-|x-y=O,即+（'—[=；，（y>0）

【详解】当y>0时，曲线G：x

当y<0时，曲线。2：国_y=1，即y=x_l,（y<0）.

由程序框图可知，点“1在G：（+[一｛|=摄（）'>°）上，

点加2在y=凶一1，（丁<°）上，则曲线c的轨迹如下图所示：

，

-1

（「丫z、

4+兀

则曲线C围成的区域面积为兀*+22x1x1

12J12,一2,

故选：A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知sinf工+61=3,则cos28=__.

（2J3

15

【答案】--

【解析】

【分析】由诱导公式以及倍角公式求解即可.

【详解】因为sin-+0=cos9=",所以cos26=2cos2。一1=一一1=—.

)333

故答案为：

14.已知点尸为抛物线C：丁=2/(2>0)上一点，若点尸至Ijy轴和至IJ直线3x-4y+12=0

的距离之和的最小值为2,则抛物线C的准线方程为一.

【答案】尤=一1

【解析】

【分析】由抛物线的定义结合距离公式得出〃=2,进而得出抛物线C的准线方程.

【详解】过点P分别作直线3x-4y+12=0,和)，轴的垂线，垂足分别为A,B,设焦点为

吗,0).

+12

点尸到直线3x-4y+12=0的距离为4=2=3£12.

^7^105

由定义可知，IPFRBPI+g贝U|AP|+|8P|=|4P|+|PE|—KNd—‘=2,

当且仅当A,P,尸三点共线时，取等号，

所以+————2,解得p=2,

1052

则抛物线C的准线方程为x=—1

故答案为：x=-l

15.已知函数=」；?；：；犬<0若方程/(%)=上有4个互不相等的实数根

16

xl,x2,x3,x4(<xi<x2<x3<x4),贝IjX|+/+尤3X4的值为

【答案】-3

【解析】

【分析】利用二次函数对称性即可得%+々=-4,根据对数运用即可得，则可得到答

案.

【详解】由题意得西<々<0,当x<0时，/.(x)=》2+4x+4=(x+2)-,

则根据二次函数对称性得%+%=2x(—2)=T,

而0<工3<%,当x>0时，/(x)=|ln%|,则-111X3=111X4,则111(毛工4)=0，^=1,

则玉+々+x3x4=-3,

故答案为：一3.

16.已知四棱锥尸一ABCD的各个顶点都在球。的表面上，雨，平面A8CZ),底面A8CZ)

■JT

是等腰梯形，AD//BC,AB=AD=CD^3,ZABC=~,PA=2及，M是线段A8

上一点，iLAM=AAB.过点”作球。的截面，所得截面圆面积的最小值为2〃，则2=

【答案】工1或彳2

JJ

【解析】

【分析】根据给定的几何体，确定球心o的位置并求出球半径，再利用球的截面圆性质及

余弦定理求解作答.

【详解】在等腰梯形A8CD中，连接AC,如图，

因为AQ〃BC,AB=AD=CD=3,ZA8C=二，则NBAO=NA0C=」，NCAO=

336

7T

于是ABAC=5,取8C中点O},连接aA,O|。，则aA=。出=O,C,得..AO出…COQ

17

均为正三角形，

即有（9,A=0]B=0,C=0]D,即（9,是梯形ABC。外接圆圆心，

而。为四棱锥P—ABC。的外接球球心，因此平面A8C。，又巩，平面ABCD,

则QO//PA,而24为球。的弦，则过点0垂直于Q4的平面必过24的中点E,连接

OE,OA,

于OELPA,而QALPA,即有。A//OE,四边形为矩形,

OQ=AE=；PA=g,

因此球。的半径R=OA=JoW+OQ?=而，过点〃的球o的最小截面圆所在平面必

垂直于OM,

而此截面圆半径为及，则OM=JR2_（扬2=3,连接。M,在RtaqoM中,

O[M=^OM1-O,O1=币，

在，AA/Q中，ZBAO,=|,AM2+O.A2-2AMO.AcosZBAO^O.M2,

即有A"2+9—34W=7，解得AW=1或AM=2,

12

所以；1=一或；1=—.

33

12

故答案为：鼻或Q

【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球

的截面小圆性质求解.

三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤.

s

17.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且」=〃+l（〃eN*）.

（1）求数列｛。“｝的通项公式；

（2）求数列的前w项和

【答案】（1）an=2〃（〃eN*）

18

<88V„8

⑵T，'=\J>n~9)+9"cN)•

【解析】

【分析】(1)由S,,与。“的关系得出数列｛凡｝的通项公式；

(2)由错位相减法得出前n项和T„.

【小问1详解】

s

由=〃+1得S“=+〃，

n

当〃22时S,i=(“_l)2+(“_1),

4=S“_S“_|=2〃，

当〃=1时q=S]=2,满足an-2n,

所以数列｛《,｝通项公式为%=2〃(〃eN*)

【小问2详解】

由a,「2%=2n-22n=2n-4",

7；=2X4+4X4?+6x43+...+2〃x4"

47；,=2x42+4x43+6x44+...+2nx4,,+l,两式错位相减得

-3T=2x4+2x42+2x4,+2x44+...+2x4"-2〃x4"+i

“1-4

(QQ\Q

所以4=(针一§|4"+§(neN*).

18.某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名

学生成绩分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示

的频率分布直方图，若。,仇。成等差数列，且成绩在区间[80,90)内的人数为120.

19

(1)求a,b,c的值；

(2)估计这500名学生成绩的中位数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);

(3)由成绩在区间［90,100］内的甲、乙等5名学生组成帮助小组，帮助成绩在区间［50,60)

内的学生A,B,其中3人帮助A,余下的2人帮助8,求甲、乙都帮助A的概率.

【答案】⑴a=0.036/=0.03,c=0.024

(2)中位数估计为73,平均数73.8

⑶上

10

【解析】

【分析】(1)根据［80,90)的人数先求出C,再利用其成等差数列，以及所有小矩形面积为

1得到方程，解出即可.

(2)设估计中位数为r,列出方程(0.005+0.()36)xl()+。—7())x0.03=0.5,解出即可，

再利用频率分布直方图求出平均值即可.

(3)列出所有情况，找到满足题意得情况，即可得到概率.

【小问1详解】

依题意可得：c=120+500+1()=0.024

又力,c成等差数列，

J2b=a+c且(0.005x2+a+力+c)xl0=l,

解得：a=0.036,b=0.03

【小问2详解】

估计中位数设为t,而[50,70)的频率为0.41,[50,80)的频率为0.71,则re[70,80),

(0.005+0.036)x!0+(r-70)x0.03=0.5,

解得：，=73,即中位数估计为73,

20

估计平均数为：

55x().05+65x0.36+75x0.3+85x0.24+95x0.05=73.8.

【小问3详解】

5人中，将甲、乙分别编号为1,2,其余3人编号3,4,5,

从这5人中选3人帮助A的所以可能结果有：(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),

(1,3,4),(1,3,5)(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共

10个基本事件，

其中满足条件的有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),共3个，

3

故满足条件的概率为二.

10

19.正方体ABC。—ASGA中，AC与8。交于点。，点E,尸分别为AA，CC1的中点.

(1)求证：平面片。尸//平面BEO；

(2)若正方体的棱长为2,求三棱锥尸-8EO的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)-

3

【解析】

【分析】Q)利用中位线定理与线面平行的判定定理证得MF〃面BEO,BQJ/平面BEO,

从而利用面面平行的判定定理即可得证；

(2)先利用线面垂直的判定定理证得80,平面OE凡再利用等体积法即可得解.

【小问1详解】

连接AG交4。于"，连接4C,MF,

21

•.•在正方体中，。为AC中点，E为A4的中点，EO//AC,

同理加///4。，M///EO,

EOu平面BEO,MF<Z平面BEO,；.MF//面BEO,

•：BQ、I/BD,而8Ou平面BEO,BRZ平面BEO,：.8Q//平面BEO,

,:B[D[CMF=M,BR,MFu平面与。尸，

平面片£>尸//平面BEO.

【小问2详解】

•/BO±AC,BO±CtC,ACCC〕=CAC,CC|u平面OEF,

...801,平面OEF,

•正方体棱长为2,SO£F=^-x2>/2x1=V2,

-VF-BEO=VB-OEF=~S,OEF-BO=X-

20.在圆O：f+y2=l上任取一点p,过点尸作)，轴的垂线，垂足为。，点。满足

DQ=2PQ.当点尸在圆。上运动时，点。的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设曲线C与y轴正半轴交点为A,不过点A的直线/与曲线C交于M,N两点，若

AM-AN=0,试探究直线/是否过定点.若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说

明理由.

2

【答案】(1)—+y2=1

4-

22

3

（2）恒过点（0,1），理由见解析

【解析】

x-_1x

【分析】（1）设点尸“0，%），。（苍》），由DQ=2PQ得出J°2,继而由圆的方程得

出曲线C的方程；

y=kx+b

（2）讨论斜率存在和不存在两种情况，由〈；2，得出

x+4y=4

(1+4左2)/+8物；+4〃-4=0,结合韦达定理以及数量积公式得出人=—之，进而得出

定点.

【小问1详解】

设点P(x0,y0),Q(x,y)

'1

=­x

VDQ=2PQ,・・・r2

、%=y

22

Vxo+yo=1-—+/=1,则曲线。的方程为土+V=1

44'

【小问2详解】

A(O,1),设加(如)，|),"(*2，M)，由AM-A/V=O

AM•A7V=(%,y-1).(9,%T)=中2+(*T)(%T)=0

当直线/_Lx轴时，△MAN为钝角三角形，且NM4N<90，不满足题意.

直线/的斜率存在.设直线/的方程为：y=kx+b

y=kx+b/.,

由《，-,化简得：(1+4-k~)x+Skhx+4Z?"-4=0

%+4/=4'7

△>0=64k2b2-4(1+4左2)(4人2—4)>0nb?<1+4人之

—8kb4/一4

x.+x=------7,中2=-------r

1-21+4/'i-1+4女2

23

/.AM•AN=x]x2+攵+左(/?-1)(玉+%2)+9一1)

_(1+的(4/一4)8代他—1).-1)2(1+软2)_

1+4—21+4/1+4-”

.•.(l+^2)(4/72-4)-8Z:2/7(Z2-l)+(/7-l)2(l+4Z:2)=0

整理得S-l)(5b+3)=0,：3

工直线/的方程为：>=去一3],恒过点(0,33.

【点睛】关键点睛：对于第(2)问，关键是联立直线和椭圆的方程，由韦达定理结合数量

3

积公式得出6=-一，进而由斜截式方程得出定点.

5

21.已知函数/(x)=±J—cosxxe一"(]).

(1)求证：函数/(x)在0,1上单调递增；

(2)当xe时，ZsinxN[/(x)+cosx]e*-cosx恒成立，求实数2的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)k<—+\

2

【解析】

【分析】(1)由导数结合正弦函数的性质得出单调性；

X—1—COSTX-I—COSJT

(2)分离参数得出左<一；—利用导数得出-.......一的最值，进而得出实数k

sinxsinr

的取值范围.

【小问1详解】

证明：=———+sinx=^+sinx

7T

当0<x<—时，2-x>0,sinx>0

2

24

2_Y,jr

.•・/'(x)=—^+sinr〉o成立，所以函数/(x)在0,-上单调递增.

e_z_

【小问2详解】

[〃x)+cosx]e'-cosx=x-l-cosx

当x不时，不等式显然成立

当一万<%<一工时，-l<sinxv(),所以女42--~~竺2

2sill¥

人7、x-1-cosx

令g(x)二一:-----，

S1IU：

、(1+sinx)sinx-(x-1-cosx)cosxl+sinx+(l-x)cosx

*'sin2xsin2x

令/z(x)=l+siiu:+(l-x)cosx,

”(x)=cosx-cosux-(l-x)sinx=(x-l)sinr>0在(一肛-y上成立,

・・・/2(九)在‘肛一^]上为单调递增函数，

即g1X）<0在一万,一/上成立,

/jrf7T\TT

g（尤）在（一4,一万上单调递减，gaL=g（_]J=5+l

：.k<—+l.

2

【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于将不等式的恒成立问题，转化为最值问题,

通过导数得出最值，进而得出参数的范围.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作

答时用28铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.

选修4—4：坐标系与参数方程

22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已

25

x=J^cos。-fx