2022年高考数学冲刺必考解析：解析几何综合题解题思路与案例分析

解析几何综合题解题思路案例分析

解析几何综合题是高考命题的热点内容之一.这类试题往往以解析几何知识为

载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能

力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。据

此笔者认为：解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维.即在

掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感

觉走，做到那儿算那儿.而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题

思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关.

1判别式一一解题时时显神功

22

案例1已知双曲线C:/卷=1,直线/过点儿历,0),斜率为3当0<女<1时，双

曲线的上支上有且仅有一点B到直线/的距离为后,试求2的值及此时点B的坐标。

分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必

然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不

难想到：过点B作与/平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所

构造方程的判别式△=().由此出发，可设计如下解题思路：

/:y=k(x-42)(0<A:<1)

直线/‘在/的上方且到直线/的距离为J5

丁=履+42赠构'的娥弋入双曲线方程’消去"令判别式八二°

解得R的值

解题过程略.

分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有

且仅有一点B到直线/的距离为后”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下

解题思路：

问题

Ikx-V2+X2-V2A:|

关于X的方程J------；-------——=V2(0<%<1)有唯一解

“+1

口转化为一元二次方程根的问题

求解

简解：设点加(工,五下)为双曲线C上支上任一点，则点M到直线/的距离为:

kx-V2+X2—V2Zrl

——-p=JO(0<%<1)(*)

于是，问题即可转化为如上关于x的方程.

由于0<%<1,所以J2+—>凶>点,从而有

kx-，2+尸-=-kx-\-，2+x~+yp2.k.

于是关于x的方程(*)

<=>-kx+,2+.2+y[2k=J2/2+1)

o(72+x2)2=(52(.2+1)-41k+kx)2,

不2(匕+1)—>/2,k+kx>0

仅2_1卜2+2tq2（女2+I）-41k\c+仙女2+1）-行4-2=0,

小2（匕+1）-+kx>0.

由0〈左＜1可知:

方程(代_1卜2+2kH2*2+D-以卜+仙人+1)-五R-2=0的二根同正，故

12(r+1)-扬:+小＞0恒成立,于是(*)等价于

(k2—1卜2+2kH2@2+D—亚加+仙/+1)-J2kf-2=0.

由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式△=(),就可解得k=*

点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体

思维的优越性.

2判别式与韦达定理—二者联用显奇效

案例2已知椭圆C:/+2y2=8和点p(4,1),过P作直线交椭圆于A、B两点，

在线段AB上取点Q,使尊=-震，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.

分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。

其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方

设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.

由于点。(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率女作

为参数，如何将与女联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用

题目条件：喧=-黑来转化•由A、B、P、Q四点共线，不难得至！U=4(?+：B)2XEB,

PBQB8-(xA+xs)

要建立尤与人的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.

通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，

已经做到心中有数.

在得到X=/（A）之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得

到关于的方程（不含外，则可由"心-4）+1解得4=2二1,直接代入即可

x-4

得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。

简解：设他,必）向孙必），Q（xM则由芸=-哭可得：匕==士土，

PBQBx2-4x2-x

解之得：,=4（司+%2）-2.》2（1）

8—（X]+%）

设直线AB的方程为：八力-4）+1,代入椭圆C的方程，消去y得出关于x的一

元二次方程:

(21+1卜2+软(]_4%)x+2(1-的2-8=0(2)

4Z(4火-1)

x,+x,=-------,

.I'2Ik2+\

2(1-42)2-8

x,x=-----；-----.

122k2+1

代入(1),化简得：x=竺与.

k+2

与y=&(x-4)+1联立，消去女得：(2x+y-4)(x-4)=0.

在(2)中，由A=—64代+64k+24>0,解得?一回〈kJ+回,结合(3)可求

44

16-2V1016+2V10

得--------<x<--------

故知点Q的轨迹方程为：2x+y-4=0(16-*<"6+*)

99

点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判

别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点

在消去参•，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有

效通道.

3求根公式——呼之欲出亦显灵

案例3设直线/过点P(0,3),和椭圆<+4=1顺次交于A、B两点，试求瞿的

94PB

取值范围.

分析：本题中，绝大多数同学不难得到：翟=-土，但从此后却一筹莫展，问题

rt3xB

的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一

是构造所求变量关于某个(或某儿个)参数的函数关系式(或方程)，这只需利用对

应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.

分析1：从第一条想法入手，区已经是一个关系式，但由于有两个变量

PBxB

工4,4,同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量一一直线4?

的斜率4.问题就转化为如何将乙,4转化为关于力的表达式，到此为止，将直线方程

代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

简解1：当直线/垂直于x轴时，可求得孩=-1;

当/与x轴不垂直时，设A（和凹）,5（孙必），直线/的方程为：y-kx+3,代入椭圆

方程，消去y得

(91+4*+54依+45=0

-27/±6形2一5

解之得

孔2=9a+4

因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑4>0的情形.

“0时，寸金^^,“包〜

19k2+4-9r+4

所以”一x--9"2k?=i______18^_=1_______18

PBx29—+2,9左2—5稣+2的6—59+2，9二%

由△=(—54女尸一180(9左2+4)20,解得k2>~,

9

所以-1<1-------'=<」，

9+2月%5

综上一W

分析2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不

等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定人的取值范围，于是问题转化为如何将

所求量与女联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直

接应用韦达定理，原因在于当=-%不是关于不看的对称关系式.原因找到后，解决

PBX-,

问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于七小的对称关系式.

简解2：设直线/的方程为：y=H+3,代入椭圆方程，消去y得

(9^+4*+54依+45=0(*