过关卷12.1-2 全等三角形的性质和判定-简单数学之2021-2022学年八年级上册考点专训（解析版）（人教版）

过关卷12.1-2全等三角形的性质和判定一、选择题（每小题3分，共36分）1．如图，已知：，，，，则（）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解．【详解】连接，如图，在与中，≌，，，，，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键．2．如图，已知AB＝DB，BC＝BE，，由这三个条件，就可得出△ABE≌△DBC，依据的判定方法是（）A．边边边 B．边角边C．角边角 D．角角边【答案】B【分析】根据SAS证明三角形全等即可解决问题．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EBD=∠2+∠EBD，∴∠ABE=∠DBC，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．3．冀教版初中数学教科书八年级上册告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：．求作：的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．（2）分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部相交于点C．（3）画射线，射线即为所求（如图）．这种作已知角的平分线的方法的依据是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用角平分线的作法得出基本依据．【详解】解：这种作已知角的平分线的方法的依据是SSS．由基本作图方法可得：OM=ON，OC=OC，MC=NC，则在△OMC和△ONC中，，∴△OMC≌△ONC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，即OC为∠AOB的平分线．故选：A【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．4．如图，AC、BD相交于O，∠1=∠2，若用“SAS”说明，则还需加上条件（）A．AD＝BC B．∠D＝∠C C．OA＝AB D．BD＝AC【答案】D【分析】根据“SAS”判定定理即可得出结论．【详解】解：已具有∠1=∠2，AB=BA，用“SAS”证需添加夹∠1，∠2的边BD=AC，A.AD＝BC与已知构成边边角，不能判断两个三角形全等，故本选项错误；B.∠D＝∠C与已知构成AAS判定两个三角形全等，不符合题意，故本选项错误；C.OA＝AB能推出三角形OAB为等边三角形，证缺条件，故本选项错误；D.BD＝AC与已知构成SAS证，故本选项正确．故选择：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题关键．5．在△ABC和△DEF中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角形全等的是（）A．AB＝DE，BC＝DF，∠A＝∠D B．AB＝BC，DE＝EF，∠B＝∠EC．AB＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D D．BC＝EF，AC＝DF，∠C＝∠F【答案】D【分析】根据三角形全等的判定条件“SAS”逐项判断即可．【详解】A．BC边和EF边是对应边，所以所给条件证明不出．故A不符合题意．B．边AB与BC都在中，边DE与EF都在中，所给条件不是对应边相等，所以证明不出，故B不符合题意．C．AB边和DE边是对应边，所以所给条件证明不出，故C不符合题意．D．相邻两对应边分别相等且所夹的角相等，可以利用SAS证明，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查利用“SAS”判定三角形全等，理解判定条件“SAS”的意义是解答本题的关键．6．如图，点在线段上，若，且，，，则下列角中，大小为的角是A． B． C． D．【答案】C【分析】先证明得到、，再根据可得；然后根据外角的性质可得即可解答．【详解】解：在和中，，，，，，=，．故答案为．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，弄清题意、理清角之间的关系是解答本题的关键．7．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE，若∠A＝50°，则∠BDE的度数是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A【分析】先由直角三角形的性质得∠B＝90°﹣∠A＝40°，再证△CDE≌△CDA（SAS），得∠CED＝∠A＝50°，然后由三角形的外角性质即可得出答案．【详解】∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝90°﹣∠A＝40°，∵CD平分∠ACB，∴∠ECD＝∠ACD，在△CDE和△CDA中，，∴△CDE≌△CDA（SAS），∴∠CED＝∠A＝50°，又∵∠CED＝∠B+∠BDE，∴∠BDE＝∠CED﹣∠B＝50°﹣40°＝10°，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．8．如图，在中，H是高MQ和NR的交点，且MQ=NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先证明，再由全等三角形的性质可得PQ=QH=5，根据MQ=NQ=9，即可得到答案．【详解】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM，∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90，∵∠RHM＝∠QHN，∴∠PMH＝∠HNQ，在和中，，∴（ASA），∴PQ＝QH＝5，∵NQ＝MQ＝9，∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4，故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是推理证明三角形的全等三角形，找到边与边的关系解决问题．9．如图四个三角形中，能构成全等三角形的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】C【分析】先根据三角形内角和定理得到一个内角的度数，再根据ASA可证2个三角形全等，依此即可求解．【详解】解：①中未知角的度数为：180°﹣70°﹣50°＝60°；②中未知角的度数为180°﹣70°﹣60°＝50°；③中未知角的度数为180°﹣70°﹣60°＝50°；④中未知角的度数为180°﹣60°﹣50°＝70°；又三角形中边长为25所相邻的角分别为：①70°、50°；②60°、50°；③70°、50°；④60°、50°；根据ASA可证2个三角形全等是③和①、②和④；故选：C【点睛】本题考查三角形全等，利用ASA定理进行证明去，重点在寻找对应角和对应边相等；10．两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，下面说法正确的有（）（1）这两个三角形一定全等；（2）这两个三角形不一定全等；（3）相等的角为锐角时，这两个三角形全等；（4）相等的角是钝角时，这两个三角形全等．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】B【分析】画出图形，分别满足两边及一个锐角对应相等，两边与一个钝角对应相等，从而可得结论．【详解】解：如图，两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，满足，但是不能判定三角形的全等．当时，与不全等，只有当相等的角是钝角时，这两个三角形全等．当时，此时完全重合的两个三角形全等，则说法正确的只有（2）（4）．故选：．【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，掌握利用图形理解三角形的判定方法是解题的关键．11．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（）A．8 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解．【详解】解：，，于，于，，，又，，．，，．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键．12．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC④BA+BC=2BF其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】易证，可得，AD=EC可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得，即③正确，根据③可判断④正确；【详解】∵BD为∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴在△ABD和△EBD中，BD=BC，∠ABD=∠CDB，BE=BA，∴△(SAS)，故①正确；∵BD平分∠ABC，BD=BC，BE=BA，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正确；∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE是等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=AE=EC，故③正确；作EG⊥BC，垂足为G，如图所示：∵E是BD上的点，∴EF=EG，在△BEG和△BEF中∴△BEG≌△BEF，∴BG=BF，在△CEG和△AFE中∴△CEG≌△AFE，∴AF=CG，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键；二、填空题（每小题3分，共18分）13．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝___．【答案】135°【分析】直接利用网格证明△ABC≌△CDE，得出对应角∠1=∠3，进而得出答案．【详解】解：如图所示：可知：AB=CD=3，BC=DE=1，∠B=∠D=90°，∴△ABC≌△CDE（SAS），∴∠1=∠3，则∠1+∠2=∠2+∠3=135°．故答案为：135°．

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键．14．如图，有两根钢条、，在中点处以小转轴连在一起做成工具（卡错），可测量工件内槽的宽．如果测量，那么工件内槽的宽______cm．【答案】2【分析】利用SAS证明，即可得到答案．【详解】解：由题意得：在△BOD和△AOC中，，∴，∴，故答案为：2．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质的实际应用，正确理解题意证明是解题的关键．15．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径作圆弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．连结OG、OH．若∠A＝124°，则∠AEB的大小是___度．【答案】28．【分析】由作图可知BE平分∠ABC，根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再利用平行线的性质求出∠AEB的大小即可．【详解】解：由作图可知：∠ABE＝∠CBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∠A＋∠ABC=180°，∵∠A＝124°，∴∠ABC=56°，∴∠AEB＝∠ABC=＝28°，故答案为：28．【点睛】本题考查了角平分线的作法和平行线的性质，解题关键是明确角平分线的作法和熟练运用平行线的性质进行推理计算．16．如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为_________【答案】【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通过角的计算即可得出∠ABO＝∠BCD，再结合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS证出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标．【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC．∵CD⊥BD，BO⊥AO，∴∠CDB＝∠BOA＝90°．∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，∴∠ABO＝∠BCD．在△ABO和△BCD中，，∴△ABO≌△BCD（AAS），∴BD＝AO，CD＝BO，∵A（4，0），B（0，6），∴BD＝4，CD＝6，∴点C的坐标为，故答案为：．【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C点作垂直于x轴的垂线还是垂直于y轴的垂线是解题关键．17．如图，的面积是10，垂直的平分线于点，则的面积是__________．【答案】5【分析】延长AP交BC于E，通过垂直的平分线于点证明，从而可得，，即可求出的面积．【详解】延长AP交BC于E∵垂直的平分线于点∴，在△ABP和△EBP中∴∴，∴△ACP和△PCE等底同高∴∴故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的面积问题，掌握角平分线的性质、全等三角形的性质以及判定定理、三角形的面积公式是解题的关键．18．观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也会有类似的结论，你的结论是__．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）A1N＝AnM，∠NOAn＝．【分析】（1）根据三角形全等的证明方法，可以得到，，再根据是的外角，从而求得；（2）同（1）证明，，再根据是的外角，从而求得；（3）同（1）证明，，再根据是的外角，从而求得；通过观察规律，可以发现A1N=AnM并且．【详解】解∵（1）如图①，在正三角形中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，在△ABN和△ACM中，，∴△ABN≌△ACM（SAS），∴∠BAN＝∠ACM，AN＝CM，∴∠NOC＝∠OAC+∠ACM＝∠OAC+∠BAN＝∠BAC＝60°．则AN＝CM，；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，同理：△ABN≌△ADM（SAS），∴∠BAN＝∠ADM，AN＝DM，∴∠NOD＝90°则AN＝DM，；（3）同理：如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也有类似的结论是A1N＝AnM，∠NOAn＝．故答案为：A1N＝AnM，∠NOAn＝．【点睛】此题考查三角形全等的证明和外角的性质，通过观察证明所给例子找出规律是解决本题的关键．三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）19．如图所示，已知，，AF=CE，试说明：．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得到∠A=∠C，再利用线段和差得到AE=CF，利用SAS证明结论．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，∴AE=CF，又∵AB=CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定方法，利用平行线的性质得到∠A=∠C．20．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于E．（1）说明△ACD≌△BCF的理由；（2）BE与AD的长度关系是，请说明理由．【答案】（1）理由见解析；（2）理由见解析．【分析】（1）两三角形已经具备一边一角的条件，由已知可再找一角的条件，利用ASA来说明理由；（2）结合（1）的结论可得到AD=BF，只需判断BF与BE之间的数量关系即可．【详解】（1）证明：如图所示，∵∠ACB=90°，∴∠BCF=90°．

在和中，

（2）BE与AD之间的数量关系是理由如下：∵AD平分∠BAC，在和中，

∴AD=BF.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的中点的性质等知识点，熟知三角形全等的判定与性质是解题的基础；作为连续性问题，上一问题的结论对后面问题的提示和帮助作用不可忽视．21．如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，FD∥BC交AC于点D．（1）求证：△ABF≌△ADF；（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周长．【答案】（1）见详解；（2）10【分析】（1）由“AAS”可证△DAF≌△BAF；（2）由全等三角形的性质得AD=AB＝8，BF=DF，结合BE＝7，AB＝8，AE＝5，即可求解．【详解】（1）证明：∵FD∥BC，∴∠ADF＝∠C，∵∠ABE＝∠C，∴∠ADF＝∠ABF，∵AF平分∠BAE，∴∠DAF＝∠BAF，又∵AF＝AF，∴△ABF≌△ADF（AAS）；（2）∵△ABF≌△ADF，∴AD=AB＝8，BF=DF，∵AE＝5，∴DE=8-5=3，∴EF+DF=EF+BF=BE=7，∴△EFD的周长=EF+DF+DE=7+3=10．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握“AAS”证三角形全等，是解题的关键．22．数学活动课上，同学们探究了角平分线的作法．下面给出三个同学的作法：小红的作法如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，再过点O作MN的垂线，垂足为P，则射线OP便是∠AOB的平分线．小明的作法如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．小刚的作法如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，则射线OP便是∠AOB的平分线．请根据以上情境，解决下列问题(1)小红的作法依据是．(2)为说明小明作法是正确的，请帮助他完成证明过程．证明：∵OM＝ON，OC＝OC，，∴△OMC≌△ONC()(填推理的依据)(3)小刚的作法正确吗?请说明理由【答案】（1）等腰三角形三线合一定理；（2）CM=CN，边边边；（3）正确，证明见详解．【分析】（1）利用等腰三角形三线合一定理，即可得到结论成立；（2）利用SSS，即可证明△OMC≌△ONC，补全条件即可；（3）利用HL，即可证明Rt△OPM≌Rt△OPN，即可得到结论成立．【详解】解：（1）∵OM=ON，∴△OMN是等腰三角形，∵OP⊥MN，∴OP是底边上的高，也是底边上的中线，也是∠MON的角平分线；故答案为：等腰三角形三线合一定理；（2）证明：∵OM＝ON，OC＝OC，CM=CN，∴△OMC≌△ONC（边边边）；∴∠MOC=∠NOC，∴OC平分∠AOB；故答案为：CM=CN，边边边；（3）小刚的作法正确，证明如下：∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠OMP=∠ONP=90°，∵OM=ON，OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），∴∠MOP=∠NOP，∴OP平分∠AOB；小刚的作法正确．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质进行证明．23．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：（1）PC＝cm．（用t的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(10﹣2t)；（2）t＝2.5；（3）存在；v的值为2.4或2【分析】（1）根据题意求出BP，计算即可；（2）根据全等三角形的判定定理解答；（3）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答.【详解】解：（1）∵点P的速度是2cm/s，∴ts后BP=2tcm，∴PC=BC−BP=(10−2t)cm，故答案为：(10﹣2t)（2）当t=2.5时，△ABP≌△DCP，∵当t=2.5时，BP=CP=5，在△ABP和△DCP中，∴△ABP≌△DCP；（3）∵∠B=∠C=90°，∴当AB=PC,BP=CQ时,△ABP≌△PCQ，∴10−2t=6，2t=vt，解得，t=2，v=2，当AB=QC,BP=CP时,△ABP≌△QCP，此时，点P为BC的中点，点Q与点D重合，∴2t=5,vt=6，解得，t=2.5，v=2.4，综上所述，当v=1或v=