回归分析的基本思想及初步应用

1．回归分析(1)函数关系是一种________关系，而相关关系是一种________关系，即自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做__________．线性回归模型[导入新知]确定性非确定性相关关系(2)由《数学3》的知识可知，回归分析是对具有线性相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，回归分析的基本步骤是____________________，___________________，并用__________________进行预报．2．线性回归模型(1)线性回归模型y＝____________，其中___和___是模型的未知参数，___称为随机误差．自变量x称为_________，因变量y称为_________．画出两个变量的散点图求回归直线方程回归直线方程bx＋a＋eabe解释变量预报变量中心[化解疑难]线性回归分析[导入新知]yi－bxi－a(2)残差图作图时，纵坐标为________，横坐标可以选为样本编号，或xi数据，或yi数据，这样作出的图形称为残差图．(3)残差分析残差分析即通过残差发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果，其步骤为：计算残差——画残差图——在残差图中分析残差特性．残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度_______，回归方程的预报精度_______．残差越高越高越好越差[0,1]1残差分析的注意点在残差图中，可疑数据的特征表现为：(1)个别样本点的残差过大，即大多数的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，而个别残差点偏离该区域过于明显，需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误．如果采集数据有错误，那么需要纠正，然后重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，那么需要寻找其他原因．(2)残差图有异常，即残差呈现不随机的规律性，此时需要考虑所采用的线性回归模型是否合适．[化解疑难][例1]

某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：(1)请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；线性回归分析x681012y2356[类题通法]某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)试根据数据预报广告费支出1000万元的销售额；(2)若广告费支出1000万元的实际销售额为8500万元，求误差．[活学活用]x24568y3040605070(2)8500万元即85百万元，实际数据与预报值的误差为85－82.5＝2.5(百万元)．[例2]

某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：(1)建立零件数为解释变量，加工时间为预报变量的回归模型，并计算残差；(2)你认为这个模型能较好地刻画零件数和加工时间的关系吗？残差分析编号12345678910零件数x/个102030405060708090100加工时间y/min626875818995102108115122解：(1)根据表中数据画出散点图，如图所示．由图可看出，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型来拟合数据．计算得加工时间对零件数的线性回归方程为＝0.668x＋54.93.(2)以零件数为横坐标，残差为纵坐标画出残差图，如图所示．由图可知，残差点分布较均匀，即用上述回归模型拟合数据效果很好．但需注意，由残差图可以看出，第4个样本点和第5个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误．2023/12/1225[类题通法][活学活用]非线性回归分析非线性回归分析的步骤非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：[类题通法]某电容器充电后，电压达到100V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝Aebt(b＜0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表：试求电压U对时间t的回归方程．(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)[活学活用]t/s012345678910U/V100755540302015101055[典例]某种产品的广告费支出x(单元