2023年中考数学高频考点训练-二次函数与一元二次方程

2023年中考数学高频考点专题训练--一二次函数与一元二次方程

一、综合题

1.二次函数y=a/+bx+c(aH0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

(2)若方程a/+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

(3)若抛物线与直线y=2x-2相交于4(1,0),B(2,2)两点，写出抛物线在直线下方时x

的取值范围.

(1)方程ax2+bx+c=0的两个根为；

(2)不等式ax2+bx+c>0的解集为；

(3)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为；

(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为.

3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=mx2+4x+].

y

-5-4-3-2-192345*

-1

(1)当抛物线C经过点A(-5,6)时:求抛物线的表达式及顶点坐标；

(2)当直线y^-x+l与直线y=x+3关于抛物线C的对称轴对称时，求m的值；

(3)若抛物线C：产7加+©+/(m>0)与x轴的交点的横坐标都在-/和0之间(不包括-/和

0).结合函数的图象，求机的取值范围.

4.已知抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A(-3,0),B两点，交y轴于点C。

(1)求该抛物线的表达式；

(2)求aABC的面积。

5.已知：二次函数y=-x2+2x+m.

(1)如果二次函数图象与x轴有两个交点，求小的取值范围；

(2)如图，二次函数的图象过点A(3,0),与y轴交于点B,求直线A3解析式.

6.为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系歹产三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.

某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的

销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：

y=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为卬元.

(1)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

(2)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销

售利润，销售价应定为每千克多少元？

7.设b为常数，已知二次函数、=一2%2一2匕%+坟+1.

(1)求证：无论b为何值，该二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；

(2)若把二次函数的图象沿y轴方向平移2个单位长度，则使得该二次函数的图象与%轴

恰有一个公共点，求b的值.

8.如图，二次函数y=ax?+bx+c的图象经过A、B、C三点.

(1)观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；

(2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴；

(3)当m取何值时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根.

9.如图，将函数y=x2-2x(x>0)的图象沿y轴翻折得到一个新的图象，前后两个图象其实就是函

数y=x2-2冈的图象.

(1)观察思考

函数图象与X轴有个交点，所以对应的方程x2-2|x|=0有个实数根；方程x2

-2|x|=2有个实数根；关于x的方程*2-2冈=2有4个实数根时，a的取值范围

是：

(2)拓展探究

①如图2,将直线y=x+l向下平移b个单位，与y=x2-2|x|的图象有三个交点，求b的值；

②如图3,将直线y=kx(k>0)绕着原点旋转，与y=x2-2|x|的图象交于A、B两点(A左B

右)，直线x=l上有一点P,在直线y=kx(k>0)旋转的过程中，是否存在某一时刻，4PAB是一个

以AB为斜边的等腰直角三角形(点P、A、B按顺时针方向排列).若存在，请求出k值；若不存

在，请说明理由.

10.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴

交于点C,顶点为D.

(1)请直接写出点A,C,D的坐标；

(2)如图(1),在x轴上找一点E,使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；

(3)如图(2),F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P,使得AAFP为等腰直角三角

形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

11.已知关于x的二次函数y=a久2+"+。(a>0)的图象经过点C(0,1),且与x轴交于不

同的两点A、B,点A的坐标是(1,0).

(1)求c的值和a，b之间的关系式;

(2)求a的取值范围；

(3)该二次函数的图象与直线y=l交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对

角线相交于点P,记△PCD的面积为Si,4PAB的面积为S2,当OVa<1时，求证：S1一S2为常

数，并求出该常数.

12.我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”.例如在二

次函数y=x2的图象上，存在一点P(-1,1),则点P为二次函数y=x2图象上的“互反点”.

(1)求一次函数y=-2x-3的“互反点”.

(2)若二次函数y=x2-(2a+l)x+a只有一个“互反点”，且与y轴交于正半轴，求当lgxW3

时，y的取值范围.

(3)若对于任意的实数n,在二次函数y=(m+1)x2+nx+n-1的图象上，恒有两个相异的“互反

点”，求m的取值范围.

13.如图1,已知抛物线L,y=ax2+bx-1.5(a>0)与x轴交于点A(-1,O)和点B,顶点为M,对称轴为

(1)直接写出点B的坐标及一元二次方程ax2+bx-1.5=0的解.

(2)求抛物线L的解析式及顶点M的坐标.

(3)如图2,设点P是抛物线L上的一个动点，将抛物线L平移.使它的项点移至点P,得到新

抛物线LTU与直线1相交于点N.设点P的横坐标为m

①当m=5时，PM与PN有怎样的数量关系？请说明理由.

②当m为大于1的任意实数时，①中的关系式还成立吗？为什么？

③是否存在这样的点P,使APMN为等边三角形？若存在.请求出点P的坐标；若不存在，请说

明理由.

14.平面直角坐标系中，抛物线C“yi=x2-2mx+2m2-I,抛物线C2：y2=x2-2nx+2n2-l,

(1)若m=2,过点A(0,7)作直线1垂直于y轴交抛物线Ci于点B、C两点.

①求BC的长；

②若抛物线C2与直线1交于点E、F两点，若EF长大于BC的长。求出n的范围；

(2)若m+n=k(k是常数),

①若加力几，试说明抛物线Ci与抛物线C2的交点始终在定直线上；

②求yi+y2的最小值(用含k的代数式表示).

15.综合与研究

如图，抛物线产-/-2尤+3与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C.点D(m,

0)为线段OA上一个动点(与点A,O不重合)，过点D作x轴的垂线与线段AC交于点P,与抛物

线交于点Q，连接BP,与y轴交于点E.

(2)当点D是OA的中点时，求线段PQ的长；

(3)在点D运动的过程中，探究下列问题：

①是否存在一点D,使得PQ+宇PC取得最大值？若存在，求此时m的值；若不存在，请说

明理由；

②连接CQ,当线段PE=CQ时;直接写出m的值.

16.已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2,顶点为A.

(1)求抛物线的表达式及顶点A的坐标；

(2)点P为抛物线对称轴上一点，联结OA、OP.

①当OA_LOP时，求OP的长；

②过点P作OP的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B,联结OB,当/OAP=NOBP时，求点B

的坐标.

答案解析部分

L【答案】(1)解：•.•函数图象与x轴的两个交点坐标为(1,0)(3,0),

•,♦方程的两个根为%1=1,X2=3

(2)解：•.•二次函数的顶点坐标为(2,2),

若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k<2

(3)解：•.•抛物线与直线y=2%-2相交于4(1,0),8(2,2)两点，

由图象可知，抛物线在直线下方时x的取值范围为：x<1或久〉2.

2.【答案】(1)Xi=1,X2=3

(2)l<x<3

(3)x>2

(4)k<2

3.【答案】(1)解：•.•抛物线C：y=mx2+4x+l经过点A(-5,6),

/.6=25m-20+1,解得m=l,

二抛物线的表达式为y=x2+4x+l=(x+2)2—3,

抛物线的顶点坐标为(-2,-3)；

(2)解：,•直线y=-x+l与直线y=x+3的交点为(-1,2),

...两直线的对称轴为直线x=-l.

•.•直线y=-x+l与直线y=x+3关于抛物线C的对称轴对称，

占=-1,解得m=2；

(3)解：抛物线C：y=mx2+4x+l(m>0)与x轴的交点的横坐标都在-1和0之间,

...当x=-l时，y>0,且AK),即

m—4+1>0

△=16-4m>0

解得3Vm*.

4.【答案】(1)解：把A(-3,O)RAy=x2+bx-3,得0=9・3b・3,解得b=2

・,・该抛物线的表达式为y=x2+2x-3

(2)解：令y=0,得0=x2+2x-3,解得xi=-3,X2=LAB(1,0).

当x=0,得y=-3,:.C(0,-3).

••SAABC=2x4x3=6

5.【答案】(1)解：・・,二次函数y=—/+2x+m的图象与x轴有两个交点，

.*.4=22+4m>0.

Am>—1.

(2)解：•・•二次函数的图象过点A(3,0),

/.0=-9+6+m.

••TTt=3•

二次函数的解析式为y=-/+2%+3.

令x=(),贝Uy=3.

...点B的坐标为(0,3).

设直线AB的解析式为y=kx+b,

.(3k+b=0

"Ib=3'

解得忆了.

直线AB的解析式为y=—x+3.

6.【答案】(1)解：根据题意得，w—(x-20)(-2x+80)=-2X2+120X-1600

=-2(x-30)2+200,

.•.当x=30时，每天的利润最大，最大利润为200元；

(2)解：令-2(x-30)2+200=150,

解得：x=35或x=25,

•••这种产品的销售价不高于每千克28元，

，x=25,

答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元

7.【答案】(1)证明：令y=0,得-2/-2bx+b2+1=0,

则4=(-2h)2+8(2)2+1)=12b2+8>0,

，方程一2%2-2bx+b2+l=o一定有两个不同实数解，

即不论b为何值，该二次函数的图象与%轴一定有两个不同的交点.

2

(2)解：Vy=-2x2—2bx+b2+1——2(%+-)24-+1，

2

.,.二次函数、=一2%2一2"+。2+1图象的顶点坐标为(_。，包+1),且开口向上，

•.•二次函数的图象与X轴恰有一个公共点，

二由题意得：¥+1=2，则匕=±导

8.【答案】(1)解：由题意得：A、B、C三点的坐标分别为：(-1,0)、(0,-3)、(4,5)；

设该二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c,

由题意得：

a—b+c=0

c=-3，

16a+4b+c=5

解得：a=l,b=-2,c=-3,

...该抛物线解析式为：y=x2-2x-3.

(2)解：由(1)知:y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

.•.该抛物线的顶点坐标为(1,-4),对称轴为x=l.

(3)解：由题意得：x2-2x-3=m,

HPx2-2x-3-m=0①，

若该方程组有两个不相等的实数根，

则必有△=(-2)2-4xlx(-3-m)>0,

解得：m>-4.

即当m>-4时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根.

9.【答案】(1)3；3；2；-l<a<0

(2)解：①设平移后的直线的解析式为y=x+l-b,观察图象可知，当直线y=x+l-b经过原点或

与抛物线y=x2+2x只有一个交点时,与y=x?-2|x|的图象有三个交点，,1-b=0,b=l,由

fv=%4-1—hr

{y_%2+2%，3消去y得至Ux?+x-l+b=0,由题意△=0,.*.1-4(-1+b)=0,b=4,综上所

述，满足条件的b的值为1或%.②如图3中，作BEJ_直线x=l于E,AFJ_直线x=l于

・・•ZAFP=ZPEB=ZAPB=90°,ZAPF+ZPAF=90°,

ZAPF+ZBPE=90°,AZPAF=ZBPE,VPA=PB,.*.△PAF^ABPE,AAF=PE,PF=BE,由

y=kxx=0x=k-

,y=o'或[y=k(k-2)'.\A|k-2,k(k-2)],由

y=x2+2x

y=kx解得胫;，x=k+2

y=x2—2x,y=k(k+2)'

，B[k+2,k(k+2)],，BE=PF=k+l,AF=PE=3-k,.*.P(1,k2-3k-1),Z.k2+2k(k2-3k-

1)=3-k,.\k=1.

10.【答案】(1)解：当y=-x2-2x+3中y=0时，有-x?-2x+3=0,

解得：Xl=-3,X2=l,

•••A在B的左侧,

r.A(-3,0),B(1,0).

当y=-x2-2x+3中x=0时，贝ijy=3,

：.C(0,3).

Vy=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

二顶点D(-1,4)

(2)解：作点C关于x轴对称的点连接C，D交x轴于点E,此时ACDE的周长最小，如图1

所示.

VC(0,3),

：.C(0,-3).

设直线C-D的解析式为y=kx+b,

则有｛解得:

l-k+b=4S=-3

・,・直线CD的解析式为y=-7x-3,

当y=-7x-3中y=0时,x=-,

.•.当^CDE的周长最小，点E的坐标为（-|,0）

（3）解：设直线AC的解析式为y=ax+c,

则有｛/r3n，解得：『=3，

I—3a+c=0=3

，直线AC的解析式为y=x+3.

假设存在，设点F（m,m+3）,

△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）:

①当/PAF=90。时，P（m,-m-3）,

•.•点P在抛物线y=-x2-2x+3上，

-m-3=-m2-2m+3,

解得：mi=-3（舍去），m2=2,

此时点P的坐标为（2,-5）；

②当NAFP=90。时，P（2m+3,0）

•.•点P在抛物线y=-x2-2x+3上，

.*.0=-（2m+3）2-2x（2m+3）+3,

解得：m3=-3（舍去），m4=-1,

此时点P的坐标为（1,0）；

③当NAPF=90。时，P（m,0）,

,/点P在抛物线y=-x2-2x+3上，

0=-m2-2m+3,

解得：m5=-3（舍去），m6=l,

此时点P的坐标为（1,0）.

综上可知：在抛物线上存在点P,使得4AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2,-5）或（1,

0).

11.【答案】(1)解：将点C(0,1)代入y=ax2+bx+c得c=1

Ay=ax2+bx+1

将点4(1，0)代入得a+b+l=0

•\b=—(a+1)；

(2)解：，・•二次函数y=ax2-(a+l)x+1的图象与x轴交于不同的两点

・•・一元二次方程a/-(a+i)x+1=0的判别式4>0

而4=[—(a+I)]2—4a=a?+2Q+1—4a=a?-2a+1=(a—1产

・・.Q的取值范围是a>0,且QWl;

(3)证明：V0<a<1

对称轴为％=-孑3=乎>1

2a2a

=2(乎-1)=-

v2aJa

把y=1代入y=ax2—(a+l)x+1得a/—(a+1)%=0

解得%1=0,X=—,：.CD=—

2Laa

-

；.S1-S2=SAPCD-^APAB=SL。SdC/lB=1xx1-ixX1=1

.•.S1—S2为常数，这个常数为1.

12.【答案】⑴解：设一次函数y=-2X-3的“互反点”为(x,-2X-3),

则：-2x-3+x=0,

解得：x=-3,

/.-2x-3=3.

・•・一次函数y=-2x-3的“互反点”为(-3,3)；

(2)解：设二次函数y=x2-(2a+l)x+a的“互反点”为(x,x2-(2a+l)x+a),

则：x2-(2a+l)x+a+x=O.

x2-2ax+a=0.

・・•二次函数y=x2-(2a+l)x+a只有一个“互反点”，

・•.△=(-2a)2-4a=0.

即：4a2-4a=0.

解得：ai=0,a2=l.

令x=0,则y=a,

；・抛物线y=x2-(2a+l)x+a与y轴交于点(0,a).

,二次函数y=x2-(2a+l)x+a与y轴交于正半轴，

Aa>0.

.\a=l.

.\y=x2-3x+l.

当x=l时，y=-1,

当x=3时，y=l.

・・・1WXW3时，y的取值范围为：-l<y<l.

(3)解：二次函数丫=(m+l)x2+nx+n-1的图象上的“互反点”为(x,(m+1)x2+nx+n-1),

贝！J：(m+1)x2+nx+n-l+x=0.

即：(m+1)x2+(n+1)x+n-1=0.

・・•二次函数y=(m+1)x2+nx+n-1的图象上，恒有两个相异的“互反点”，

.\Ai=(n+1)2-4(m+1)(n-1)>0.

/.n2-(4m+2)n+4m+5>0.

・・•对于任意的实数n,此不等式恒成立，

AA2=[-(4m+2)]2-4xlx(4m+5)<0.

A16m2+16m+4-16m-20<0,

即：m2-1<0.

解得：-lVm<L

，m的取值范围为：-IVmVl.

13.【答案】(1)解：如图1,

Vy=ax2+bx-1.5(a>0)与x轴交于点A(-1,0)和点B,对称轴为直线1：x=l,

二点A和点B关于直线1：x=l对称，

.•.点B(3,0),

一元二次方程ax2+bx-1.5=0的解为xi=-l,X2=3

(2)解：把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-1.5,

.d-b—1.5—0

得,

9a+3b—1.50

解得卜弓，

(b=-1

抛物线L的解析式为y=1x2-x-1.5,

配方得，y=J(x-1)2一2,

所以顶点M的坐标为(1,-2)

(3)解：如图2,作PCJJ于点C.

.".当m=5,即x=5时，y=6,

：.P(5,6),

,此时U的解析式为y=|(x-5)2+6,点C的坐标是(1,6).

•.•当x=l时，y=14,

...点N的坐标是(1,14).

VCM=6-(-2)=8,CN=14-6=8,

...CM=CN.

：PC垂直平分线段MN,

；.PM=PN；

②PM=PN仍然成立.

由题意有点P的坐标为(m,1.

的解析式为y=|(x-m)2+|m2-m-1.5,

...点C的坐标是(1,1m2-m-1.5),

.'.CM=m2-m-1.5+2=m2-m+i.

,在L'的解析式丫=i(x-m)2+|m2-m-1.5中，

・••当x=l时,y=m2-2m-l,

・••点N的坐标是(1,m2-2m-l),

/.CN=(m2-2m-l)-(^m2-m-1.5)=*m2-m+i,

ACM=CN.

・・・PC垂直平分线段MN,

APM=PN；

③存在这样的点P,使^PMN为等边三角形.

若巡=tan30°,则3m2-m+二字(m-1),

解得m=冬,+3,

所以点P的坐标为(等电,-1).

14.【答案】(1)解:①当m=2时,抛物线G的解析式为：yi=xMx+7,

令y=7,即x2-4x+7=7,解得xi=O,X2=4,

・・・BC的长为：4-0=4.

故答案为：4.

②抛物线C2：y2=x2-2nx+2n2-1中令y2=7,

222

即：x-2nx+2n-l=7,解得：xi=yjs-n24.n,X2=-V8-n-n，

•'•EF=2V8-n2，

VEF大于BC,

••2A/8—>4，

解得：一2<n<2,

故答案为：-2<兀<2.

(2)解：①联立抛物线Ci和C2

fy,=x2-2mx+2m2—1

即：,,

[y2=x~2nx+2Tlz_1

整理有：2(m—n)x-2(m+n)(m—n),

又mWn,.,.m—n0,等式两边同时除以m—n

.,.x=m+n=k,

故G和C2交点的横坐标是常数k,

抛物线C与抛物线C2的交点始终在定直线x=k上.

②由题意知：

yi+y2=(x2-2mx+2m2-l)+(x2-2nx+2n2-l)

=2x2-2(m+n)x+2(m2+n2)-2

=2x2-2kx+2(m2+n2)-2.

将2x2-2kx+2(m2+M)-2看成是一个新的函数用y3来表示，

即：y3=2x2-2kx+2(m2+n2)-2,

当其对称轴x=号时，y3有最小值，

将x/代入，其最小值为：_q+2(巾2+n2)_2,

又m+n=k,n=m-k,

m2+n2=m2+(m-k)2=2m2-2mk+k2,

.•.当m=当时，此时n=2，m2+M有最小值为：埠,

故一¥+2(>2+n2)—2的最小值为：我一2.

故答案为：^/c2—2.

15.【答案】(1)解:在抛物线y=-x2-2x+3中，

令y=0,解得xi=l,X2=-3,

...点A坐标为(-3,0),点B坐标为(1,0).

令x=0,解得y=3,

.••点C的坐标为(0,3)

(2)解：,,点D是OA的中点,

1R

：.OD=^OA=|,

.,.点D的坐标为(-|,0),

设的解析式为y=kx+b(kH0),将点4(一3,0),C(0,3)代入得:

{°=；3\+b,解得:(k=l

二设直线AC的解析式为y=x+3,当久=一|时，y=|,

.,.点P的坐标为(一|,|)，

在抛物线y=-/一2%+3中，当％=-|时，y=苧，

二点Q的坐标为(-恭)，

・nc1539

..PQ=yQ-yp=---=-

(3)解：①・・・D(m,0),

点P坐标为(犯m+3)，点Q坐标为(m,-/-2m4-3),

:・PQ=—m2,—2m4-3—m—3=—zn2—3m,

由・"(0,3),

；・PC=—V2m，

:・PQ+苧PC=—m2-3m—m=一(m+2)2+4(-3<m<0)，

.•.当m=-2时，PQ+^PC有最大值为4.,

②：QO〃EC,当PE=QC时，有两种情况

i.当四边形QOEC为平行四边形时，则QP=CE,如图：

VD（m,0）