第18讲 反比例函数的应用（解析版）

第18讲反比例函数的应用目标导航目标导航课程标准1.能分析实际问题中两个变量之间的关系，建立反比例函数模型，能从图像中获取信息，能用反比例函数解决简单的实际应用问题，进一步体会数形结合思想。2.能解决反比例函数图像与一次函数图象的交点问题。知识精讲知识精讲知识点01反比例函数在实际问题中的应用1．基本思路建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.2．一般步骤（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示.（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.知识点02反比例函数与一次函数图象的交点求两个函数图象的交点，即图象的公共点，往往把两个函数的表达式联立组成方程组，方程组的解就是交点的坐标。（1）正比例函数与反比例函数，当与同号时，正比例函数的图象与反比例函数的图象有两个交点，交点坐标就是它们的表达式联立组成的方程组的解，且两个函数图象的交点关于原点对称；当与异号时，两个函数的图象没有交点。（2）一次函数与反比例函数的图象的交点个数有三种情况：1个，2个，0个。因为两个函数表达式联立组成一个二元方程组，可化成一个一元二次方程，所以两个函数图象的交点个数由这个一元二次方程的判别式来决定。知识点03反比例函数在其他学科中的应用（1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；（2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；（3）在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；（4）电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.能力拓展能力拓展考法01实际问题与反比例函数【典例1】当今，各种造型的气球深受小朋友喜爱．如图1是“冰墩墩”造型的气球，气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气球体积V（m3）的反比例函数，其图象如图2所示，当气球内的气压大于200kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积V的范围为*

A．V＞0.48m3 B．V＜0.48m3 C．V≥0.48m3 D．V≤0.48m3【答案】C【解析】设P与V的函数关系式为P=，则，解得k=96，∴函数关系式为P=；当P＞200KPa时，气球将爆炸，∴P≤200，即，解得V≥0.48（m3）．故选C．【典例2】列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到（

）．A．180 B．240 C．280 D．300【答案】B【解析】解：∵从甲地驶往乙地的路程为200×3=600（km），∴汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为当t=2.5h时，即2.5=∴v=240，答：列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到240km/h．故选：B．【典例3】阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为和，∴动力关于动力臂的函数解析式为：，即，是反比例函数，故A选项符合题意．故选：A．【典例4】港珠澳大桥桥隧全长55千米，其中主桥长29.6千米，一辆汽车从主桥通过时，汽车的平均速度

v（千米/时）与时间

t（小时）的函数关系式为（

）A． B． C．v=29．6t D．【答案】D【解析】解：由主桥长29.6千米，一辆汽车从主桥通过知行驶的路程为29.6千米，得到汽车的平均速度

v（千米/时）与时间

t（小时）的函数关系式为故选：D考法02反比例函数与几何综合【典例5】如图，菱形OABC的边OC在x轴上，点B的坐标为，反比例函数经过点A，则k的值为（

）A．12 B．15 C．16 D．20【答案】A【解析】解：延长BA交y轴于点D，设，则，∴在中，由勾股定理得，解得，故点A的坐标是，得，故选：A．【即学即练】如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（）A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22【答案】D【解析】解：设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝，∴PQ＝PM+MQ＝．∵点P在反比例函数y＝的图象上，∴ab＝8．∵S△POQ＝15，∴PQ•OM＝15，∴a（b﹣）＝15．∴ab﹣k＝30．∴8﹣k＝30，解得：k＝﹣22．故选：D．【典例6】如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：设的纵坐标是，则的纵坐标也是．把代入得，，则，即的横坐标是；同理可得：的横坐标是：．则．则．故选：D．【即学即练】如图，O是坐标原点，□OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数（x＜0）的图象经过顶点B，则S□OABC的值为（

）A．27 B．15 C．12 D．无法确定【答案】B【解析】解：令y=4，得，得，∴B∵A（，4），∴AB=-3-（）=，A点到x轴的距离为4，∴，故选：B．分层提分分层提分题组A基础过关练1．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+a（a≠0）的图象与y轴交于点A．过点B（0，2a）且平行于x轴的直线与一次函数y＝x+a（a≠0）的图象、反比例函数y＝的图象分别交于点C、D．若CD＞BD，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a≥3 C．a＜0或a≥3 D．0＜a≤3【答案】C【解析】过点B（0，2a）平行于x轴的直线与反比例函数y＝的图象交于点D，∴D的纵坐标为2a，∴将纵坐标代入y＝得，x=，∴D，过点B（0，2a）且平行于x轴的直线与一次函数y＝x+a（a≠0）的图象交于点C，∴C的纵坐标为2a，∴将纵坐标代入y＝x+a得，x=a，∴C（a,2a），∴BD=,CD=，∵CD＞BD，∴,∴当时，;当时，a<0；综上所述，a<0或；故选：C．2．当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的函数，下表记录了一组实验数据：（单位：）11.522.53（单位：）96644838.432与的函数关系可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：根据题意得：，即，∴与的函数关系可能是．故选：C3．学校的自动饮水机，通电加热时水温每分钟上升，加热到时，自动停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则水温要从加热到，所需要的时间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由图可知水温要从加热到，水温与通电时间成正比例关系，关系式为，当时，．故选：C．4．已知函数与在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，由图象可知，若，则的取值范围是（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】观察图象知，不等式的解集为：或．故选：B．5．已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成如图所示的反比例函数关系，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数解析式为（

）A．y＝200x B． C．y＝100x D．【答案】D【解析】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y=，由于点（0.5，200）在此函数解析式上，∴k=0.5×200=100，∴y=，故选：D．6．为了更好地保护水资源，造福人类．某工厂计划建一个容积V（m3）一定的污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）满足关系式：V＝Sh（V≠0）．则S关于h的函数图象大致是（

）．A． B．C． D．【答案】C7．若点与在同一条双曲线上，则______．【答案】【解析】解：设反比例函数解析式为（k≠0），由点A（2，-6）可得k=xy=-12，∴，当x=3时，，即B（3，-4），故答案为：-4．8．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、两点，当时，的取值范围是__________．【答案】或【解析】解：∵A，B两点的横坐标分别为1、-3，∴当y1＞y2时x的取值范围是或，故答案为：或9．如图，P是反比例函数（x＞0）的图象上的一点，PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON＝1，一次函数y＝x＋b的图象经过点P．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)设直线y＝x＋b与x轴的交点为A，点Q在y轴上，当△QOA的面积等于矩形OMPN的面积的时，直接写出点Q的坐标．【答案】(1)，(2)(0，1)和(0，-1)【解析】(1)∵PM⊥y轴，PN⊥x轴，矩形ONPM的面积是2，ON=1，∴PM=ON=1，∴PN=OM=2，即P点坐标为(1,2)，∵反比例函数和一次函数都进过P点，∴将P点坐标分别代入得：，，∴k=2，b=1，∴反比例函数的解析式为：和一次函数；(2)将y=0代入得x=-1，∴直线与x轴的交点A的坐标为(-1,0)，∴OA=1，∵，=2，∴，∵G点在y轴上，∴OG⊥OA，即，又∵OA=1，∴OG=1，即G点到x轴的距离为1，∵G点在y轴上，∴在y轴的正半轴和负半轴各有一个满足要求的G点，∴G的坐标为：(0，1)、(0，-1)．10．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到点B，点B恰好落在反比例函数的图象上．(1)求点B的坐标．(2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求的面积．【答案】(1)点B的坐标为（3，2）(2)16【解析】(1)∵点A的坐标为（1，6），∵点B是由点A向右平移2个单位长度，向下平移a个单位长度得到，∴点B的横坐标为3，将代入中，得，∴点B的坐标为（3，2）；(2)过点B作轴交AC于点D，如图所示，由题意，可知点C与点B关于原点对称，∴点C的坐标为（－3，－2），设直线AC解析式为y=kx+b，将A、C代入得，，解得，∴直线AC的解析式为，由题意，易得点D的纵坐标为2，将代入中，得，∴点D的坐标为（－1，2），∴．题组B能力提升练1．如图，是三个反比例函数y1=，y2=，y3=在x轴上方的图象，则k1、k2、k3的大小关系为（

）A．k1>k2>k3 B．k2>k1>k3 C．k3>k2>k1 D．k3>k1>k2【答案】C【解析】解：由反比例函数的图象和性质可估算，，，在轴上任取一值且，为定值，则有，且，，，故选：C．2．在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与（k≠0）的图象大致是（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】解：①当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限，没有符合条件的选项，②当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限，故D选项的图象符合要求．故选：D．3．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，其图像经过点A（如图）．当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，该气球的体积应（

）A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于【答案】B【解析】解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P=∵图象过点（1，96）∴k=96，即P=在第一象限内，P随V的增大而减小，∴当P≤144时，V≥．故选：B．4．如图，直线与反比例函数相交于点A(－1，m)，B(5，n)．则不等式的解是（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】∵一次函数与反比例函数交于A(-1,m)、B(5,n)两点，又∵不等式的含义是坐标系中反比例函数图象在一次函数图象上方时x的取值范围，∴根据函数图象可得不等式的解集为：或者，故选：B．5．在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点在其图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是（

）A．2.4m B．1.2m C．1m D．0.5m【答案】B【解析】解：设函数的表达式F=，将点P的坐标代入上式得：3=，解得k=12，则反比例函数表达式为F=，当F=10时，即F==10，解得s=1.2（m），故选：B．6．某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：依题意，得：平均每人拥有绿地．故选：C7．在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数（x＞0）的图像经过A和B两点其中A（2，4），且点B的纵坐标为n，则n＝______．【答案】2【解析】解：如图：过A作AC⊥y轴，垂足为C，作BD⊥AC，垂足为D，∵∠BAO＝90°，∴∠OAC+∠BAD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAO，∵∠D＝∠ACO＝90°，AO＝AB，∴△ACO≌△DAB（AAS），∴AD＝CO，BD＝AC，∵A（2，4），∴OC＝AD＝4，AC＝BD＝2．∴n＝4﹣2＝2，故答案为：2．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图像经过点C，E．若点，则k的值是_________．【答案】4【解析】作CF垂直y轴于点F，如图，设点B的坐标为(0，a)，∵四边形是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵∠OBA+∠OAB=∠OBA+∠FBC=90°∴∠OAB=∠FBC在△BFC和△AOB中∴∴BF=AO=3，CF=OB=a∴OF=OB+BF=3+a∴点C的坐标为(a，3+a)∵点E是正方形对角线交点，∴点E是AC中点，∴点E的坐标为∵反比例函数的图象经过点C，E∴解得：k=4故答案为：49．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，二氧化碳的密度也会随之改变，密度（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示．(1)求与V之间的函数关系式：(2)求当m3时二氧化碳的密度．【答案】(1)(2)1kg/m3【解析】（1）解：设密度与体积V的反比例函数关系式为，把点代人解，得，∴与V的反比例函数关系式为．（2）解：当v=10m3时，P==1(kg/m3)，∴当V=10m3时二氧化碳的密度为1kg/m3．10．近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的眼镜．近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的关系式为y＝．(1)上述问题中，当x的值增大，y的值随之_______（填“增大”“减小”或“不变”）；(2)根据y与x的关系式补全下表：焦距x/m0.10.2……度数y/度1000400……(3)小明原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4m，则小明的眼镜度数下降了多少度？【答案】(1)减小(2)0.25；500(3)小明的眼镜度数下降了150度【解析】(1)∵y＝是反比例函数，系数k=100>0，函数图像在第一、三象限，∴当x＞0时，函数值随x的增大而减小，故答案为：减小；(2)当x=0.2时，y＝=500；当y=400时，，所以补全表格如下：焦距0.10.20.25…度数y度1000500400…(3)将代入，得．度．答：小明的眼镜度数下降了150度．题组C培优拔尖练1．已知反比例函数y＝（k≠0）的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减少，则一次函数y＝－kx＋k的图象经过（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限【答案】C【解析】解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减少，∴k＞0，∴，∴一次函数y=-kx+k的图象经过第一、二、四象限．故选：C．2．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（

）A．4月份的利润为50万元B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元D．9月份该厂利润达到200万元【答案】C【解析】A、设反比例函数的解析式为，把(1,200)代入得，k＝200，∴反比例函数的解析式为：，当x＝4时，y＝50，∴4月份的利润为50万元，正确意；B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确；C、当y＝100时，则，解得：x＝2，则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确．D、设一次函数解析式为：y＝kx＋b，则，解得：，故一次函数解析式为：y＝30x−70，故y＝200时，200＝30x−70，解得：x＝9，则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确．故选：C．3．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数的图象上．已知点B的坐标是，则k的值为（）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】C【解析】解：如图，过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝90°，∵∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∵正方形的边长为2，B（，），∴BE，AE，∴OF＝OE+AE+AF5，∴点D的坐标为（，5），∵顶点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，∴k＝xy5＝8．故选：C．4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的对称中心恰好是原点O，已知点B坐标是，双曲线y=经过点A，则菱形ABCD的面积是()A．9 B．18 C． D．25【答案】C【解析】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BG⊥AE于G，交y轴于点F，如图，∵双曲线y=经过点A，∴设，则OE=m，．∵点B坐标是，∴BF=2，OF=．∴GE=OF=，，BG=m+2．∵菱形ABCD的对称中心恰好是原点O，∴AO=CO，BO=DO，AO⊥BO．由勾股定理可得：OB2+OA2=AB2．∴BF2+OF2+AE2+OE2=AG2+BG2．即：，得，解得：或(舍去)．∴，．∴．∴AC=2OA=5．∵，∴BD=2OB=5．∴．故选：C．5．已知反比例函数y=和正比例函数y=的图像交于点M，N，动点P(m，0)在x轴上.若△PMN为锐角三角形，则m的取值为(

)A．-2＜m＜且m≠0 B．-＜m＜且m≠0C．-＜m＜-或＜m＜ D．-2＜m＜-或＜m＜2【答案】C【解析】解：正比例函数解析式与反比例函数解析式组成方程组，即，解得，，假设M(2,1)，N(-2,-1)，当时，∵，，，∴，∴，，当时，,∴，当时，,∴，综上，或．故选C6．如图，△OAB，，，…，都是等边三角形，顶点A，，，…，在反比例函数的图象上，则的横坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点A1作A1D⊥x轴于点D，过点A2作A2E⊥x轴于点E，是等边三角形，，，设OC的长度为t，则A的坐标为，把A代入得，解得（舍去），，，设BD的长度为m，同理得到，则的坐标为，把代入得，解得（舍去），，，设的长度为n，同理得到，则的坐标为，把代入得，解得（舍去），，，综上可得：的横坐标为．故选D．7．如图，△OAB，△BA1B1都是等边三角形，顶点A，A1在反比例函数的图象上，则B、B1的坐标分别是______，______．【答案】

B（2，0）

B1（）【解析】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点A1作A1D⊥x轴于点D，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOC=60°，OC=BC，∴AC=OC，设OC的长度为t，则A的坐标为（t，t），把A（t，t）代入(x＞0)得解得t=1或t=-1（舍去），∴OB=2OC=2，∴B（2，0），设BD的长度为m，同理得到A1D=m，则A1的坐标表示为（2+m，m），把A1（2+m，m）代入(x＞0)得（2+m）×m=，解得m=或m=-（舍去），∴BD=，BB1=2，OB1=2+2-2=2，∴B1（），故答案为：（2，0），（）．8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是反比例函数（，k为常数）的图像上两点（点A在第一象限，点B在第三象限），线段交x轴于点C，若，的面积分别为：和，则______________．【答案】12【解析】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示：∵，，∴，设点A的纵坐标为，则点B