函数的单调性高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第5章函数概念与性质5.3函数的单调性

●怎样用数学语言刻画上述某一时段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征?由图可知，从4时到14时这一时间段内，图象是上升趋势，气温逐渐升高.

一、函数的单调性函数增函数减函数图示

(1)定义函数增函数减函数条件设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时,都有___________都有___________结论(1)y＝f(x)在区间I上是___________(2)I称为y＝f(x)的增区间(1)y＝f(x)在区间I上是____________(2)I称为y＝f(x)的减区间f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)增函数减函数(2)本质：函数的单调性反映的是两个变量的对应变换规律，定量地刻画了函数在区间上图象的变化趋势,是函数诸多性质中最核心、最本质的性质.(3)应用：证明函数的单调性、比较大小、解不等式、

求参数范围等.【思考】函数单调性的定义中，能否将“任意”改为“存在”?提示：不能，

一些特殊的值满足并不能说明函数的单调性.二、单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间I

上是增函数或减函数，那么称函数y＝f(x)在区间I

上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间.【思考】函数y＝f(x)在定义域内的每一个区间D1，D2，…上都单调递减，那么函数在定义域上是减函数吗?你能举例说明吗?

例1画出下列函数图象，并写出单调区间：(1)y＝－x2＋2；解：函数图象如图，

增区间为(－∞，0]，

减区间为[0，＋∞).

解：函数图象如图，(－∞，0)和(0，＋∞)

是两个减区间.例2

【基础小测】

✘✘✘2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其减区间是 (

)

A.[－4，4] B.[－4，－3]∪[1，4]C.[－3，1] D.[－4，－3]，[1，4]D解析：由图象知函数在[－4，－3]以及[1，4]上是减函数，则对应的减区间为[－4，－3]，[1，4].解析3.若函数f(x)＝(2k－1)x＋1是减函数，则实数k的取值

范围是______________.

解析【课堂检测·素养达标】1.函数y＝∣x∣－1的减区间为(

)

A.(0，＋∞) B.(－∞，0)C.(－∞，－1) D.(－1，＋∞)B解析：当x≥0时，y＝∣x∣－1＝x－1，此时函数为增函数，当x＜0时，y＝∣x∣－1＝－x－1，此时函数为减函数，即函数的减区间为(－∞，0).解析

A解析：由图象可知减区间为(0，1).解析

D

解析4.若f(x)是减函数，且f(3x－2)＜f(3)，则x的取值范围

是________________.

解析

2x2－3，x≥0，2x2＋3，x＜0.5.函数f(x)＝2x2－3∣x∣的增区间是_______________________.

解析在图中，我们从图象上看出14时的气温为全天的最高气温，它表示在0~24时，气温于14时达到最大值.从中可以看出，图象在这一点的位置最高.在图中，可以看出对于任意的x∈R，都有f(x)＜2＝f(0).三、函数的最大值和最小值(1)定义：条件设y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有前提f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)结论称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为_________ymin＝f(x0)(2)本质：函数图象上最高点的纵坐标即为最大值；最低点的纵坐标即为最小值.(3)应用：求函数的值域，参数的范围，解决实际问题.【思考】函数f(x)＝－x2的定义域为R，存在实数1，对于任意x∈R，都有f(x)≤1.那么1是函数f(x)＝－x2的最大值吗?为什么?提示：不是.

因为不存在x0∈R，使得f(x0)＝－x02＝1.例3图5-3-4为函数y＝f(x)，x∈[－4，7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间.解观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3，3)，最低的点是(－1.5，－2).因此，当x＝3时，函数y＝f(x)取得最大值，即ymax＝3；当x＝－1.5时，函数y＝f(x)取得最小值，即ymin＝－2.

函数的增区间为[－1.5，3]，[5，6]；减区间为[－4，－1.5]，[3，5]，[6，7].例4求下列函数的最小值：(1)y＝x2－2x；解：因为y＝x2－2x

＝(x－1)2－1＞－1，

且当x＝1时y＝－1.

所以函数在x＝1时取得最小值－1，

即ymin＝－1.

思考例4中的两个函数有无最大值?例5已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a＜c＜b.在区间[a，c]上，f(x)单调递增；在区间[c，b]上，f(x)单调递减，试证明f(x)在x＝c时取得最大值.证明因为在区间[a，c]上，f(a)单调递增，

所以对于任意x∈[a，c]，都有f(x)＜

f(c).又因为在区间[c，b]上，f(x)单调递减，所以对于任意x∈[c，b]，都有f(x)≤f(c).因此，对于任意x∈[a，b]都有f(x)≤f(c)，即f(x)在x＝c时取得最大值.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”)(1)任何函数都有最大值、最小值. (

)(2)如果一个函数有最大值，那么最大值是唯一的.(

)(3)如果一个函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，那么函数的最大值是f(b). (

)✘✔✘2.函数f(x)＝x2－3x(∣x∣＜1) (

)

A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值D

解析

A

解析【跟踪训练】

B

解析

B

解析解析：函数y＝

的图象如图：由图象可得函数的最大值是4.x＋3，(x≤1)，－x＋5，(x＞1)，3.函数y＝

的最大值是(

)A.3 B.4 C.5 D.6x＋3，(x≤1)，－x＋5，(x＞1)，B解析4.当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是 (

)A.(－∞，1] B.(－∞，0]C.(－∞，0) D.(0，＋∞)C解析：令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.

又因为x∈[0，2]，所以f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.所以a＜0.解析

4

解析练习1.判断函数f(x)＝x2－1在(0，＋∞)上是增函数还是减函数.增函数证明在(0，

＋∞)上任取两个不相等的实数x1，x2，

且设x1

＜x2；则f(x1)－f(x2)＝(x12－1)－(x22－1)＝x12－x22

＝(x1＋x2)(x1－x2)，∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞0，

∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2).∴函数f(x)＝x2－1在(0，＋∞)上是增函数.2.画出函数f(x)＝∣x＋1∣的图象，并根据图象写出f(x)

的单调区间.解函数f(x)＝∣x＋1∣＝，

函数图象如下图所示，由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，

＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].x＋1，x≥－1－x－1，x＜－13.判断函数f(x)＝－x2＋2x

在(－∞，0)上是增函数还是

减函数.函数f(x)＝－x2＋2在(－∞，0)上是增函数.证明如下：设在(－∞，0)上任意取x1，x2，且x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＝(－x12＋2x1)－(－x22＋2x2)＝(x22－x12)＋(2x1－2x2)

＝(x2－x1)(x1＋x2)＋(2x1－2x2)＝(x2－x1)(x1＋x2－2)，∵x1＜x2＜0，∴x2－x1＞0，x1＋x2＜0，∴x1＋x2－2＜0，∴(x2－x1)(x1＋x2－2)＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴函数f(x)＝－x2＋2x在(－∞，0)上是增函数.4.求函数f(x)＝－x2＋2x

在[0，10]上的最大值和最小值.解

f(x)＝－x2＋2x－1＋1＝－(x－1)2＋1，对称轴x＝1，

∴函数f(x)在[0，1)递增，在(1，10]递减，∴f(x)max＝1，f(x)min＝f(10)＝－80.

6.证明：函数f(x)＝－2x＋1是减函数.解由题，f(x)＝－2x＋1，x∈R，因为f′(x)＝－2＜0，

所以函数f(x)＝－2x＋1为减函数.7.下图分别为函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象，试写出函

数y＝f(x)和y＝g(x)的增区间.

8.判断下列说法是否正确：(1)若定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则数f(x)

是R

上的增函数；解若函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R

且x1

＜x2，则f(x1)＜f(x2)一定成立，

若f(2)＞f(1)成立，f(2)＞f(0)不一定成立，函数f(x)在R上不一定是增函数，(1)错误；(2)若定义在R

上的函数f(x)满f(2)＞f(1)，则函数f(x)

在R上不是减函数；解若函数f(x)在R上为减函数，则对于任意的x1，x2∈R且x1

＜x2，则f(x1)＞f(x2)一定成立，所以，f(2)＜f(1)一定成立，

所以，若f(2)＞f(1)，函数f(x)在R上一定不是减函数，(2)正确；(3)若定义在R

上的函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递增，

在区间[0，＋∞)上也单调递增，则函数f(x)在R

上是

增函数；解若定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是增函数，在区间[0，＋∞)上也是增函数，则满足对于任意的x1，x2∈R且x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)成立，所以，函数f(x)在R上是增函数，(3)正确；(4)若定义在R

上的函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递增，

在区间(0，＋∞)上也单调递增，则函数f(x)在R

上是

增函数.解设函数f(x)＝

，是定义在R上的函数，且f(x)在区间(－∞，0]上是增函数，在区间(0，＋∞)上也是增函数，而－1＜1，但f(－1)＝f(1)，不符合增函数的定义，所以，函数f(x)在R上是不是增函数，(4)错误.－x＋1，x≤0x－1，x＞0习题5.3感受·理解1.已知k，b

是常数，填写下表：函数y＝kx＋bk＞0k＜0k＞0k＜0单调区间(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)(－∞，0)，(0，＋∞)(－∞，0)，(0，＋∞)单调性单调增函数单调减函数在每个区间内单调递减在每个区间内单调递增2.指出下列函数的单调区间：(1)y＝1－3x；解∵k＝－3＜0.∴y＝1－3x

在(－∞，＋∞)单调递减；

(3)y＝x2＋1；解函数y＝x2＋1定义域为R，∵y＝x2在(－∞，0)单调递减，

在(0，＋∞)单调递增，∴y＝x2＋1在(－∞，0)单调递减，

在(0，＋∞)单调递增；(4)y＝－x2＋x－1.

3.画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出

函数的最大值或最小值：(1)f(x)＝－x2－1；解函数图象如图(1)，增区间为(－∞，0]，减区间为[0，

＋∞)，最大值为－1，无最小值.(2)f(x)＝x2－2x－1，x∈[－1，1]；解函数图象如图(2)，减区间为[－1，1]，

最大值为2，最小值为－2.(3)f(x)＝x∣x∣；解

f(x)＝

函数图象如图(3)，

增区间为(－∞，＋∞)，

既无最大值，也无最小值.x2，x≥0，－x2，x＜0，

解函数图象如图(4)，

减区间为[0，＋∞)，

最大值为，无最小值.(5)f(x)＝x－2，x≥0，－x－2，x＜0；解函数图象如图(5)，增区间为[0，＋∞)，

减区间为(－∞，0]，

无最大值，最小值为－2.(6)f(x)＝x2＋2x－1，x∈[0，＋∞)－x2＋2x－1，x∈[－∞，0).解函数图象如图(6)，

增区间为(－∞，＋∞)，

既无最大值，也无最小值.4.设a

为实数，已知函数y＝f(x)在定义域R

上是减函数，

f(a＋1)＞f(2a)，求a

的取值范围.解由题意可知，f(x)在R上是减函数.∴f(a＋1)＞f(2a)，∴a＋1＜2a，解得a＞1.5.证明：(1)函数f(x)＝－2x2＋3在区间(－∞，0]上是增函数；解设x1，x2∈(－∞，0]，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－2x12＋2x22

＝2(x2＋x1)(x2－x1)，∵x1，x2∈(－∞，0]，且x1＜x2，∴x1＋x2＜0，x2－x1＞0