第02讲 中心对称（解析版）

第02讲中心对称课程标准学习目标①中心对称及其性质②中心对称作图③中心对称图形④关于原点对称的点的坐标掌握中心对称及其中心对称的性质能够熟练的进行中心对称作图掌握中心对称图形的概念以及中心对称图形的性质掌握点关于原点对称的点的坐标特点，能够熟练的进行坐标的求解知识点01中心对称的定义中心对称的定义：如图，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点。即：△ABC绕点O旋转180°与△A'B'C'完全重合，则△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，点O是对称中心，A与A'，B与B'，C与C'都是对称点，中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。题型考点：①概念理解。②中心对称判断。【即学即练1】1．下列说法中，正确的是（）A．形状和大小完全相同的两个图形成中心对称 B．成中心对称的两个图形必重合 C．成中心对称的两个图形形状和大小完全相同 D．旋转后能重合的两个图形成中心对称【解答】解：A、成中心对称的两个图形，形状和大小完全相同，但形状和大小完全相同的两个图形不一定成中心对称，故错误；B、成中心对称的两个图形能重合，但是绕中心旋转180°后能重合，未旋转时它们不是必须重合，故错误；C、正确；D、旋转180°，能重合的两个图形成中心对称，故错误．故选：C．【即学即练2】2．下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是平移变换图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是旋转变换图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．知识点02中心对称的性质中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；即。②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。即：。③中心对称的两个图形对应边平行或共线。题型考点：①性质理解。②利用性质求值。【即学即练1】3．如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（）A．OC＝OC′ B．OA＝OA′ C．BC＝B′C′ D．∠ABC＝∠A′C′B′【解答】解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确．故选：D．【即学即练2】4．如图所示，△A′B′C′与△ABC关于O成中心对称，那么AO＝A′O，BO＝B′O，CO＝C′O，点A、O与A′三点在同一直线上，B、B′、O三点在同一直线上，C、C′、O三点在同一直线上．【解答】解：△A′B′C′与△ABC关于O成中心对称，那么AO＝A′O，BO＝B′O，CO＝C′O，点A、O与A′三点在同一直线上；B、B′、O三点在同一直线上；C、C′、O三点在同一直线上；故答案为：A′O；B′O；C′O；A′；B、B′、O；C、C′、O．【即学即练3】5．如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC＝3，OD＝4．则AB的长可能是（）A．3 B．4 C．7 D．11【解答】C解析：∵点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，∴OB＝OD＝4，AD＝BC＝3，∵BD﹣AD＜AB＜BD+AD，∴5＜AB＜11，故选：C．【即学即练4】6．如图，BO是等腰三角形ABC的底边中线，AC＝2，AB＝4，△PQC与△BOC关于点C中心对称，连接AP，则AP的长是（）A．4 B． C． D．【解答】解：∵BO是等腰三角形ABC的底边中线，∴AO＝CO＝AC＝1，∴BO＝＝＝，∵△PQC与△BOC关于点C中心对称，∴CQ＝CO＝1，∠Q＝∠BOC＝90°，PQ＝BO＝，∴AQ＝AO+CO+CQ＝3，∴AP＝＝＝2．故选：D．知识点03中心对称图形中心对称图形的定义：一个图形绕某一点旋转180°后，如果旋转后的图形能够与旋转前完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做图形的对称中心。中心对称图形的性质：性质1：对应点连线都经过对称中心，且被对称中心平分。性质2：对应线段平行或共线。性质3：对应角相等。性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个全等的图形。特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。题型考点：①中心对称图形的判断。②利用中心图形的性质求值。【即学即练1】7．一张薄纸，一双巧手，在一剪一刻间幻化出千姿百态的美丽图案，令人叹为观止，这就是剪纸艺术．剪纸作品形式多样，以下剪纸作品中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C、既是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：B．【即学即练2】8．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝2，求BB′的长为8．【解答】解：∵是一个中心对称图形，A为对称中心，∴△ABC≌△AB′C′，∴AB＝AB′，∵∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝2，∴AB＝4，∴AB′＝4，∴BB′＝8，故答案为：8．【即学即练3】9．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为12．【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积＝×6×8＝24，∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝×24＝12．故答案为：12．【即学即练4】10．如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）【解答】解：分割法如图所示：知识点04中心对称与中心对称图形作图中心对称与中心对称图形的作图：步骤：①确定图形的关键点与对称中心。②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离相等。得到对称点。③按照原图形连接各对称点。找图形的对称中心：连接任意两组对称点得到两条线段，这两条线段的交点就是对称中心。题型考点：①中心对称图形的判断。②利用中心图形的性质求值。【即学即练1】11．如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了，请你帮排版工人找到对称中心O的位置．【解答】解：①连接CC′，取线段CC′的中点，即为对称中心O．②连接BB′、CC′，两线段相交于O点，则O点即为对称中心．【即学即练2】12．如图，已知四边形ABCD和点P，画四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点P成中心对称．【解答】解：如图，四边形A'B'C'D'为所作．知识点05关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标：关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数。即若点与点关于原点对称，则有，。关于点对称的点坐标：关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。题型考点：①利用对称特点求点的坐标以及求值。【即学即练1】13．点（3，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（）A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，2） D．（﹣2，3）【解答】解：点（3，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（﹣3，2）．故选：A．【即学即练2】14．点A（a﹣1，﹣6）与点B（﹣3，1﹣b）关于原点对称，则（a+b）2023的值为﹣1．【解答】解：由题意，得a﹣1+（﹣3）＝0，﹣6+（1﹣b）＝0，解得，a＝4，b＝﹣5，∴（a+b）2023＝（4﹣5）2023＝﹣1．故答案为：﹣1．题型01中心对称与中心对称图形【典例1】第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都开幕．下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（）A．北京大学 B．中国人民大学 C．北京体育大学 D．北京林业大学【解答】解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：C．【典例2】中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．​【解答】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故选：D．【典例3】数学中的对称之美无处不在，下列是小明看到的他所在小区的垃圾桶上的四幅垃圾分类标志图案，如果不考虑图案下面的文字说明，那么这四幅图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；B、是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；故选：A．【典例4】2023年第31届世界大学生运动会在成都举行，吉祥物“蓉宝”深受网民喜爱，结合你所学知识，在下列四个选项中，能够和“蓉宝”（如图）的图片成中心对称的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选不符合题意；C、是中心对称图形，故此选符合题意；D、不是中心对称图形，故此选不符合题意．故选：C．【典例5】下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【解答】解：根据中心对称的概念，知②③④都是中心对称．故选：C．【典例6】下列图形中，点O是该图形的对称中心的是（）A． B． C． D．【解答】解：由中心对称图形的定义，得到选项B中的图形是中心对称图形，并且点O是该图形的对称中心，故B符合题意；选项A、C、D中的图形不是中心对称图形，故A、C、D不符合题意．故选：B．题型02中心对称的性质【典例1】如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（）A．OB＝OB' B．∠ACB＝∠A'B'C' C．点A的对称点是点A' D．BC∥B'C'【解答】解：∵△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，∴OB＝OB'，∠ACB＝∠A'C'B'，点A的对称点是点A'，BC∥B'C'，故A，C，D正确，故选：B．【典例2】如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，，AE＝3，∠D＝90°，则AC＝1．【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，∴AC＝CD，DE＝AB＝，∵AE＝3，∠D＝90°，∴AD＝＝＝2，∴AC＝AD＝1，故答案为：1．【典例3】如图矩形的长为10，宽为4，点O是各组三角形的对称中心，则图中阴影面积为（）A．20 B．15 C．10 D．25【解答】解：在矩形中，点O是各组三角形的对称中心，∴，故选：A．【典例4】如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是（）A． B．1.25 C．1.5 D．无法确定【解答】解：连接AF，BG，∵正方形的边长分别为3和2，∴面积分别为9和4，∵正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，∴S阴影＝（9﹣4）＝1.25．故选：B．【典例5】如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）​A． B． C． D．【解答】解：连接BD，AC，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAO＝∠DAO＝60°，BD⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴，∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，在Rt△OBE中，，，在△BEO和△BFO中，，∴△BEO≌△BFO（AAS），∴OE＝OF，BE＝BF，∵∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴，同法可证，△DGH，△EOH，△OFG都是等边三角形，∴，，∴四边形EFGH的周长为．故选：A．【典例6】如图，把正方形ABCD绕着它的对称中心O沿着逆时针方向旋转，得到正方形A′B′C′D′，A′B′和B'C′分别交AB于点E，F，在正方形旋转过程中，∠EOF的大小（）A．随着旋转角度的增大而增大 B．随着旋转角度的增大而减小 C．不变，都是60° D．不变，都是45°【解答】解：如图所示，连接AO，BO，A'O，AB'，∵正方形ABCD绕着它的对称中心O沿着逆时针方向旋转，得到正方形A′B′C′D′，∴AO＝B'O，∴∠OAB'＝∠OB'A，又∵∠OAE＝∠OB'E＝45°，∴∠EAB'＝∠EB'A，∴AE＝B'E，又∵EO＝EO，∴△AOE≌△B'OE（SSS），∴∠AOE＝∠B'OE．同理可得，∠BOF＝∠B'OF，∴∠EOF＝∠B'OE+∠B'OF＝∠AOB＝90°＝45°．∴在正方形旋转过程中，∠EOF的大小不变，是45°．故选：D．题型03关于原点对称的点【典例1】点P（﹣2，5）关于原点对称的点的坐标是（）A．P1（2，﹣5） B．P1（2，5） C．P1（﹣2，﹣5） D．P1（5，﹣2）【解答】解：点P（﹣2，5）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣5）．故选：A．【典例2】在平面直角坐标系中，点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b），则ab的值为（）A．8 B．﹣8 C．32 D．﹣32【解答】解：∵点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b），∴a+5＝3，b＝4，∴a＝﹣2，∴ab＝（﹣2）×4＝﹣8．故选：B．【典例3】已知在平面直角坐标系中，点A（m﹣3，1﹣m）关于坐标原点对称的点位于第一象限，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1 B．m＜1 C．1＜m＜3 D．m＜3【解答】解：∵点A（m﹣3，1﹣m）关于坐标原点对称的点位于第一象限，∴点A在第三象限，由第三象限内点的坐标特点，横坐标、纵坐标都为负数，∴，解得：1＜m＜3．故选：C．【典例4】若点P（m，1）关于原点的对称点Q（﹣2，n），那么m+n＝．【解答】解：∵点P（m，1）关于原点的对称点是Q（﹣2，n）∴m＝2，n＝﹣1，∴m+n＝2﹣1＝1．故答案为：1．【典例5】已知：点A（a+b，3a﹣b）与点B（﹣2，6）关于原点对称．（1）分别求a，b的值；（2）求点A关于x轴的对称点的坐标；（3）求点B关于y轴的对称点的坐标．【解答】解：（1）∵点A（a+b，3a﹣b）与点B（﹣2，6）关于原点对称，∴，解得，∴a＝﹣1，b＝3；（2）由（1）得，点A的坐标为（2，﹣6），∴点A关于x轴的对称点的坐标（2，6）；（3）点B关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣6）．题型04几何变换类型【典例1】点（4，3）经过某种图形变换后得到点B（4，﹣3），这种图形变换可以是（）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．绕原点逆时针旋转90° D．绕原点顺时针旋转90°【解答】解：∵点（4，3）关于x轴对称点的坐标为（4，﹣3），∴点（4，3）经过某种图形变换后得到点B（4，﹣3），这种图形变换可以是关于x轴对称，故选：A．【典例2】观察图，依次几何变换顺序正确的是（）A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转【解答】解：依次几何变换顺序是轴对称、平移、旋转，故选：C．【典例3】已知，在平面直角坐标系中，M（2，2），规定“把点M先关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2022次这种变换后，点M的坐标变为（）A．（﹣2018，﹣2） B．（﹣2020，2） C．（﹣2019，2） D．（﹣2021，﹣2）【解答】解：由题可得，第2022次变换后的点M在x轴上方，∴点M的纵坐标为2，横坐标为2﹣2022×1＝﹣2020，∴点M的坐标变为（﹣2020，2），故选：B．【典例4】在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点，已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样由P1依次得到P2，P3，P4……pn，若点P1的坐标为（2，0），则点P2023的坐标为（）A．（2，0） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣3，3） D．（1，4）【解答】解：根据题意得点P1的坐标为（2，0），则点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（﹣3，3），点P4的坐标为（﹣2，﹣1），点P5的坐标为（2，0），…，而2023＝4×505+3，所以点P2023的坐标与点P3的坐标相同，为（﹣3，3）．故选：C．1．下列选项中的图形是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的为（）A． B． C． D．【解答】解：A．不是中心对称图形，故A选项不符合题意；B．不是中心对称图形，故B选项不符合题意；C．是中心对称图形，故C选项符合题意；D．不是中心对称图形，故D选项不符合题意；故选：C．2．最近北京2022年冬奥会的吉祥物“冰墩墩”成为了互联网的“顶流”，他呆萌的形象受到了人们的青睐，结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和如图的图片成中心对称的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选不符合题意；D、是中心对称图形，故此选符合题意．故选：D．3．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状不可能是（）A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形【解答】解：如图，连接AC，则AC过点O，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC，OA＝OC，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AECF一定是平行四边形，在点E移动的过程中，移动存在AC⊥EF的时候，此时四边形AECF是菱形，当点E移动到点B时，四边形AECF即变为四边形ABCD，此时是矩形，在移动的过程中，不存在AC⊥EF且AC＝EF的情况，因此不可能是正方形，故选：C．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（）A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）【解答】解：由图可知，点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点C′关于（﹣1，0）对称，所以△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称，故选：B．5．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AC＝4．作出△ABC关于点A成中心对称的△AB'C'，其中点B对应点为B'，点C对应点为C'，则四边形CB'C'B的面积是（）A．128 B． C．64 D．【解答】解：如图所示，△ABC中，∵∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AC＝4．∴∠ABC＝30°，AB＝2AC＝8，∴，∵作出△ABC关于点A成中心对称的△AB'C'，连接B′C，BC′，∴AB＝AB'，AC＝AC'，∴四边形CB'C'B是平行四边形，∴四边形CB'C'B的面积为，故选：D．6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，则点A与点B′之间的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，∴∠CO′B′＝∠BOC＝90°，∴O′C＝OC＝OA＝AC＝2，∴AO′＝6，∵OB＝OD＝O′B′＝BD＝8，在Rt△AO′B′中，根据勾股定理，得AB′＝＝10．则点A与点B′之间的距离为10．故选：C．7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，OA＝6．OC＝8．若直线y＝2x+b把矩形面积两等分，则b的值等于（）A．5 B．2 C．﹣2 D．﹣5【解答】解：∵OA＝6．OC＝8，∴A（0，6），C（8，0），∴AC中点的坐标为（4，3），把（4，3）代入y＝2x+b得，2×4+b＝3，解得b＝﹣5．故选：D．8．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为4的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1.（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意，A1、A3、A5、•••、A2n+1在第一象限，它们的纵坐标为边长为4的等边三角形的高，即它们的纵坐标为4×＝2，∵点A1的横坐标为2，点A2的横坐标为4+2，点A3的横坐标为4×2+2，点A4的横坐标为4×3+2，•••所以点A2n+1的横坐标为4×（2n+1﹣1）+2，即8n+2，即点A2n+1的坐标是（8n+2，2）．故选：A．9．图1和图2中所有的小正方形都全等，若将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，则应该放到的这个位置的序号是．【解答】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．故答案为：③．10．已知点P（a+3b，3）与Q（﹣5，a+2b）关于原点对称，则a+b＝．【解答】解：∵点P（a+3b，3）与点Q（﹣5，a+2b）关于x轴对称，∴，解得：，∴a+b＝﹣11．故答案为：﹣11．11．如图，坐标平面内的两个三角形是由一个经过某种变换得到另一个的，点P、Q是一对对应点，已知点P（m，2）是第二象限内，阴影三角形内部的一个点．则点Q的坐标为（可用含m的式子表示）．【解答】解：如图，∵A（﹣3，1），B（﹣4，3），C（﹣1，2），A′（2，﹣3），B′（1，﹣1），C′（4，﹣2），∴△A′B′C′是△ABC先向右平移5单位长度，再向下平移4个单位长度，∵点P（m，2）时△ABC内部的一个点，且点P、Q是一对对应点，∴Q（m+5，﹣2）．故答案为：（m+5，﹣2）．12．如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，点P在AD上，且AP＝2，若直线l经过点P，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点Q，则线段PQ的长度为．【解答】解：连接AC，BD交于O，过C作CM⊥AD于M，如图：∵四边形ABC是平行四边形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∵PQ将平行四边形的面积平分，∴O在PQ上，由平行四边形的中心对称性可知CQ＝AP＝2，∴DP＝BQ＝1，∵∠MDC＝∠ABC＝60°，∴∠MCD＝30°，∴DM＝CD＝1，CM＝DM＝，∴DM＝DP，∴M，P重合，∴CP＝，∠PCQ＝∠DPC＝90°，∴PQ＝＝＝，故答案为：．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，点B的坐标为（a，b）．（1）当a＝6，b＝3时，若一次函数y＝kx+4的图象平分矩形OABC面积，求k的值；（2）若P为矩形OABC内部一点，且△POA的面积与△POC的面积相等，求证：点P在OB上．【解答】解：（1）如图所示，连接AC，OB，交于点Q，则点Q为矩形ABCO的对称中心，∵一次函数y＝kx+4的图象平分矩形OABC面积，∴一次函数