2023年山东烟台中考数学试题及答案

2023年山东烟台中考数学试题及答案

一、选择题

_2

1.H的倒数是（）

223

A.-B.--C.-

332

【答案】D

【解析】

【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答.

【详解】解：=

23

.♦•一；的倒数是一二，

32

故选：D.

【点睛】本题考查倒数的定义，掌握互为倒数的两个数积为1,是解题的关键.

2.下列二次根式中，与血是同类二次根式的是（）

A.V4B.y/6C.V8D.V12

【答案】C

【解析】

【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可.

【详解】解：A、74=2,与0不同类二次根式，不符合题意;

B、"与0不是同类二次根式，不符合题意；

C、血=2血，与血是同类二次根式，符合题意；

D、J历=2百，与血不是同类二次根式，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根

式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：

（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

3.下列四种图案中，是中心对称图形的是（）

A.B.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可，中心对称图形：在平面内，把一个

图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中

心对称图形.

【详解】解：根据题意可得：是中心对称图形的只有B,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是中心对称图形：在平面内，把

一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫

做中心对称图形.

4.下列计算正确的是（）

A.a2+a2=2a4B.（2tz2）3=6a6C.a2-a3=a5D.

s4

a=a

【答案】C

【解析】

【分析】根据合并同类项、‘幕的乘方、同底数基的乘法、同底数幕的除法的运算法则逐项排

查即可解答.

【详解】解：A.〃+/=2/,故该选项不正确，不符合题意；

B.（2/丫=8。6,故该选项不正确，不符合题意；

C.a^a^a5,故该选项正确，符合题意：

26

D.a^a=a,故该选项不正确，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了合并同类项、塞的乘方、同底数事的乘法、同底数嘉的除法等知识,

掌握运算法则是解题的关键.

3m-2>1,

5.不等式组4cc的解集在同一条数轴上表示正确的是（）

2—加>3

01-1o

-I01-101

【答案】A

【解析】

【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，

点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定

方向的原则是：“小于向左，大于向右

3加-221①

【详解】解:

2-m>3②

解不等式①得：m>l

解不等式②得：1

将不等式的解集表示在数轴上，如图所示,

-101

故选：A.

【点睛】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方

法是解题的关键.

6.如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为

【解析】

【分析】根据俯视图的定义，即可进行解答.

【详解】解：根据题意可得：从该几何体正上方看，棱AE的投影为点£,棱的投影为

线段8E,棱AO的投影为线段£0，棱AC的投影为正方形3cDE的对角线，

A

该几何体的俯视图为:

【点睛】本题主要考查了俯视图，解题的关键是熟练掌握俯视图的定义：从物体正上方看到

的图形是俯视图.

7.长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大.6月6日是“全国爱眼日”，为了

解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据

绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（）

A.甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数

B.甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数

C.甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差

D.甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差

【答案】D

【解析】

【分析】根据平均数，中位数，极差，方差的定义分别求解即可.

【详解】甲班视力值分别为：4.7,5.0,4.7,4.8,4.7,4.7,4.6,4.4；

47+47

从小到大排列为：4.4,4.6,4.7,4.7,4.7,4.7,4.8,5.0；中位数为———-=4.7,

2

平均数为1（4.4+4.6+4.7+4.7+4.7+4.7+4.8+5.0）=4.7；极差为5.0—4.4=0.6

方差为“=；［（0.3）2+（01）2+（01）2+（0.3）2］=0.025；

乙班视力值分别为：4.8,4.7,4.7,5.0,4.6,4.5,4.9,4.4；

47+47

从小到大排列为：4.4,4.5,4.6,4.7,4.7,4.8,4.9,5.0,中位数为=4.7

2

平均数为1（4.4+4.5+4.6+4.7+4.7+4.8+4.9+5.0）=4.7；极差为5.0—44=0.6

2

方差为“=（［（0.3）2+（o2『+（0.1『+（0.1）+（0.2）2+（0.3『=0035；

甲、乙班视力值的平均数、中位数、极差都相等，甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差,

故D选项正确

故选：D.

【点睛】本题考查了折线统计图，求平均数，中位数，极差，方差，熟练掌握平均数，中位

数，极差，方差的定义是解题的关键.

8.如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的

一半为半径作弧形成的封闭图形.将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方

形内的某一点上.若小球停在阴影部分的概率为停在空白部分的概率为鸟，则［与鸟

的大小关系为（)

A.P}<P2B.《=£c.D.无法判

断

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解.

【详解】解：如图所示，连接AE,BD交于0,

由题意得，AB,C,。分别是正方形四条边的中点，

...点。为正方形的中心，

S四边形AOBF=S四边形a。。。，

E

根据题意，可得扇形Q钻的面积等于扇形。LD的面积，

••S四边形AOBF-S扇形0AB=S四边形AOOC-'扇形＞

阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半

故选：c.

【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，几何概率，得出阴影部分面积等于正方形面

积的一半是解题的关键.

9.如图，抛物线丁=0^+云+。的顶点A的坐标为|一；,〃"，与x轴的一个交点位于0

合和1之间，则以下结论：①加改>（）；（2）2/7+00；③若图象经过点（一3,乂）,（3,%），

则必>>2；④若关于x的一元二次方程依2+云+。一3=0无实数根，则”<3.其中正

确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据图象，分别得出a、Ac的符号，即可判断①；根据对称轴得出。=匕，再根

据图象得出当x=l时，y=a+b+c<0,即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再

根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程

G?+/JX+C—3=0移项可得以2+6x+c=3,根据该方程无实数根，得出抛物线

、=依2+云+。与直线^=3没有交点，即可判断④.

【详解】解：①：该抛物线开口向下，

a<0<

•••该抛物线的对称轴在y轴左侧，

：.b<0,

•.•该抛物线于y轴交于正半轴，

c>0,

/•ahc>0,

故①正确，符合题意；

②；机），

b1

该抛物线的对称轴为直线%=--则a=〃,

当X=1时，y=a+b+c,

把。=人得：当x=l时，y=2b+c,

由图可知：当x=l时,，y<0,

2h+c<0,

故②不正确，不符合题意：

③；该抛物线的对称轴为直线x=—L,

2

/.(-3,y)到对称轴的距离为—J一(—3)=[,(3,%)到对称轴的距离为3—=1

•.•该抛物线开口向下，

...在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，

57

•一〈一,

22

X>%，

故③正确，符合题意;

④将方程ox?+Zzx+c-3=0移项可得ar?+bx+c=3>

'.•公2+辰+c-3=0无实数根,

，抛物线y="2+》x+c与直线>=3没有交点,

「Af，

Am<3.故④正确

综上：正确的有：①③④，共三个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判断

各系数的方法，熟练掌握二次函数的图象和性质.

10.如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点户为位似中

心作正方形P44A3,正方形尸444,…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点

上，其中正方形尸444的顶点坐标分别为？(一3,o)，A(—2,1),4(—i,o),A(—2,—1),

则顶点A10c的坐标为(）

A.（31.34）B.（31,-34）C.（32,35）D.

(32,0)

【答案】A

【解析】

【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律人,7(〃-3,n).

【详解】解：:A(-2,1),4(一1,2),4(0,3),AO(L4)，L,

A“一2(〃-3,,

100=3x34—2.则〃=34,

Aoo(3L34),

故选:A.

【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律.

二、填空题

11.“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优

先定位.目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次.3600亿用科学记数法表示为

【答案】3.6x10”

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1＜忖＜10,〃为整数.确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：3600亿=360000000000,用科学记数法表示为3.6x10”.

故答案为：3.6x10”.

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其

中1«忖＜10,〃为整数，正确确定a的值以及〃的值是解决问题的关键.

12.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知Nl=102。，则N2的度数为.

【答案】78°##78度

【解析】

【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解.

【详解】解：如图所示，依题意，AB//DC,

：.Z2=ZBCD,

■：ZBCD+Z\=180°,Zl=102°,

ZBCD=180°-Nl=78°

AZ2=78°.

A

故答案为：78°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

13.如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于

点4B,C,D,连接AB,则N84O的度数为______.

【答案】52.5°

【解析】

【分析】如图：连接OAOB,OC,Q0,AO,A5,由题意可得：OA=OB=OC=OD,

4403=50°-25°=25°,然后再根据等腰三角形的性质求得ZOAB=65°、

NQ4O=25°,最后根据角的和差即可解答.

【详解】解：如图：连接OAQBQCQD,AD,AB,

由题意可得：OA=OB=OC=OD,

ZAOB=50°-25°=25°,ZAOD=155°-25°=130°,

ZOAB=1(1800-ZAOB)=77.5°,NOAD=；(180。-ZAOB)=25°,

：.NBAD=ZOAB-ZOAD=52.5°.

故答案为52.5°.

【点睛】本题主要考查了角的度量、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用等腰三角形的性

质是解答本题的关键.

14.如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：

①।按键的结果为4；

②按键的结果为8；

③S3OQBOOBCB口按键的结果为0.5；

USODab/cl2DO2四日按键的结果为25.

以上说法正确的序号是一

【答案】①③

【解析】

【分析】根据计算器按键，写出式子，进行计算即可.

【详解】解:①2ndF]「6按键的结果为痫=4;故①正确，符合题意;

②❷■1四@曰按键的结果为4+（—2丫=-4；故②不正确，不符

合题意；

③GQOQBOOB81口按键的结果为sin（45°-15。）=sin30°=0.5；故③

正确，符合题意；

[3-卜=10；

3a°/cl221丁2眩键的结果为

故④不正确，不符合题意；

综上：正确的有①③.

故答案为：①③.

【点睛】本题主要考查了科学计算器是使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个

按键的含义.

15.如图，在直角坐标系中，一A与x轴相切于点民C8为04的直径，点C在函数

k

丁=人伙＞0,尤＞0）的图象上，。为y轴上一点，.ACD的面积为6,则上的值为.

x

【答案】24

【解析】

（k1k

【分析】设C。,一，则06=a,AC=2,则AC=-BC=——，根据三角形的面积公式

<a）a22a

得出SA°=gAC-0B=6,列出方程求解即可.

【详解】解：设

•.一A与x轴相切于点B,

BC_Lx轴，

k

OB=a,AC=~,则点〃到BC的距离为a,

a

••,CB为0A的直径,

A

AC=-BC=,

22A«

Kf

==6

--

,•'ACD^2«4

解得：k=24,

故答案为：24.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定

义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征.

16.如图1,在一ABC中，动点P从点A出发沿折线ABf8CfC4匀速运动至点A后停

止.设点P的运动路程为x,线段小的长度为V,图2是y与x的函数关系的大致图象，

其中点尸为曲线。E的最低点，则,ABC的高CG的长为.

【分析】过点A作AQJ.BC于点Q,当点尸与。重合时，在图2中尸点表示当

AB+BQ=12时，点p到达点。，此时当尸在BC上运动时.，AP最小，勾股定理求得AQ,

然后等面积法即可求解.

【详解】如图过点A作AQLBC于点。，当点P与。重合时，在图2中尸点表示当

AB+3Q=12时，点p到达点。，此时当P在8c上运动时，AP最小，

二BC=7，BQ=4,QC=3

在RtABQ中，AB=8,BQ=4

；•AQ=^AB--BQ1=V82-42=4G

S4氏=~ABxCG——AQxBC,

.BCxAQ7x4670

ABS2

故答案为：W.

2

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是

解题的关键.

三、解答题

17.先化简，再求值：土6：+9/a+2+其中。是使不等式巴。41成立的

a-2I2-a)2

正整数.

_-ci-3I

【答案t】：--

。+32

【解析】

【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值,

再代入数据计算即可.

（2~—6a+9

【详解】解:Q+24-------

a—22-a

（〃-3）2（2+Q）（2-Q）5

------------------r-------------------------------1------------

。-22—。2—。

_(«-3)-4-a2+5

。—22—。

(67—3)2—a

2(3+〃)(3-〃)

_a-3

。+3’

解不等式纥1得：a<3,

2

为正整数，

••a=\,2，3,

・・•耍使分式有意义。—2工0,

，Q。2,

，・•当。=3时，。+2H---=3+2d---=0,

2-472-3

••aH3,

1-31

.•.把。=1代入得：原式=-一一.

1+32

【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练

掌握分式混合运算法则，准确计算.

18.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”

而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才.已知A,B,C,D,E五

所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生

只能选择其中一所大学.某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将

统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图.

(1)请将条形统计图补充完整；

(2)在扇形统计图中，。所在的扇形的圆心角的度数为；若该市有1000名中学

生参加本次活动，则选择A大学的大约有人；

(3)甲、乙两位同学计划从A,B,C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用

树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率.

【答案】(1)见解析⑵14.4°；200.

⑶-

3

【解析】

【分析】(1)根据C的人数除以占比得到总人数，进而求得8的人数，补全统计图即可求

解；

(2)根据。的占比乘以360。得到圆心角的度数，根据1000乘以选择A的人数的占比即可

求解；

(3)根据列表法求概率即可求解.

【小问1详解】

解：总人数为14+28%=50(人)

选择B大学的人数为50—1()—14—2—8=16,补全统计图如图所示，

【小问2详解】

2

在扇形统计图中，。所在的扇形的圆心角的度数为一x3600=14.4°,

50

选择4大学的大约有1000x——=200（人）

50

故答案为：14.4°；200.

【小问3详解】

列表如下，

ABC

乙

AA4ABAC

BBABBBC

CCACBCC

共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，

甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为

3

【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概

率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚

地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

19.风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在一处坡角

为30。的坡地新安装了一架风力发电机，如图1.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力

发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图.已知斜坡CO长16米，在地面点A处

测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°,利用无人机在点A的正上方53米的点5处测

得尸点的俯角为18。，求该风力发电机塔杆PO的高度.（参考数据：sinl80®0.309,

cosl8°«0.951,tanl8°®0.325)

【答案】该风力发电机塔杆PO高度为32米

【解析】

【分析】过点尸作炉，A3于点凡延长PD交AC延长线于点笈先根据含30°角直角三

角形的性质得出OE=8,设尸D=x米，则心=~0+。£=（8+力米，进而得出

A£=（8+x）米，证明四边形B4EP为矩形，则PR=AE=（8+x）米，AF=PE=（8+x）

RF

米，根据线段之间的和差关系得出=AB-AF=s（45—x）米，最后根据而=tan18°,

列出方程求解即可.

【详解】解：过点户作PFLAB于点E延长PO交AC延长线于点6,

根据题意可得：4B、P。垂直于水平面，ZDCE=30°,NF4c=45°,NG6P=18°,

PE1AE，

=16米，

OE=LCO=16X'=8（米），

22

设「D=x米，则正:产0+小二岱+6米，

：NR4c=45°,庄_LAE，

=（8+x）米）

tan45°

VABA.AE，PEIAE^PFLAB，

，四边形E4£P为矩形,

PF=AE=（8+x）米，AE=PE=（8+x）米,

AB=53米，

=Ab=53—（8+x）=（45—x）米，

,:ZGBP=18°,

=18°,

BF45-r

A—=tanl8°,即。0.325,

PF8+x

解得：x®32,

答：该风力发电机塔杆PD高度为32米.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直

角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤.

20.【问题背景】

如图1,数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABC。进行如下操

作：①分别以点民C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作

2

直线所交3c于点O,连接A。；②将ABO沿A。翻折,点B的对应点落在点尸处,

在矩形ABC。中，AD=5,AB=3,求线段CQ的长.

【问题解决】

经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：

方案一：连接。。，如图2.经过推理、计算可求出线段CQ的长;

方案二：将,ABO绕点。旋转180°至△ACO处，如图3.经过推理、计算可求出线段CQ

的长.

请你任选其中一种方案求线段CQ的长.

25

【答案】线段CQ的长为上.

12

【解析】

【分析】方案一：连接。。，由翻折的不变性，知AP=A5=3,OP=QB=2.5,证明

△QPg/\QCO（HL）,推出PQ=CQ,设PQ=CQ=x,在Rt^ADQ中，利用勾股

定理列式计算求解即可;

方案二：将一ABO绕点。旋转180°至△ACO处，证明NOAQ=NH,推出QA=QR,

设CQ=x,同方案一即可求解.

【详解】解：方案一：连接。。，如图2.

/.AB=CD=3,AD=BC=5,

由作图知BO=OC=-BC=2.5,

2

由翻折的不变性，知AP=AB=3,OP=OB=25,NAPO=/B=90°,

：.OP=OC=2.5,NQPO=NC=90°,又OQ=OQ,

：.△QPgMCO（HL）,

：.PQ=CQ,

设PQ=CQ=x,则AQ=3+x,DQ=3-x,

在RtZ\ADQ中，AD2+QD2=AQ2,即5?+（3—x）:=（3+x『,

25

解得》=一

12

25

线段CQ的长为」；

12

方案二：将一ABO绕点。旋转180°至八次。。处，如图3.

•.•四边形ABC。是矩形，

AB=CD=3,AD=BC=5,

由作图知8。=0C=，6C=2.5,

2

由旋转的不变性，知CR=AB=3,NBAO=ZR,ZB=ZOCR=90°,

则/OCR+NOCD=90°+90°=l80°,

：.D.C、R共线，

由翻折的不变性，知N84O=NQ4Q,

ZOAQ=ZR,

：.QA=QR,

设CQ=x,则QA=QR=3+x,DQ=3-x,

在RtZXADQ中，AD2+QD2=AQ2,即5?+(3—x)：=(3+x『，

25

解得x=上，

12

25

线段CQ的长为」.

12

【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角

形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

21.中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶.《孙子算经》、《周髀算经》是我

国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单

3

价的一，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本.

4

(1)求两种图书的单价分别为多少元？

(2)为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的

《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半.由于购买量大，书店打折优惠，两种图

书均按八折出售.求两种图书分别购买多少本时费用最少？

【答案】（1）《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；

（2）当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总

费用为2316元.

【解析】

3

【分析】（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价一X元，根据“用600元

4

购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解；

（2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出0的取

值范围，根据川的取值范围结合函数解析式解答即可.

【小问1详解】

3

解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，

4

600600「

-----=-------1-5

依题意得，31,

—X

4

解得％=40,

经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，

3

-x40=30,

4

答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；

【小问2详解】

解：设购买的《周髀算经》数量加本，则购买的《孙子算经》数量为（8（）-〃。本，

依题意得，（80-/77）,

解得加226二

3

设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），

依题意得，y=40x0.8m+30x0.8（80—⑼=8m+1920,

左=8>0,

・・・y随加的增大而增大，

・・・当加=27时，有最小值，此时y=8x27+1920=2316（元）,

80—27=53（本）

答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费

用为2316元.

【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实

际应用，根据题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键.

22.如图，在菱形ABC。中，对角线AC,8。相交于点。经过A,。两点，交对角线

AC于点尸，连接OF交于点G,且AG=G£）.

（1）求证：AB是，。的切线；

（2）己知〔O的半径与菱形的边长之比为5:8,求tan/ADB的值.

【答案】（1）见解析（2）tanZAZ）B=2.

【解析】

【分析】（1）利用垂径定理得。尸，利用菱形的性质得NG4b=/84尸，利用半径

相等得NOAF=NOE4,即可证明/。4/+/&4尸=90°,据此即可证明结论成立；

（2）设AG=GO=4a,由题意得Q4:AG=5:4,求得。4=5a,由勾股定理得到

OG=3a,求得FG=2a,利用菱形的性质求得NA£）6=NAFG,据此求解即可.

【小问1详解】

证明：连接。4,

VAG=GD,由垂径定理知O尸，42,

ZOGA=ZFGA=9Q°,

•.•四边形A8CD是菱形,

ZGAF=NBAF,

：.AGAF+ZAFG=90°=ABAF+ZAFG,

'：OA=OF,

：.ZOAF=ZOFA,

：.ZOAF+ZBAF=ZOAB=90°,

又•••Q4为。。的半径，

A8是；。的切线；

【小问2详解】

解：•..四边形ABCD是菱形，AG=GD,

.,.设AG=GO=4a,

•••一。的半径与菱形的边长之比为5:8,

...在RtAOAG中，OA:AG=5:4,

：.OA=5a,OG=4O^-AG1=3a-

FG=OF-OG=2a,

•.•四边形ABC。是菱形，

ABDLAC,即ZDEAugOOnNHil,

ZADB^ZAFG,

：.tanNADB=tanZAFG=—=—=2.

FGla

【点睛】本题考查了菱形的性质，垂径定理，切线的判定，求角的正切值，勾股定理，解答

本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

23.如图，点。为线段AB上一点，分别以AC,3C为等腰三角形的底边，在A6的同侧作

等腰ACZ）和等腰_BCE,且NA=NCBE.在线段EC上取一点尸，使麻=AO,连

接BF,DE.

CBB

IV1困2

(1)如图1,求证：DE=BF；

(2)如图2,若AT)=2,BF•的延长线恰好经过£>E的中点G,求3E的长.

【答案】(1)见解析(2)5E=2+0.

【解析】

【分析】(1)证明8〃的，推出NOCE=NBEF,利用SAS证明△OCE也△FEB即

可证明结论成立；

(2)取的中点〃，连接G“，证明G”是二FCD的中位线，设BE=a,则=ga-2,

证明得到空=必，即/—4a-4=0,解方程即可求解.

BEEF

【小问1详解】

证明：•.•等腰,AC。和等腰_BCE,

AAD=CD,EC=EB,ZA^ZDCA,

•：ZA=ZCBE,

：.ADCA=NCBE,

：.CD//BE,

:.ZDCE=NBEF,

,/EF=AD,

EF=CD,

CD=EF

在丛DCE和,.FEB中，，NDCE=/FEB,

EC=EB

：.ADCE^AFEB(SAS),

：.DE=BF；

【小问2详解】

解：取CT的中点"连接G"，

R

.•点G是。足的中点,

•••G”是_八券的中位线，

；.GH=LCD」AD=I,GH//CD,

22

设BE=a,则===

222

EF=AD=2,

：.FH^-a-2,

2

CD//BE,

：.GH//BE,

••△FG”s△必E,

,GHFH

"~BE~~EF

整理得a?—4a—4=0,

解得a=2+0（负值已舍），

经检验a=2+也是所列方程解，且符合题意，

•••BE=2+O.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形中位线定理，全等

三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

24.如图，抛物线、=依2+Zzx+5与x轴交于两点，与>轴交于点C,43=4.抛物

线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx-\交于点。，与x轴交于点E.

法用图

（1）求直线及抛物线的表达式；

（2）在抛物线上是否存在点使得八包卯是以AO为直角边的直角三角形?若存在,

求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为-8上一个动点，请求出PC+gpA的最小

值.

【答案】（1）直线的解析式为y=x-1；抛物线解析式为y=f—6x+5

（2）存在，点"的坐标为（4,—3）或（0,5）或（5,0）

（3）741

【解析】

【分析】（1）根据对称轴x=3,A