新疆柯坪县柯坪湖州国庆中学2022-2023学年高二上学期12月月考 数学试题（含解析）

2022-2023学年第一学期12月月考试卷高二数学（考试时间120分钟满分150分）注意：1.答题前在试卷和答题卡上填写好自己的姓名、班级、考场、座位号等信息.2.请按照要求将正确答案填写在答题卡内.3.试卷整洁，字迹清晰.第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，共8题，共40分）1.如图，在直三棱柱中，棱与直线异面有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】C【解析】【分析】根据异面直线的定义即可判断.【详解】在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线有，共3条.故选:C.2.设为两个不同的平面，则的充要条件是（）A.内有无数条直线与平行B.垂直于同一平面C平行于同一条直线D.内的任何直线都与平行【答案】D【解析】【分析】根据面面平行、相交的知识确定正确选项.【详解】A选项，内有无数条直线与平行，与可能相交，A选项错误.B选项，垂直于同一平面，与可能相交，B选项错误.C选项，平行于同一条直线，与可能相交，C选项错误.D选项，内的任何直线都与平行，则，D选项正确.故选：D3.已知球O的体积为，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据球的体积公式求出半径，即可求出表面积.【详解】设球的体积为，则由题可得，解得，则该球的表面积为.故选：D.4.某校高一､高二､高三的学生人数分别为800，750，650，为了解学生的视力情况，现用分层随机抽样的方法从中抽取部分学生进行调查，若样本中高二学生的人数为30，则这次调查的样本容量为（）A.88 B.90 C.92 D.94【答案】A【解析】【分析】设样本容量为x，然后由分层抽样的定义列方程求解即可【详解】设样本容量为x，则，解得x=88.故选：A5.如图所示，在三棱锥中，平面，，则二面角的大小为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面，得到，，根据二面角的平面角的定义，可得为二面角的平面角，即可求解.【详解】由题意，因为平面，则，，所以即为二面角的平面角.又，所以二面角的平面角为.【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的定义，以及二面角的求解，其中根据线面垂直的性质，利用二面角的平面角的定义得到二面角的平面角是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（）A.事件“都是红色卡片”是随机事件B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件【答案】C【解析】【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断.【详解】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．故选：C．7.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】C【解析】【分析】A选项，分和两种情况，结合线面垂直得到面面垂直；B选项，作出辅助线，得到线面垂直，得到面面垂直；C选项，举出反例；D选项，证明出，结合，所以，D正确.【详解】A选项，如图1，当，时，因为，所以，如图2，当时，因为，，设，过点作，则，且因为，所以，所以，A正确；B选项，如图3，若，，所以，因为，故存在，使得，且，则，因为，所以，因为，故，B正确；则C选项，如图4，满足，，，但不满足，C错误；D选项，如图5，因为，，所以，又，所以，故D正确.故选：C8.2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18至59岁的人提供.根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为（）A.40 B.39 C.38 D.37【答案】C【解析】【分析】利用中位数左右两边的小矩形的面积都等于即可求解.【详解】年龄位于的频率为，年龄位于的频率为，年龄位于的频率为，年龄位于的频率为，因为，而，所以中位数位于，设中位数为，则，解得：，故选：C.二、多选题（共4题，每题5分，共20分）9.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（）A.PB⊥BCB.PD⊥CDC.PD⊥BDD.PA⊥BD【答案】ABD【解析】【分析】由矩形，得，若，则平面，又平面，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，不成立，故不正确．【详解】解：矩形，矩形，，故正确．若，则平面，又平面，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，故不正确，故不正确；矩形，，，平面，，故正确；矩形，由三垂线定理得，故正确；故选：．10.下列四个命题中，错误命题的是（）A.垂直于同一条直线的两条直线相互平行 B.垂直于同一个平面的两条直线相互平行C.垂直于同一条直线的两个平面互相平行 D.垂直于同一个平面的两个平面互相平行【答案】AD【解析】【分析】对选项AD可利用正方体为载体进行分析，举出反例即可判定结果，对选项BC根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理进行判定即可．【详解】对A，垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立对B，垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；对C，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；对D，垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立；故选：AD11.下列图形中是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】空间想象直接可知.【详解】可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现AB可折成正四面体，CD不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.故选：AB12.下列命题中正确的有（）A.若直线，直线，则B.若直线，，那么直线a就平行于平面内的无数条直线C.若直线，，则D.过平面外一点有无数条直线与这个平面平行【答案】BD【解析】【分析】由直线与平面的位置关系对选项逐一判断【详解】对于A，若直线，直线，有可能，故A错误，对于B，若直线，，那么直线a就平行于平面内的无数条直线，B正确，对于C，若直线，，则或，故C错误，对于D，过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，D正确，故选：BD第II卷（非选择题）三、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号).【答案】①②【解析】【分析】根据正方体的结构特征，以及两直线的位置关系的判定方法，即可求解.【详解】根据正方体结构特征，可得①②中RS与PQ均是平行直线，④中RS和PQ是相交直线，③中RS和PQ是是异面直线.故答案为：①②.14.如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点．则点到平面的距离为______，到平面的距离为______.【答案】①.②.【解析】【分析】取的中点，连接，则为点到平面的距离；先证明平面，则点到平面的距离等于直线到平面的距离；再证明平面平面，然后过点作交直线于点，则为直线到平面的距离，从而可得答案.【详解】取的中点，连接，则且，又平面，所以平面，所以为点到平面的距离，、分别是、的中点，则又，则，又平面，平面，所以平面，则点到平面的距离等于直线到平面的距离.由平面，则平面，又平面，所以平面平面，且平面平面，则过点作交直线于点，则平面，即为直线到平面的距离，由，则，所以到平面的距离为.故答案为：；15.同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用表示结果，记A为“所得点数之和小于6”，则事件A包含的基本事件的个数为______．【答案】10【解析】【分析】根据事件A的描述直接写出事件A的所有可能组合.【详解】由题设，事件A包含的基本事件为、、、、、、、、、共10种.故答案为：1016.将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积为______.【答案】【解析】【分析】旋转后得到圆锥，其中，从而求出几何体体积.【详解】将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，得到如下的圆锥，其中，故圆锥的体积为.故答案为：.三、解答题（共6题，共70分）17.如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：（1）该几何体的体积；（2）若要将几何体下部分表面刷上涂料（除底面），求需要刷涂料的表面积.【答案】（1）256（2）96【解析】【分析】（1）求出长方体的体积和四棱锥体积，相加后得到答案；（2）求出几何体下部分侧面积，得到答案.【小问1详解】长方体的体积为，四棱锥的体积为，故该几何体的体积为；【小问2详解】长方体侧面面积为，故要将几何体下部分表面刷上涂料（除底面），需要刷涂料的表面积为96.18.某校1200名高三年级学生参加了一次数学测验（满分为100分），为了分析这次数学测验的成绩，从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：成绩分组频数频率平均分30.01516ab32.1250.12555c0.574620.3188（1）求a，b，c的值；（2）如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P（注：60分及60分以上为及格）.【答案】（1）（2）0.81【解析】【分析】（1）根据统计图中数据分析得到a，b，c的值；（2）计算出抽取的200人的成绩中，数学测验及格的频率，从而估计出这名学生该次数学测验及格的概率.【小问1详解】，解得，故，，【小问2详解】抽取的200人的成绩中，数学测验及格的频率为，故估计这名学生该次数学测验及格的概率.19.做试验“从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”.（1）求这个试验样本点的个数；（2）写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.【答案】（1）12；（2）{(2，1)，(2，3)，(2，4)}.【解析】【分析】（1）分x=1,2,3,4，分别考虑y的不同情况，即可得到样本试验点的个数；（2）即为x=2时样本点的集合，由（1）的分析可得.【详解】（1）当x=1时，y=2，3，4；当x=2时，y=1，3，4；同理当x=3，4时，也各有3个不同的有序数对，所以共有12个不同的有序数对.故这个试验结果样本点的个数为12.（2）记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A，则A={(2，1)，(2，3)，(2，4)}.20.如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：面面．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)连接AC交BD于O，连接OE，由中位线即可得，得证；(2)证明BD⊥平面PAC即可.【小问1详解】连接AC，交BD于O，连接OE，在△CAP中，，∴，又∵平面BDE，平面BDE，∴∥平面BDE；【小问2详解】∵PO⊥底面ABCD，则PO⊥BD，又∵是正方形，则AC⊥BD，且，∴BD⊥平面PAC.∵平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD.21.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图.（1）求出直方图中的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01).【答案】（1）；（2）平均数为71，中位数为73.33.【解析】【分析】（1）利用频率之和等于1进行求解即可（2）利用平均数和中位数的计算公式进行求解即可【详解】（1）由，得.（