适用于老高考旧教材广西专版2023届高考数学二轮总复习第二部分2.3一导数与函数的单调性极值最值课件理

一、导数与函数的单调性、极值、最值专题二内容索引0102考情分析•备考定向高频考点•探究突破03预测演练•巩固提升考情分析•备考定向试题统计题型(2018全国Ⅰ,理5)

(2018全国Ⅰ,理21)(2018全国Ⅱ,理13) (2018全国Ⅱ,理21)(2018全国Ⅲ,理14) (2018全国Ⅲ,理21)(2019全国Ⅰ,理13) (2019全国Ⅰ,理20)(2019全国Ⅱ,理20) (2019全国Ⅲ,理6)(2019全国Ⅲ,理20) (2020全国Ⅰ,理6)(2020全国Ⅰ,理21) (2020全国Ⅱ,理21)(2020全国Ⅲ,理21) (2021全国乙,理10)(2021全国乙,理12) (2021全国乙,理20)(2021全国甲,理13) (2021全国甲,理21)(2022全国乙,理9) (2022全国乙,理16)(2022全国乙,理21) (2022全国甲,理6)(2022全国甲,理11) (2022全国甲,理21)选择题填空题解答题命题规律复习策略导数是高中数学选修板块中重要的部分,应用广泛.高考命题既有考查基础的题型,如用导数求切线的斜率、判断函数的单调性、求函数的极值、最值等;又有重点考查能力的压轴题型,往往以数列、方程、不等式为背景,综合考查学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点有三个类型的题目:一是利用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性,进而求函数的极值或最值;二是利用导数探求参数的取值范围;三是利用导数解决不等式问题及函数的零点、方程根的问题.高频考点•探究突破命题热点一利用导数讨论函数的单调性【思考】

函数的导数与函数的单调性具有怎样的关系?例1已知函数f(x)=(x+a)ex(a∈R).(1)讨论f(x)在区间[0,+∞)内的单调性;解:

(1)f'(x)=(x+a+1)ex(x≥0).①当a+1≥0,即a≥-1时,f(x)在区间[0,+∞)内单调递增;②当a+1<0,即a<-1时,令f'(x)=0,得x=-a-1.在区间[0,-a-1)内,f'(x)<0;在区间(-a-1,+∞)内,f'(x)>0.则f(x)在区间[0,-a-1)内单调递减,在区间(-a-1,+∞)内单调递增.综上,当a≥-1时,f(x)在区间[0,+∞)内单调递增;当a<-1时,f(x)在区间[0,-a-1)内单调递减,在区间(-a-1,+∞)内单调递增.题后反思利用函数的导数研究函数的单调性的一般步骤:(1)确定函数的定义域.(2)求导数f'(x).(3)①若求函数的单调区间(或证明函数的单调性),只需在函数y=f(x)的定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0;②若已知y=f(x)的单调性,则转化为不等式f'(x)≥0或f'(x)≤0在函数的单调区间上恒成立问题求解.当0<x<2时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x>2时,h'(x)>0,h(x)单调递增.命题热点二利用导数求函数的极值或最值【思考】

函数的极值与导数有怎样的关系?如何求函数的最值?例2已知函数f(x)=x2+(m-2)x-mlnx.(1)讨论f(x)的极值点的个数;(2)设函数g(x)=x2+mlnx,P,Q为曲线y=f(x)-g(x)上任意两个不同的点,设直线PQ的斜率为k,若k≥m恒成立,求实数m的取值范围.在区间(0,1)上,f'(x)<0,在区间(1,+∞)上,f'(x)>0,所以当x=1时,f(x)取得极小值,无极大值,故f(x)只有一个极值点.综上,当m=-2时,f(x)的极值点的个数为0;当m≥0时,f(x)的极值点的个数为1;当m<-2或-2<m<0时,f(x)的极值点的个数为2.令c(x)=h(x)-mx,则c(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以c'(x)≥0在区间(0,+∞)上恒成立,即h'(x)-m≥0在区间(0,+∞)上恒成立,所以x2-2x-2m≥0在区间(0,+∞)上恒成立,则2m≤(x2-2x)min(x∈(0,+∞)),因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以2m≤-1,题后反思1.利用导数研究函数的极值的一般步骤:(1)确定定义域.(2)求导数f'(x).(3)①若求极值,则先求方程f'(x)=0的根,再求出极值(当根中有参数时,要注意分类讨论根是否在定义域内).②若已知极值大小或存在的情况,则转化为已知方程f'(x)=0根的大小或存在的情况,从而求解.2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值.(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.对点训练2(2022广西南宁一模)已知函数f(x)=

(a≥0)(e为自然对数的底数).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a>0时,证明f(x)的最小值小于-1.所以当x>2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x<2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故f(x)的单调递增区间为(-∞,2),单调递减区间为(2,+∞);命题热点三利用导数证明与函数零点有关的问题【思考】

如何利用导数证明与函数零点有关的问题?例3已知函数f(x)=sinx-ln(1+x),f'(x)为f(x)的导数.求证:(1)f'(x)在区间

内存在唯一极大值点;(2)f(x)有且仅有2个零点.(2)f(x)的定义域为(-1,+∞).(ⅰ)当x∈(-1,0]时,由(1)知,f'(x)在区间(-1,0)内单调递增,而f'(0)=0,所以当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,故f(x)在区间(-1,0)内单调递减.又f(0)=0,从而x=0是f(x)在区间(-1,0]上的唯一零点.(ⅳ)当x∈(π,+∞)时,ln(x+1)>1,所以f(x)<0,从而f(x)在区间(π,+∞)内没有零点.综上,f(x)有且仅有2个零点.题后反思对于与函数零点有关的问题,往往先利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的交点个数问题,进而证明结论.对点训练3(2022全国甲,理21)已知函数f(x)=-lnx+x-a.(1)若f(x)≥0,求a的取值范围;(2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1.当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增.则f(x)min=f(1)=e+1-a.要使得f(x)≥0恒成立,需满足f(x)min=e+1-a≥0,得a≤e+1.故a的取值范围为(-∞,e+1].(2)证明:不妨设x1<x2,由(1)可知0<x1<1<x2.又当x∈(0,1)时,x-1<0,∴在区间(0,1)上,F'(x)>0,∴F(x)在区间(0,1)上单调递增.又F(1)=f(1)-f(1)=0,预测演练•巩固提升1.(2022广西贵港模拟)已知曲线y=axex+lnx在点(1,ae)处的切线方程为y=3x+b,则(

)A.a=e,b=-2 B.a=e,b=2C.a=e-1,b=-2 D.a=e-1,b=2C解析:

由题意可得y'=aex+axex+,则y'|x=1=ae+ae+1=2ae+1=3,∴ae=1,∴a=e-1.将点(1,1)的坐标代入y=3x+b,有3+b=1,得b=-2.2.若函数f(x)=xlnx-x3+x2-ax有两个不同的零点,则实数a的取值范围是(

)A.(0,+∞) B.(0,1]C.[-1,0) D.(-∞,0)D解析:

由f(x)=0,得a=ln

x-x2+x.因此当x>1时,g'(x)<0,g(x)∈(-∞,0);当0<x<1时,g'(x)>0,g(x)∈(-∞,0),从而f(x)要有两个不同的零点,需a<0.3.函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(

)D4.(2022广西南宁一模)已知函数f(x)=在x=1处取得极值,则f(x)的极小值为

.

1当x<0或x>1时,f'(x)<0,当0<x<1时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增.5.若函数f(x)=x2-x+1+alnx在区间(0,+∞)内单调递增,则实数a的取值范围是

.

6.已知a>0且a≠1,函数f(x)=

(x>0).(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)