2022年湖北省黄冈市罗田县高考仿真模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线QX+勿+J五石=（）（〃b>0）与圆X?+y，=1的位置关系是（）

A,相交B.相切C.相离D,相交或相切

22

2.双曲线C：=_[=]（。>0,b>0）的离心率是3,焦点到渐近线的距离为0,则双曲线C的焦距为（）

crb~

A.3B.3A/2C.6D.65/2

3.已知非零向量方,5满足同=胭，若I石夹角的余弦值为且他-24_1_（3万+6），则实数X的值为（）

4.已知定义在R上的函数“X）满足〃x）=f（—x）,且在（0,+8）上是增函数，不等式〃6+2）4/（—1）对于

xw[1,2]恒成立，则。的取值范围是

D.[0,1]

5.已知复数Z=JG，则复数z的虚部为（

)

3+4]

4444

A.-B.一一（—iD.——

5555

6.已知椭圆C:——+与=1,直线4：，％+y+3，〃=0与直线4：x-,〃y-3=0相交于点P,且P点在椭圆内恒成立,

a+9a

则椭圆C的离心率取值范围为（）

2x+y-2<Q

7.已知满足不等式组，x-2y-lW0,则点尸（x,y）所在区域的面积是（）

x>0

54

A.1B.2C.-D.-

45

8.已知AA8C中，角A、3所对的边分别是b,贝是“A>的（)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充分必要条件

9.抛物线--；=-的焦点-是双曲线_：_：的右焦点，点-是曲线--的交点，点-在抛物

一-一，一-二；：=_=/（0＜二----

线的准线上，二二二二是以点二为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线二.的离心率为（）

CD

A-、，2+/B.2V2+3-2V,70-3-2X10+3

10.在的展开式中，/的系数为（）

2x

A.-120B.120C.-15D.15

11.若点（2,k）到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k的值是（）

-5-17

A.1B.-3C.1或一D.-3或一

33

12.若函数f（x）=Asin（0x+。）（其中A＞0,I夕|＜］）图象的一个对称中心为（?，0）,其相邻一条对称轴方程为

7万

%=—,该对称轴处所对应的函数值为-1,为了得到g（x）=cos2x的图象，则只要将/（X）的图象（）

A.向右平移?个单位长度B.向左平移三个单位长度

612

C.向左平移2个单位长度D.向右平移卷个单位长度

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在平面直角坐标系中，曲线y=e'在点?（/，/。处的切线与工轴相交于点人，其中e为自然对数的底数.

若点3（玉＞，0）,APA3的面积为3,则/的值是.

14.学校艺术节对同一类的A，B,C,。四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同

学对这四项参赛作品预测如下：

甲说：“C或。作品获得一等奖”；乙说：“8作品获得一等奖”；

丙说：“A,O两项作品未获得一等奖”；丁说：“C作品获得一等奖”.

若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是.

15.已知平面向量”，5的夹角为（，£=（百,1）,且|£-向=百，贝!J|B|=一

16.已知向量满足£$=一1,a«2a-B）=3,则卜卜.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知抛物线G：y2=2px（〃＞0）上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4.

(1)求P的值；

(2)设2(%,%)(0</〈2)为抛物线G上的动点，过尸作圆(x+iy+y2=l的两条切线分别与y轴交于A、B

两点.求|A8|的取值范围.

2

18.(12分)已知函数〃x)=0,

(1)求函数/(%)的单调区间；

4尤2

(2)当0<，〃〈/时，判断函数g(x)=\—加，(x>0)有几个零点，并证明你的结论；

(3)设函数/z(x)=；x--+/(x)x---/(x)-ex2,若函数/z(x)在(O,+8)为增函数，求实数C的取值

乙X/X

范围.

19.(12分)在AABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b>c,且cos2C+3cosc-1=0.

(1)求角。的大小；

(2)若b=3a,AABC1的面积为GsinAsinB,求sinA及c的值.

20.(12分)设数列｛4｝,也“｝的各项都是正数，S“为数列｛a,,｝的前"项和，且对任意〃eN*,都有=2S“-a”，

b、=e,bn+t=b;,cn=an-Inbn(e是自然对数的底数)•

(D求数列｛a,,｝,｛勿｝的通项公式；

(2)求数列｛c.｝的前〃项和7；.

21.(12分)如图，在四棱柱A5C0-A4GA中，底面ABC。是正方形，平面_L平面ABC。，AD=\,

A4,=也.过顶点。，4的平面与棱8C,42分别交于M，N两点.

(I)求证：AD±DB］；

(n)求证：四边形DMB、N是平行四边形；

(ni)若4。，co,试判断二面角。一加4一c的大小能否为45。？说明理由.

22.(10分)已知数列｛q｝的前〃项和为s“，且满足q=—1,4>0(〃22),S“="一向一加一1，〃wN*,各项均为正

6

数的等比数列｛〃｝满足4=々也=%

(1)求数列｛%｝,｛%｝的通项公式；

(2)若c“=ga”也,,求数列｛c'｝的前”项和7；

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论.

【详解】

解：由题意，圆f+y2=i的圆心为0(0,0),半径厂=1,

•.•圆心到直线的距离为d=1型=

Qc/2+b~>2ab»

：.d<\,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题.

2.A

【解析】

根据焦点到渐近线的距离，可得。，然后根据一/"=£,可得结果.

a

【详解】

由题可知：双曲线的渐近线方程为陵±ay=O

取右焦点F（c,O）,一条渐近线/：法一ay=0

则点尸至心的距离为J'd,=g,由〃+〃2=。2

ylb2+a2

所以匕=J5，则c2—/=2

▽C二C22c2

又一=3=>—7=9=>矿=——

aa29

M3

所以c?=2=>c——

92

所以焦距为：2c=3

故选：A

【点睛】

本题考查双曲线渐近线方程，以及七c、,e之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为匕，属基础题.

3.D

【解析】

根据向量垂直则数量积为零，结合同=4忖以及夹角的余弦值，即可求得参数值.

【详解】

依题意，得（不一25卜（3日+5）=0,即3同2一5少.5一2忖2=0.

将同=/1同代入可得,1822-192-12=0,

解得力=—3(丸=一4三舍去).

29

故选：D.

【点睛】

本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.

4.A

【解析】

根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(y),0)上是减函数，由此可将不等式化为-1«幺+241；利用分

3131

离变量法可得-34a4-上，求得一二的最大值和--的最小值即可得到结果.

XXXX

【详解】

“X)=/(—x).-./(X)为定义在R上的偶函数，图象关于)’轴对称

又/(x)在(0,+8)上是增函数.••/(X)在(-8,0)上是减函数

,.,/(tzx+2)</(-I).,.|ca+2|<l,即一lKax+2Wl

31

・・・一1〈以+2<1对于工£［1,2］恒成立.•・一嚏三a〈一提在［1,2］上恒成立

3「3

---<a<—\,即。的取值范围为：-彳,-1

2L2

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单

调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.

5.B

【解析】

利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出

【详解】

一5_5(3-4z).34.

Z-3+4/-(3+4z)(3-4z)-5

4

则复数z的虚部为

故选：B.

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

6.A

【解析】

先求得椭圆焦点坐标，判断出直线4,4过椭圆的焦点.然后判断出44,判断出。点的轨迹方程，根据P恒在椭圆内

列不等式，化简后求得离心率e的取值范围.

【详解】

设耳（―c,0），E（c,0）是椭圆的焦点，所以k=片+9一Q2=9,C=3.直线4过点打（—3,0）,直线过点名（3,0）,由

于加xi+ix（_〃2）=o,所以41/2,所以P点的轨迹是以耳，工为直径的圆f+y2=9.由于P点在椭圆内恒成立,

a

所以椭圆的短轴大于3,即/斤=9,所以"9>18,所以双曲线的离心率心不e|0，-I，所以

I2)

故选：A

【点睛】

本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.

7.C

【解析】

画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.

【详解】

不等式表示的平面区域如图:

y

直线2x+y-2=0的斜率为一2,直线％-2丁-1的斜率为一，所以两直线垂直，故ABCD为直角三角形，易得8(1,0),

2

0(0,—g)，C(0,2),忸£)|=孝，|BC|=若所以阴影部分面积SA8°=g|BD|♦忸=

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.

8.D

【解析】

由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】

AABC中，角A、3所对的边分别是。、b,由大边对大角定理知“。>力”="A>3”，

因此，“a>b”是“A>3”的充分必要条件.

故选：D.

【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题.

9.A

【解析】

先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可求得离心

率.

【详解】

由题意知，抛物线焦点二｛joy准线与x轴交点二双曲线半焦距二=.；,设点二二)二二二二是以点二为直角

顶点的等腰直角三角形，即二二|=|二二|，结合二点在抛物线上，

所以--抛物线的准线，从而--工-轴，所以

即——v2—1

故双曲线的离心率为

匚=-27=。+，

故选A

【点睛】

本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.

10.C

【解析】

写出(X—」-严展开式的通项公式(M=C：o(—令10-2r=4,即厂=3,则可求系数.

2x2

【详解】

(X-」-尸的展开式的通项公式为&i=C；o产-「(--S-ynCM-Lyxa",令1()一2r=4,即r=3时，系数为

2x2x2

Go(-|)3=-15.故选C

【点睛】

本题考查二项式展开的通项公式，属基础题.

11.D

【解析】

12x5-12^+61

由题得%+(72)2=4,解方程即得k的值.

【详解】

|2x5-⑵+(

由题得/,,4,解方程即得k=-3或彳.

752+(-12)2

故答案为：D

【点睛】

(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点P(5,%)到直线

l:Ax+By+C^0的距离d=的+叫+C|.

■VA2+B2

12.B

【解析】

由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出由五点法作图求出0的值，可得/(x)的解析式，再根据函数

y=Asin(ox+。)的图象变换规律，诱导公式，得出结论.

【详解】

根据已知函数/(x)=Asin(&x+°)

（其中A>0,的图象过点除,oj,

—124]兀冗

可得A=l,7=—~~7T9

4CD123

解得：a）=2.

再根据五点法作图可得2・1+°=万，

可得：。=鼻，

可得函数解析式为：/（x）=sin（2x+?）.

故把/（x）=sin（2x+?J的图象向左平移忘个单位长度，

（冗冗\

可得y=sin[2x+1+wJ=cos2x的图象，

故选B.

【点睛】

本题主要考查由函数y=Asin（5+0）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出4,由周期求出。，由五

点法作图求出。的值，函数y=Asin（5+。）的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.In6

【解析】

对^=/求导，再根据点p的坐标可得切线方程，令y=0,可得点A横坐标，由AE4B的面积为3,求解即得.

【详解】

由题，•.•>'=],.••切线斜率左=*，则切线方程为y-*=/°（%一/），令y=0,解得又A/AB的

面积为3,=gxlxe须=3,解得

故答案为：In6

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的切线，难度不大.

14.B

【解析】

首先根据“学校艺术节对A、B、a。四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设A、B、C、。分别为一等奖，然后判

断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果.

【详解】

若A为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；

若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；

若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；

若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；

综上所述，故B获得一等奖.

【点睛】

本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设

A、B、a。为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确.

15.1

【解析】

根据平面向量模的定义先由坐标求得口，再根据平面向量数量积定义求得75；将，-彳化简并代入即可求得|加.

【详解】

£=（G,i）,则问==2,

平面向量3,B的夹角为三,则由平面向量数量积定义可得75=阳张0$5=2*忖卜9跖

根据平面向量模的求法可知忖-0=Ja-2a-b+b=百，

代入可得,4一2恸+好=6，

解得忖=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了平面向量模的求法及简单应用，平面向量数量积的定义及运算，属于基础题.

16.1

【解析】

首先根据向量的数量积的运算律求出a2＞再根据问=7?计算可得；

【详解】

解：因为a・（2a—B）=3,

所以23一£石=3

又4石=-1

所以片=1

所以卜，=J丁=1

故答案为：1

【点睛】

本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1），=2；（2）0<|AB|<2

【解析】

（1）根据横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4,由抛物线的定义得到3+'=4求解.

2

（2）设过点*40，%）的直线方程为卜%=乂%一%），根据直线与圆（X+1）2+回=1相切,则有尻-+卜=1,

〃+1

整理得：（玉：+2工0*-2%（/+1）攵+（%2-1）=0，根据题意4（0,为一左吊）,3（0,%-30），建立

|A网=|匕一周/=X。［（匕+&）2—4%他，将韦达定理代入求解.

【详解】

（1）因为横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4,

由抛物线的定义得：3+2=4,

2

解得:P=2.

(2)设过点p(x0,%)的直线方程为y-y0=k(x-x0),

因为直线与圆(x+1)2+y2=l相切，

所以1%餐1)1=],

222

整理得：(x0+2x0)Zr-2y0(%0+1)/r+(y0-1)=0,

《+&=2"：+1)就.右=生1_,

%+2x0/+2x°

由题意得：

A(0,-k}x(}),B(0,y0-k2x^)

所以MH=%-图与=入0+&)2-4桃2，2国+k+分=21—8+^^+i

\"。+2)-V(%+2)-(/+2)

因为0</<2,

111

所以——-----<一«

加以4/+22

所以0<|A6|42.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义及点与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

18.(1)单调增区间(0,2),单调减区间为(F,0),(2,”)；(2)有2个零点，证明见解析；⑶c<-^y

【解析】

(1)对函数“X)求导，利用导数f(X)的正负判断函数/(x)的单调区间即可;

2

(2)函数g(x)=5-(x20)有2个零点.根据函数的零点存在性定理即可证明;

[丫2]

(3)记函数F(x)=/(x)—(x—与='一x+±,x〉0,求导后利用单调性求得尸⑴•尸⑵<0,由零点存在性定理及单

xexx

调性知存在唯一的占6(1,2),使/(%)=0,求得〃(6为分段函数,求导后分情况讨论：①当尤>天时，利用函数的单

调性将问题转化为的问题;②当时，当时,在上恒成立，从而求得的取

2c<u(x)n.n0<x<x°cWO“(X)>0(0,%)c

值范围.

【详解】

(1)由题意知,/(九)=半==四?也，列表如下：

GAe*

X(-8,0)0(0,2)2(2,+oo)

/‘(X)—0+0—

/(x)极小值T极大值

所以函数/(x)的单调增区间为(0,2),单调减区间为(―,0),(2,-8).

x

(2)函数g(x)='-肛(xNO)有2个零点.证明如下:

ex

44

因为0＜F时，所以g(2)=r—〃z＞0,

ee~

因为g(x)=x(j：x)，所以g(x)＞()在(0,2)恒成立,g(x)在(0,2)上单调递增,

由g(2)〉0,g(0)=-加＜0,且g(x)在(0,2)上单调递增且连续知，

函数g(x)在(0,2)上仅有一个零点，

由⑴可得x»0时,“到"(2)=/(尤)2,

V24

即上＜三＜1,故x20时，炉＞/,

m

由e，＞\得e套〉色,平方得虚＞£,所以g(T)＜。,

mm~7m

因为g'(x)=M：x),所以g(x)＜0在(2,+x))上恒成立，

44

所以函数g(x)在(2,”)上单调递减，因为0＜加＜/,所以苏＞2,

由g(2)＞0,g(-^)＜0,且g(x)在(2,+s)上单调递减且连续得

g(x)在(2,故)上仅有一个零点，

2

综上可知：函数g(x)=——%"(x20)有2个零点.

ex

1x11

(3)记函数尸(x)=/(x)—(x—上)=二—x+L,x＞0,下面考察尸(x)的符号.

xe'x

求导得/。)=对二D—1—二,为＞o.

ex-

当x22时F'(x)＜0恒成立.

当0vxv2时，因为<(2—x)K［二+(；一义产二］,

所以F,(X)=M2X)_］__<A--1一一y<1-1一一y=一-y<0・

exe无~尤-x~

：.尸")<。在(0,+8)上恒成立，故尸(X)在(0,+8)上单调递减.

143

VF(l)=->0,F(2)=—<0,AF(l)-F(2)<0,又因为尸(x)在［1,2］上连续,

ee2

所以由函数的零点存在性定理得存在唯一的x0£(L2),使/(%)=0,

:.xe(0,x0),F(x)>0;xe(x0,+oo),F(x)<0,

2

x---cx,0<x<x0

x

因为归⑺I=，所以〃(x)=,

X22

~~cx,X>X。

1H—z—2cx,0<xW/

x

/.hf(x)=<

x(2-x)

------2CX,X>X

eQ

因为函数〃(X)在(0,+8)上单调递增，/(x0)=Xo—L—三=0,

犬0e

所以"(x)20在(0,%),(X。,+8)上恒成立.

无(2—无)2—x

①当X>X0时，<：2cx20在(X。,+℃)上恒成立,即2c4一在(X。,+00)上恒成立.

ee

2—xx-3

记a(x)=—―，1〉毛),贝ij/f(x)=——,x>x,

ee0

当x变化时，a'(x),"(x)变化情况如下表:

X(%,3)3(3,+8)

ur(x)—0+

u(x)极小值T

"(X)min=必(%)按〃'="O=—/»

故2c<"(X)min=一,，即CW-**

②当O<x<Xo时，h'(x)=l+--2cx,当cWO时，"0)>0在(0,%)上恒成立.

综合(1)(2)知，实数c的取值范围是c<——

2e3

【点睛】

本题考查利用导数求函数的单调区间、极值、最值和利用零点存在性定理判断函数零点个数、利用分离参数法求参数

的取值范围;考查转化与化归能力、逻辑推理能力、运算求解能力;通过构造函数尸(x),利用零点存在性定理判断其零

点,从而求出函数/?(x)的表达式是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.

19.(1)C=1(2)sinA=;c-^3

314

【解析】

(1)由cos2c=2cos2CT代入cos2C+3cosc-1=0中计算即可；

(2)由余弦定理可得°=将。，所以sinA=\sinC,由S&BC=C=GsinAsin8,变形即可得到答案.

【详解】

(1)因为cos2C+3cosc-1=0,可得：2cos2。+3cosc-2=0，

/.cosC=—,或cosC=-2(舍)，V0<C<»

2

：.C=~.

3

(2)由余弦定理。2=片+〃一2他cosC=3a2+2/=74,

得C=y/la

所以sinC=y/1sinA>

”.l.「后

wLsinA-—^sinC-----,

V714

又S0BC=g。加由C=6sinAsin8,ZC=~

所以，———==4,

sinAsinB(sinCj

所以c-y/3•

【点睛】

本题考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.

20.(1)an=n,(2)Tn=(n-l)-2"+\

【解析】

(1)当〃22时,=2S„_,-，与4=2s“一/作差可得an-《I=1(〃>2)，即可得到数列｛«„｝是首项为1,公差

为1的等差数列，即可求解；对。用=£取自然对数，则Ind.=21n〃,,即｛In%｝是以1为首项，以2为公比的等比数列,

即可求解；

(2)由(1)可得。“=。“1112=〃-2"，再利用错位相减法求解即可.

【详解】

解：(1)因为。“>0,a；=2S“-%©

当〃=1时=2S1-,解得4=1；

当〃22时，有=2S,i-a,-,②

由①一②得，|一<,=2(5“—5,1)-(4—%)=4+4T(n>2),

又4>0,所以a„-an_x=1(〃>2),

即数列｛4｝是首项为1,公差为1的等差数列，故a„=n,

♦Inbt.公

又因为2M=b；，且bn>0,取自然对数得In勿+1=2In包,所以萨=2,

又因为In仇=lne=l,

所以｛ln〃｝是以1为首项，以2为公比的等比数列，

所以ln2=2"T,即d=e*

(2)由(1)知,c〃=a“ln"=〃-2"T,

所以7；=lxl+2x(2)1+3x(2f+…+(〃一1)x(2)n-2+〃x(2)n-1

2x7；,=1x(2)'+2x(2)2+3x(2)3+---+(/?-l)x(2)n_|+z2x(2),,,@

③减去④得:一(=1+2+2之+…+2'T一〃x2"

1(2"-1)/、

=」-----^一"2"=2"-1一〃x2"=(l-〃)2"-1，

2-1、7

所以

【点睛】

本题考查由明与s”的关系求通项公式，考查错位相减法求数列的和.

21.(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)不能为45°.

【解析】

(1)由平面_L平面ABC。，可得AO,平面从而证明AD_L£>耳；

(2)由平面A3CD与平面A3CD没有交点，可