曲线与方程同步练习 高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.4曲线与方程一、必备知识基础练1.在平面直角坐标系xOy中,动点P关于x轴对称的点为Q,且OP·A.x2+y2=2 B.x2-y2=2C.x+y2=2 D.x-y2=22.方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是()3.已知0≤α<2π,点P(cosα,sinα)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为()A.π3 B.C.π3或5π4.已知A(2,1),B(2,-1),O为坐标原点,动点P(x,y)满足OP=mOA+nOB,其中m,n∈R,且m2+n2=12A.x2+y24=1 B.x2C.x2-y24=1 D.x25.曲线x2+y2+2x=0与曲线y+|x|=0的交点个数是.6.已知圆O1:x2+y2=1和圆O2:(x-4)2+y2=4,过点P(x,y)分别作O1,O2的切线PA,PB,其中A,B为切点,且|PA|=|PB|,则动点P的轨迹方程为.7.动点P与平面上两定点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率的积为定值-12,则动点P的轨迹方程为8.已知圆M经过原点和点(3,-1),且它的圆心M在直线2x+y-5=0上.(1)求圆M的方程;(2)若点D为圆M上的动点,定点C(2,0),求线段CD的中点P的轨迹方程.二、关键能力提升练9.阿波罗尼斯(约公元前262—190年)证明过这样一个命题:在平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足|PA||A.2 B.2 C.22 D.410.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).曲线C上任意一点到原点的距离的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.211.(多选题)在平面直角坐标系中,曲线C上任意一点P与两个定点A(-2,0)和B(2,0)连线的斜率之和恒等于2,则关于曲线C的结论正确的是()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标的绝对值都大于212.在平面直角坐标系xOy中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P满足|PM·ON|=|PN|,则动点P的轨迹方程是13.已知A(-2,0),B(1,0)两点,动点P不在x轴上,且满足∠APO=∠BPO,其中O为原点,则点P的轨迹方程是.14.已知P为圆(x+2)2+y2=1上的动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,求点M的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状.15.在边长为1的正方形ABCD中,边AB,BC上分别有一个动点Q,R,且|BQ|=|CR|.求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程.16.求由曲线x2+y2=|x|+|y|围成的图形的面积.17.已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O:x2+y2=1,动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0),求动点M的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状.参考答案一、必备知识基础练1.B设P(x,y),则Q(x,-y).因为OP·OQ=2,所以x2-y2=2.2.C方程x2+y2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分.3.C由(cosα-2)2+sin2α=3,得cosα=12又0≤α<2π,∴α=π34.B由题意得(x,y)=(2m+2n,m-n),∴x=2m+2n,y=m-n,∴m=x+2y4∵m2+n2=12∴(x+2y4)2+(x-2y4)2=125.2由x2+y2+2x6.x=138设P(x,y),则由|PA|=|PB|,得|PA|2=|PB|2,所以x2+y2-1=(x-4)2+y2-4,化简得x=137.x2+2y2-2=0(x≠±2)设P(x,y),由题意知,x≠±2,kAP=yx+2,kBP=yx-2,由条件知kAP·kBP=-12,所以yx+2·y8.解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则圆心M(-D2,-E依题意得F=0,所以圆M的方程为x2+y2-4x-2y=0.(2)设P(x,y),D(x1,y1),依题意得x点D(x1,y1)为圆M上的动点,得(2x-2)2+(2y)2-4(2x-2)-2(2y)=0,化简得P的轨迹方程为x2+y2-4x-y+3=0.二、关键能力提升练9.C设经过点A,B的直线为x轴,AB的方向为x轴正方向,线段AB的垂直平分线为y轴,线段AB的中点O为原点,建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设P(x,y),∵|PA||PB|=2,∴(x+1)2要使△PAB的面积最大,只需点P到AB(x轴)的距离最大,此时面积为12×2×22=22.故选C10.B∵图形关于y轴对称,∴只考虑x≥0的情况,此时曲线C:x2+y2=1+xy,曲线C上任意一点P(x,y)到原点距离d=x2当x=0时,y=±1,∴d=1;当x>0时,x2+y2=1+xy≤1+x2+y22⇒x2+y2≤2⇒d≤2,∴11.BC设P(x,y),依题意有yx+2+yx-2=2,整理,得x2=xy+4,于是曲线C的方程为y=x-又因为x2+y2=x2+(x-4x)2=2x2+16x2-8≥22x2·16代入点(1,-3),得-3=1-41,所以点(1,-3)在曲线C上,但其横坐标的绝对值不大于2,故D选项错误.故选BC12.y2=4x设P(x,y).由M(-1,2),N(1,0),得PM=(-1-x,2-y),ON=(1,0),PN=(1-x,-y).因为|PM·ON|=|所以|1+x|=(1-x)13.(x-2)2+y2=4(y≠0)由角平分线的性质定理得|PA|=2|PB|,设P(x,y),则(x+2)2整理得(x-2)2+y2=4(y≠0).14.解设M(x,y),P(x1,y1).∵M为线段OP的中点,∴x=x1将P(2x,2y)代入圆的方程(x+2)2+y2=1,可得(2x+2)2+(2y)2=1,即(x+1)2+y2=14此方程为点M的轨迹方程.∴点M的轨迹曲线是以(-1,0)为圆心,12为半径的圆15.解分别以AB,AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系.如图所示,则点A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设动点P(x,y),Q(t,0)(0≤t≤1),由|BQ|=|CR|知|AQ|=|BR|,则R(1,t).当t≠0时,直线AR:y=tx,①直线DQ:xt+y=1,则1-y=xt,①×②,得y(1-y)=tx·xt,化简得x2+y2-y=0当t=0时,点P与原点重合,坐标(0,0)也满足上述方程.故点P的轨迹方程为x2+y2-y=0(0≤x≤12,0≤y≤1216.解当x≥0,y≥0时,方程x2+y2=|x|+|y|化成x2+y2=x+y,即(x-12)2+(y-12)2=上式表示圆心为(12,12所以,当x≥0,y≥0时,方程x2+y2=|x|+|y|表示圆(x-12)2+(y-12)2=1同理,当x≥0,y<0时,方程x2+y2=|x|+|y|表示圆(x-12)2+(y+12)2=当x<0,y≥0时,方程x2+y2=|x|+|y|表示圆(x+12)2+(y-12)2=当x<0,y<0时,方程x2+y2=|x|+|y|表示圆(x+12)2+(y+12)2=1以上合起来构成如图所示的图形,面积为2+π.17.解如图所示,设直线MN切圆于N点,则动点M组成的集合是P={M|