函数的零点与方程的解 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1函数的零点与方程的解1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间3.能借助函数单调性及图象判断零点个数01新课导入引语：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座.虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.约公元50~100年编成的《九章算术》给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求解方法.公元50年—100年一次方程、二次方程和三次方程根7世纪·隋唐·王孝通三次方程正根数值解法11世纪·北宋·贾宪三次或三次以上方程13世纪·南宋秦九韶任意次代数方程正根解法1541年·意大利塔尔塔利亚1802～1829挪威·阿贝尔9世纪·阿拉伯花拉子米1545年·意大利卡尔达诺一次方程、二次方程的一般解法三次方程一般解法证明了五次以上一般方程没有求根公式记载了费拉里的四次方程一般解法方程解法时间图·中国和西方02知识探究

上述问题的求解体现了一元二次方程的实数根与相应二次函数怎样的关系？一元二次方程的实数根就是二次函数的零点

上述定义蕴含了怎样的等价关系？方程f(x)=0有实数解

方程f(x)=0有实数解

思考1：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点？0yx“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可思考2：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点？0yx

函数零点存在定理思考3：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间(a,b)内有零点，是否一定有f(a)f(b)<0？xy0在给定区间[a,b]上连续f(a)f(b)<0函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点充分不必要0yx思考4：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，但是否只有一个零点呢？函数零点存在定理可以证明函数有零点，但不能判定零点的个数.03当堂检测

探究点一求函数的零点

探究点一求函数的零点［素养小结］函数零点的常用求法

探究点二探求函数零点所在区间

C

探究点二探求函数零点所在区间

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11.251.522.25

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0.985.398.24

B

探究点二探求函数零点所在区间［素养小结］判断函数零点所在区间的方法:将区间端点值代入函数解析式求出函数值,进行符号判断即可得出结论.此类问题的难点往往是函数值符号的判断,对此可运用函数的有关性质进行判断.探究点三函数零点个数的有关问题角度一

确定函数零点个数

探究点三函数零点个数的有关问题

（2）判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式法来确定根的个数.（3）图象法:将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题,可用图象法解决.（4）单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函数,那么函数在所给区间上只有一个零点.探究点三函数零点个数的有关问题角度二

由零点个数求参数

D

探究点三函数零点个数的有关问题

探究点三函数零点个数的有关问题

探究点三函数零点个数的有关问题探究点三函数零点个数的有关问题［素养小结］解此类题