2023年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）

2023年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设全集U={123,4,5,6,7,8},4n={1,3},QQ4U8）={2,4},则集合8为（）

A.{135,6,7,8}B.{2,456,7,8}C.{5,6,7,8}D.［1,2,3,4}

2.棣莫弗公式上（cos。+is）0）］n=rHcosn。+（i是虚数单位，r>0）是由法国数

学家棣莫弗（1667-1754）发现的.根据棣莫弗公式，在复平面内的复数［2（cos：+is讥》产对

应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在“万众创业”的大背景下，“直播电商”已经成为我国当前经济发展的新增长点，已

知某电商平台的直播间经营化妆品和食品两大类商品，2022年前三个季度，该直播间每个季

度的收入都比上一个季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则（）

A.该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍

B.该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的6倍

C.该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍

D.该直播间第三季度食品收入低于前两个季度的食品收入之和

4.函数/（X）=xsinx-妥在（一兀,0）U（0,兀）上的图像大致为（）

5.九连环是中国杰出的益智游戏，九连环由9个相互连接的环组成，这9个环套在一个中空

的长形柄中，九连环的玩法就是要将这9个环从柄上解下来（或套上），规则如下：如果要解下

（或套上）第n环，则第n-1号环必须解下（或套上）,n-1往前的都要解下（或套上）才能实现.记

解下n连环所需的最少移动步数为On，已知的=1,a2=2,an=+2an-2+1（九23）,

若要解下7环最少需要移动圆环步数为（）

A.42B.85C.170D.341

6.下列选项中，命题p是命题q的充要条件的是（）

A.在△4BC中，p：A>B,q：sinA>sinB

B.已知x,y是两个实数，p：%2—2%—3<0,q：0<x<2

C.对于两个实数x,y,p：x+y8,q：x#3或y力5

2

D.两条直线方程分别是ax+2y+6=0,l2：%+（a—l）y+a—1=0,p：，i〃，2，q：

a=2或-1

7.记函数/'（x）=sin（3X+R）（3>0,0<<5）的最小正周期为7.若/⑺=三，x屋为

/（%）的零点，则3的最小值为（）

A.2B.3C.4D.6

8.四叶草曲线是数学中的一种曲线，因形似花瓣，又被称为四叶玫瑰线（如右图），其方程为

（x2+y2y=8x2y2,玫瑰线在几何学、数学、物理学等领域中有广泛应用.例如，它可以用

于制作精美的图案、绘制图像、描述物体运动的轨迹等等.根据方程和图象，给出如下4条性

质，其中错误的是（）

A.四叶草曲线方程是偶函数，也是奇函数

B.曲线上两点之间的最大距离为2，7

C.曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数的点）

D.四个叶片围成的区域面积小于27r

9.在^ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知ccosB+bcosC=2acosA,a=2,

△ABC的面积为一?,则△ABC的周长是（）

A.4B.6C.8D.18

10.如图所示，在长方体4BCD-4当小/中，点E是棱CG

上的一个动点，若平面BED1与棱A4i交于点凡给出下列命

题：

①四棱锥为-BED/的体积恒为定值；

②直线。1E与直线DC交于点P,直线DiF与直线D4交于点Q,

则P、B、Q三点共线；

③当截面四边形BEDiF的周长取得最小值时，满足条件的点

E至少有两个；

④M为底面ABC。对角线4C和BD的交点，在棱DD】上存在点H,使〃平面

其中真命题是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

11.已知a=1+tan（-0.2）,b=ln0.8e,c=去，其中e为自然对数的底数，则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

12.初中时代我们就说反比例函数y=g的图像是双曲线，建立适当的平面直角坐标系可以

求得这个双曲线的标准方程，比如，把y=4勺图象顺时针旋转3可以得到双曲线1.已

知函数y=?x+手，在适当的平面直角坐标系中，其标准方程可能是（）

A.日上=1B.T5-4=lC.J任=1D.#—日=1

12414y4121414

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知向量五=（2,0）,b=（%,2仁），且五与8的夹角为竽，则x=.

6

14.己知（X-1）6=劭+%（1+X）+&2（1+X）2■）--Fa6（l+X）,则。4=

15.一个三棱锥的三视图，如图所示，则该三棱锥的外接球的体积为.

州视图

16.已知抛物线C：/=2py（p>0）,焦点为F,过点p）作抛物线C的两条切线,

切点分别是4,B,已知线段4B的中点N（x（）,6）,则|4用・|8用的值是.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12.0分）

①函数f。)对任意xeR有/(%)+/(I-x)=1,数列｛即｝满足=f(0)+/(；)+f($+…+

n—1.•4

/(k)+〃1)，令b

②数列｛即｝中，已知％=对任意的p,qeN*都有cip+q=ap+aq,令%=

在①、②中选取一个作为条件，求解如下问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个

解答计分）

（1）数列是等差数列吗？请给予证明.

（2）设乙=瓦+尻+•••+%，Mn=8—3，试比较7；与网通大小.

18.（本小题12.0分）

2022年中国新能源汽车销售继续蝉联全球第一，以生产充电电池起家的比亚迪在2002年才进

入汽车行业，2022年2月已成为全球唯一一家同时掌握电池、电机、电控芯片、整车制造等

全产业链核心技术的新能源汽车厂商，成为新能源汽车(纯电动和插电式混动)的销量冠军，

在中国新能源汽车的总销量中占比约为§2022年4月3日，比亚迪宣布停止纯燃油汽车的整车

生产，成了全球首家“断油”的企业，为了解中国新能源车的销售情况，随机调查10000辆

新能源汽车的销售价格，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)求a的值，并求出中国新能源车的销售价格的平均数、众数、中位数；

(2)若从新能源车中随机的抽出3辆，设这3辆新能源车中比亚迪汽车的数量为X,求X的分布

列与数学期望，并解释此期望值的含义.

19.(本小题12.0分)

已知AABC为等边三角形，其边长为4,点。为边4C的中点，点E在边4B上，并同

将44CE沿QE折起至A'DE.

(1)证明：平面4BE1平面BCDE；

(2)当平面4DE与平面BCDE成直二面角时，在线段BC上是否存在一点P,使得平面4PD和平

面4BE所成二面角的正切值为，石，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.

20.(本小题12.0分)

已知函数/'(%)=ex,g(x)=a(x2—x)(aeR).

(1)在当a=-1时，分别求/(%)和g(x)过点(0,0)的切线方程；

(2)若+g(x)-cosxN0,求a的取值范围.

21.(本小题12.0分)

已知椭圆E：真+5=l(a>b>0)的离心率为T，其左、右顶点分别为4B,左右焦点为&,

尸2，点P为椭圆上异于48的动点，且APF1F2的面积最大值为，百

(1)求椭圆E的方程及的值(七4、kps分别指直线P4PB的斜率)

(2)设动直线E交椭圆E于M,N两点,记直线AM的斜率为右，直线BN的斜率为后，且储

①求证：直线MN过定点

②设△力MN、△BMN的面积分别为Si，S2,求用一52|的取值范围.

22.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系中，曲线G的参数方程为C为参数)，以坐标原点为极点，x轴

正半轴为极轴建立极坐标系.曲线。2的方程为p(l-SiM。)=1

(1)求曲线Ci的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；

(2)若点M(0,-1),曲线G，。2的交点为A,B两点，求的值

23.(本小题12.0分)

已知函数/。)=|2x+l|+|x+a|,若/(x)<3的解集为也1],

(1)求实数a，b的值;

(2)己知m,n均为正数，且满足]+；+2a=0,求证：4m2+n2>4.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：•.•全集U={12,3,4,5,6,7,8},

又Cu(4UB)={2,4},

力UB={1,3,5,6,7,8},又4nCyB={1,3},

B={5,6,7,8}.

故选：C.

根据集合的基本运算，化归转化，即可得解.

本题考查集合的基本运算，化归转化思想，属基础题.

2.【答案】B

【解析】解：［2(cos^+=21i(cos半+is讥手)=2H(cos与+isin条,

3”.3"V-2

vcos—=——<n0，sin—=>n0»

4242

二在复平面内的复数［2(cos3+isiW)产对应的点位于第二象限.

故选：B.

先由已知定义求出该复数，然后结合复数的几何意义可求.

本题以新定义为载体，主要考查了复数的几何意义，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：设前三个季度的总收入分别为的，a2,。3，

因为每个季度的收入都比上一个季度的收入翻了一番，

2。］,(I3=2a2=4a1，

选项A,该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的4倍，即A错误；

选项B,该直播间第三季度化妆品收入为30%。3=30%・4%=120%%,

而第一季度化妆品收入为10%%=今x120%%,

所以该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的12倍，即B错误;

选项C,第二季度化妆品收入为20%(i2=20%-2at=40%的=gX120%%,

所以该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍，即C正确；

选项D,该直播间第三季度食品收入为70%ci3=280%的,

前两个季度的食品收入之和为90%%+80%a2=250%的<280%的,

所以该直播间第三季度食品收入高于前两个季度的食品收入之和，即。错误.

故选：C.

设前三个季度的总收入分别为由,a2,a3,则a2=2a「。3=2。2=4%,再结合条形图中，每个

季度化妆品和食品收入的占比情况，逐一分析选项，即可.

本题考查统计的知识，理解条形图的含义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中

档题.

4.【答案】D

【解析】解：的定义域为(一匹0)U(0,7T),

11

又/(_%)=(-x)sin(-x)--2=xsinx=/(x),

(F*

・・・/(x)是偶函数，.・•/(x)的图像关于y轴对称，.♦・排除4B选项；

又当Xe(0,7T),且当X70时，f(x)T-8,.•.排除c选项.

故选：D.

根据函数的奇偶性，极限思想，即可求解.

本题考查函数的图像问题，函数的奇偶性，极限思想，属基础题.

5.【答案】B

【解析】解：已知“=0^-1+2ali_2+l(n23),

则斯+c1n-1+1=2(an_]+0n-2+1)>

又a1—110-2=2,

则CI3=2+2xl+l=5,a4=5+2x2+l=10,(15=10+2x5+1=21,a6=21+2x

10+1=42,a7=42+2x21+1=85.

故选：B.

由数列的递推式，分别求出。3,«4-。6,即可.

本题考查了数列的递推式，重点考查了运算能力，属基础题.

6.【答案】A

【解析】解：对于A,在△ABC中，A>B<^>a>b2RsinA>2RsinB<=>sinA>sinB,

其中R为Z4BC的外接圆的半径，故命题P是命题q的充要条件，故A正确；

对于B,由/一2x-3W0,得(％-3)(》+1)W0,解得一1WxW3,

所以p的充要条件为一1WXW3,故8错误；

对于C,令x=4,y=4,满足％73或y¥5成立，但是x+y¥8不成立，

所以由q推不出P，

故命题p不是命题q的充要条件，故C错误；

对于D,由题意,若k〃％，则伫4YUI八，解得。=一1，

所以由p可以推出q,由q推不出p,

所以命题p是命题q的充分不必要条件，故。错误.

故选：A.

根据充分条件和必要条件的定义逐个判断各个选项即可.

本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：•.•生=7,

0)

••To)=2TT,

•••f⑺=sin(27T+。)=

0V小v

n

.•・口=§,

・・・%=W是零点，

o

71,7T..„

・'•Z3+5=kn,kEZt

o3

・•・w=6k—2,kEZ,

当k=1时，

3的最小值为4.

故选：C.

根据三角函数的周期公式即可得到结论.

本题主要考查三角函数的图象和性质，比较基础.

8.【答案】A

【解析】解：对4选项，根据函数的定义及曲线的图象可得：

四叶草曲线方程不是函数，.•.4选项错误；

对B选项，;同时以"-X”与”—y”代替曲线方程中的“x”与”y”可知曲线方程不变，

・•・四叶草曲线方程关y轴对称，关于x轴对称，关于原点对称，

设曲线上的点(x,y)到原点的距离为d,贝b=7x2+y2,

2222

x+y>2xy,xv<2

J—4

(x2+y2)3=8x2y2<8。：,)，

(d2)3<2(d2)2,d2<2,d<7~2,

二根据对称轴可知：曲线上两点之间的最大距离为2C，.•.B选项正确；

对C选项，由B选项分析可知：

曲线经(0,0),(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1),共计5个整点，二。选项正确；

对D选项，由B选项分析可知：曲线上的点到原点。的距离的最大值为，讶，

而以。为原点，半径为的圆的面积为2兀，

••・四个叶片围成的区域面积小于2兀，。选项正确.

故选：A.

根据函数的定义，曲线方程的对称性，重要不等式，化归转化，即可求解.

本题考查曲线方程的图像性质问题的求解，函数的定义，重要不等式的应用，化归转化数学，属

中档题.

9.【答案】B

【解析】解：因为ccosB+bcosC=2acosA,由正弦定理可得：sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA,

则sin(B+C)=sinA=2sin4cos4解得cosA=因为4e(0,兀)，所以

因为三角形ABC的面积为则S=gbcsinA="bex解得be=4,

在三角形/BC中由余弦定理可得：a2=h24-c2-2bccosA,

即4=(b+c)2—2bc-be=(b+c)2—3bc,所以(b+c)2=4+3x4=16,所以b+c=4,

则三角形ABC的周长为a+b+c=2+4=6.

故选：B.

由已知利用正弦定理求出4的值，然后利用余弦定理求出儿的值，再利用余弦定理求出b+c的值，

由此即可求解.

本题考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.

10.【答案】C

【解析】解：①四棱锥以-BEQ尸的体积等于三棱锥E-BiBDi的体积与三棱锥的体

积之和，

又长方体ABC。中，CC\HAA\〃BB\,u平面当口。1，u平面口述劣，

所以力公〃平面/8么，同理可得CQ〃平面

则点E、F到平面的距离为定值，

又另84%为定值，则四棱锥4-BEDiF的体积恒为定值，故①正确；

②直线ED1与直线DC交于点P,直线FDi与直线DA交于点Q，

则P、B、Q三点均为平面BEDiF与平面4BCD的公共点，

由平面BEDiF与平面ABCD有且仅有一条交线，可得P、B、Q三点共线，故②正确.

③由平面BED1与棱4〃交于点F,

可得平面BED/n平面A&BiB=BF,平面BE。/n平面CCi%。=DtE,

又平面441当8〃平面CCWi。，则BF〃£)iE；

又平面BED/C平面CCi&B=BE,平面BED/n平面/4为。=D#,

又平面CC$iB〃平面/&D1D,则BE〃D]F,

又BF“D[E,四边形BE。/是平行四边形，

当BE+ED]的值最小时，四边形BED#的周长取得最小值.

将侧面CGBiB与侧面CC15。展开在同一平面，

当且仅当E为直线BQ与Ct?1交点时BE+ED]的值最小，

则当截面四边形BED】尸的周长取得最小值时，满足条件的点E仅有1个，故③错误；

④如图DDi的中点H,连接MH,因为M为底面4BCD对角线4c和BO的交点,

所以M为BD的中点，所以MHC平面EBO「u平面EBO1，

所以MH〃平面EBDi，

即在棱DDi上存在点H,使MH〃平面EBDi，故④正确；

利用割补法判断四棱锥当-BED】F的体积是否为定值，即可判断①；利用两平面有且仅有1条通

过其公共点的直线证明P、B、Q三点共线，即可判断②，利用面面平行性质定理证明四边形BED/

是平行四边形，再利用侧面展开图求得截面四边形BE名尸的周长取得最小值时，满足条件的点E个

数，即可判断③；取的中点H,连接根据线面平行的判定定理即可证明④.

本题考查点共线的证明，考查线面平行的判定，考查线段和的最小值，属中档题.

11.【答案】D

【解析】解：a=1+tan(—0.2),b=/n0.8e,c=即，

则匕—c=1+Zn0.8—e-0,2,令f(%)=14-Inx—ex-1,

则/(X)=：—eXT在x6(0,1)上递减，则r(x)>尸(1)=0,

所以f(x)在％6(0,1)上递增，则/'(X)</(1)=0,即b<c,

Q2x

则Q—c=14-tan(-0.2)—e~9令g(%)=14-tanx—e,

则g'(x)=康-1在Xe(0,1)上递减,则g'(x)<g'(0)=0,

所以g(%)在％E(0,1)上递减，则g(X)vg(o)=。，即QVC,即可排除4B,c.

故选：D.

由b-c=1+仇0.8-e构造函数f(x)=1+仇%-e%T,利用导数法判断；由0-c=l+

tan(-0.2)-e-0-2,构造函数g(x)=1+tern%-e",利用导数法判断.

本题主要考查导数法研究函数的单调性，是中档题.

12.【答案】4

y

【解析】解：对函数y=?x+亨，其定义域为｛x|xR0｝，t/X

定义域关于原点对称，y、至x

用一X,—y替换X,y,方程y=?x+亨不变，故其图象:X

关于原点对称.

又当x>0,且x趋近于0时，y趋近于正无穷，度与x+巫

当久趋近于正无穷时，空W趋近于0,

X

此时y=+乎的图象与y=三lx无限靠近，

故y=殍工+号的两条渐近线为y轴与y=殍x，

为使其双曲线的方程为标准方程，故应建立的坐标轴x',y'必须平分两条渐近线的夹角，

又y=?x，其斜率为k=?，

此时其在原坐标系中其倾斜角为30。，与y轴夹角为60。，

故新坐标系中，x'轴与x轴的夹角应为60。，

故%'轴所在直线在原坐标系中的方程为y=0,y'轴与其垂直，

在如图所示的新坐标系中，设双曲线的方程为刍-4=1,

y=A/~-3X

联立q2)，可得，=3,y2=9,

y=—x4----

则Q2=X2+y2=12,

又在新坐标系下，双曲线的渐近线％=0与、轴的夹角为30。，

故2="，即匕2=£&2=4,

a33

故在新坐标系下双曲线方程为号-1=1.

124

故选：A.

根据y=?x+乎的图象特点，求得其渐近线，再根据对称性建立新的平面直角坐标系，再求

对应的。2,b2,即可求得其双曲线方程.

本题考查了函数的对称性以及双曲线的简单几何性质，属于难题.

13.【答案】-2

【解析】解：由向量方=(2,0),B=(X,2C)，且,与石的夹角为与，

可得五・3=2xVx2+12x(-^)=2%+0x2^~3=2x(%<0),

解得x=-2.

故答案为：-2.

由向量的数量积的定义和坐标表示，解方程可得所求值.

本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

14.【答案】60

662

【解析】解：•••(%-I)=[-2+(14-%)]=劭+Qi(l+%)+a2(l+x)+…+%(1+%)6，

.・・=或•(-=60.

故答案为：60.

根据题意，把二项式变形，利用二项式展开式的通项公式，求得。4的值.

本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

15.【答案W兀

【解析】解：如图，该三棱锥可由长方体截割得到，日

如图中三棱锥A-BCD,此三棱锥外接球也即为所在长方体的

外接球.

长方体的棱长分别为1，2,2,

对角线为球的一条直径，所以>/12+22+22=28R=l

外接球的体积U=^7T(|)3=

故答案为：羡兀

该三棱锥可由长方体截割得到，如图.根据对角线长等于球的直径，得出球的半径，可求球的体

积.

本题考查的知识点是球的体积，其中根据已知计算出三棱锥的外接球半径是解答本题的关键.

16.【答案】17或44

【解析】解：由题意知，F（O,；p），

设4（卬外）,B（x2,y2）,则N（如1++丫2）），

因为线段4B的中点NQo,6）,

所以X'l+、2）=6，即月+丫2=12,

所以点（好+者）=12①，

因为久2=2py,所以丫=点/,则y，=；x,

卬P

所以切线M4的方程为y-%=^x1（x-x1）,切线MB的方程为y-y2=^x2（x-x2）,

联立解得X=；（%1+尤2），y==X1X2，即+%2），/%62）,

xx

因为M（—2，^,-p）,所以“Xi+X2）=-2，"3^l2~~P>即+%2=—4A/T②，xrx2=

-2P2③，

由①②③可得，p=2或4,

1111

+2

所以IAFI•\BF\=Ot+rp）（y2+7P）=y^2+2p（yi+JP

11

Xp2

124-=荻

当p=2时，|4F|.=；x4+6x2=17；

当p=4时，|AF|“BF|=|xl6+6x4=44,

综上，|AF|•田川的值为17或44.

故答案为：17或44.

设B（x2,y2）,利用导数的几何意义，写出两条切线方程，联立解方程组，并结合点M和

N的坐标，推出p=2或4,再利用抛物线的定义计算的值即可.

本题考查抛物线的定义与几何性质，抛物线的切线方程等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于

中档题.

17.【答案】解：若选择条件①，

(1)数列｛an｝是等差数列，证明如下：

由已知得，

%=/(0)+点)+/(;)+…•••+〃?)+/⑴，

On=/⑴+/(?)+•一••・+/(；)+心+”0)，

以上两式相加，可得

2«n=(A。)+/(I)]+[/(；)+/(F)]+--+/(1)+/°)]，

又对任意％GR有/(%)+f(l-X)=1,

则/(0)+/(1)=/(；)+/(?)=/(；)+*…=I，

n+1

,1,斯=

则即+1-即=等一等=:,即数列｛即｝是以1为首项，3为公差的等差数列；

(2)由⑴知，即=亨，则a=&：1)2=*

T

n=b1+b2+……+bn=4(p-+最+热+…...+今)24©+1-3g-g+…...+去-

114

-)=4(2--)=8--=Mn,

即勿＜Mn：

若选择条件②，

(1)数列｛an｝是等差数列，证明如下：

由已知，对任意的p,qEN，都有Qp+q=Clp+CLq,令p=Yl,q=1,

则Qn+1~an=al=29

故数列｛an｝是以:为首项，：为公差的等差数列，

n

•••an=2；

(2)由(1)知，bn=花，

〃=瓦+⑦+……+%=4(笆+/+/+……+商)?4(笆+1-2+2―§+•・•・・•+一

114

i)=4(2-i)=8-i=Mn,

即7；WMn.

【解析】选择①：(1)利用累加法可得出=与，由此可得出结论；

44

(2)由(1)可得勾=(2a-L-2=溟，再计算％即可得出结论.

选择②：(1)根据题意可得即+1-an=&=：,由此可得出结论；

(2)由(1)可得勾=白，再计算7；即可得出结论.

本题考查数列的递推关系以及数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)由频率分布直方图知,(a+0.04+0.017+0.015+0.005+0.001)X10=1,

所以a=0.022,

平均数为(10x0.022+20X0.04+30x0.017+40x0.015+50x0.005+60x0.001)x10=

24.4万元，

众数为竺罗=20万元，

因为销售价格在区间［5,15)的频率为0.22,在区间［5,25)的频率为0.22+0.4=0.62,

所以中位数位于区间［15,25),

设中位数为X,贝ij0.22+(x-15)x0.04=0.5,解得x=22,

所以中位数为22万元.

(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,则X〜B(3,》，

4122

废2

汽a==r^=

所以p(x=O)=cf­(|)°•(护=A,p(x-K一-

9«2)039

P(X=3)=C|•(i)3-(|)°=M

所以X的分布列为

X0I23

842I

P

279927

所以E(X)=0x5+lx1+2x,+3x/=1,

此期望值的含义是市场上每3辆新能源车中，比亚迪汽车的数量最有可能为1辆.

【解析】(1)由频率之和为1,可求得a的值，再根据平均数，众数和中位数的计算方法，得解；

(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且X〜8(3鼻)，再根据二项分布的概率公式与数学

期望的计算方法，得解.

本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，统计的基础知识，熟练掌握二项分布，中位数、

平均数和众数的计算方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)证明:由于DE1AB,折叠后，有DE1A'E,

又由。ElBE,A'EdAE=E,则OE1面ABE,

而DEu平面BCDE,则有平面ABEL平面BCDE；

(2)根据题意，由(1)的结论，NA'EB就是二面角4一ED—B的

平面角，

则有4VEB=90°,必有AE1BE,

ED、EB、EA'两两互相垂直，

则以E为坐标原点，分别以EB、ED、区4‘所在的直线为X、y、z轴建立空间直角坐标系，如图:

则8(3,0,0),D(0,O,0)，C(l,2<3,0),4(001),

由于点P在线段BC上，设前=4舐=(一2九2/3儿0)，0W4W1，则P(3-24,2q；l,0),

则赤=(0,二,一1)，A^P=(3-2A,2/^A,-l)>

又由DE1平面A'BE,则平面4BE的法向量前=沅=(0,1,0)，

设平面AP。的法向量为丘=(x,y,z),则有［元,竺=g—z=°,

(n-A'P=(3-2A)x+2Vly-z=0

令y=l,可得完=(安禁,1,0，

J-ZA

设平面APD和平面ABE所成二面角为a,则tcma=，不必有cosa=

.mn._1_1

则有।|沅||宿।二7口-2口京二―

q(~3=21-)+q

变形可得与浮=o,解可得4=,,

3—ZA乙

故当P为线段BC的中点时，使得平面A'PD和平面4'BE所成二面角的正切值为

【解析】(1)根据题意，在折叠后，有又由。ELBE,分析可得DEI面4BE,由面面

垂直的证明方法分析可得结论；

(2)根据题意，分析可得ED、EB、E4'两两互相垂直，则以E为坐标原点，分别以EB、ED、E4所

在的直线为无、y、z轴建立空间直角坐标系，==(-2A,2OA,0).0<A<1,分析平面

A'PD和平面4BE的法向量，求出平面APD和平面A'BE所成二面角，可得关于;I的方程，求出;I的

值，分析可得答案.

本题考查二面角的计算，涉及空间向量的应用，属于中档题.

20.【答案】解：⑴设过点(0,0)的切线与/(x)的切点为。0，靖。)，

xx

由/'(xo)=e&，则切线方程为y—e°=e°(x—x0),

把(0,0)代入得,x0=1,故切线方程为ex—y=0；

当a=-1时，g(x)=-x2+x,

因为(0,0)在图象上，

所以点(0,0)为切点，

所以切线的斜率为k=g'(0)=1,

所以切线方程为y-0=l(x-0),即x-y=0.

(2)由/'(x)+g(x)—cosx>0,得h(x)=ex+ax2—ax-cosx>0,

则九'(x)=ex+2ax—a+sinx,则八"(x)=ex+2a+cosx,

①当a>1时，h!'(x)=ex+2a+cosx>0,所以h'(x)=e*+2ax—a+sinx在R上为增函数,

因为八'(0)=1—a<0,九'(1)=a+e+sinl>0,

所以〃0C(0,1),使九5)=0,

所以当x6(-8,Xo)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，

当xe(0,尤0)时,/i(x)<ft(0)=0,不符合题意,

②当a=1时，h(x)=ex+x2-x—cosx,h'(x)=ex+2x-1+sinx,

因为/i"(x)=ex+2+cosx>0恒成立，

所以"(x)在R上单调递增，

又"(0)=0,

所以当x€(-8,0)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，

当*6(0,+8)时,h\x)>0,九(x)单调递增,

所以九minO)=M0)=。，

所以h(%)>0恒成立，

所以a=1.

③当0VaV1时，九'(%)=e*+2ax—Q+sinx,

h\x)=ex+2a+cos尤在xG(一1,0)上单调递增，且八"(-1)=：+2a+cos(-l)>0,

故"(x)在xG(一1,0)上单调递增，

又八'(-1)=：-3a—sinl<0,九'(0)=1-a>0,

所以三巧£(一1,0),使九口力=0,

所以当％G(%i，0)时，”(%)>0,九(为单调递增，

当lG(右,0)时，h(x)</i(0)=0,不符合题意；

④)当aW0时，由九(—1)="+2Q—coslV工+2Q—5V0,不符合题意，

综上，a的取值范围{1}.

【解析】(1)设过点(0,0)的切线与/(%)的切点为(出,蛾。)，由导数的几何意义可得切线的斜率为

/'(%o)=e"。，则切线方程为y—〃。=e"(%—%。)；当Q=-1时，g(x)=——+%，点(o,o)在。(%)

图象上，则点(0,0)为切点，由导数的几何意义可得切线的斜率为攵=g'(0)=l,由点斜式即可得

出答案.

(2)由/(%)+g(x)—cosx>0,得/i(x)=ex+ax2—ax-cosx>0,求导分析单调性，可得/i(x)

的最小值,通过九(%)minN0,即可得出答案.

本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题.

Y_1

a~2

21.【答案】解:(1)由已知得,be=V-3

.a2=/724-c2

••CL—2»b=73，c=1,

故椭圆E的方程为5+£l，

)=/=3(1-7)=3：

则4(-2,0),B(2,0),令P(x,y),kpA

5=玄x—2X2-4X2-44

oiq

(2)①由(1)知，k]♦kBM=-&乂k1=§左2，卜2,kBM=一工，

MQi，%)N(%2，y2)，则(%]_„2-2)=一1

设直线MN的方程为％=my4-n,与椭圆方程联立：修=0得，(3m2+4)y2+6mny+

3n2-12=0

则A=48x(3m2一九2+4)>O,yi+为二一^^,yiy2=