2023年高考数学第02讲 平面向量的分解及坐标运算

第02讲平面向量的分解及坐标运算

一、知识概要

1平面向量基本定理及坐标表示

(1)平面向量基本定理:若4,q是同一平面内的两个不共线向量,则对于这一平面内的任意向

量4,存在唯一一对实数4、4,使a=4G+，其中，不共线的向量©，6叫作表示这一平面内

所有向量的一组基底.

⑵平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中，分别取与x轴、)，轴方向相同的两个单位向量

6,e2作为基底，对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y,使

d=唱+沁，这样，平面内的任一向量。都可以由x,)，唯一确定，把有序数对(x,y)叫作向量"

的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作。在x轴上的坐标,y叫作。在)，轴上的坐标.

2平面向量的坐标运算

⑴加法:若a=(玉,=(々,必)，则=(不+/，,+%),

(2)减法:若〃=(x，x),Z?=(々,％)，则。一匕=(不一々,y-%),

⑶实数与向量的乘法:若a=(x,y),则布=(/U"y)(/leR).

⑷向量模的求法:若。=(%y)厕同=y]x2+y2.

(5)向量坐标的求法：

1)若向量的起点是坐标原点厕终点坐标即为向量的坐标.

2)设A(N，y),8(孙为)，则

22

AB=(JC2-xvy2-^),|=,J(x2-xt)+(j2-).

3平面向量共线的坐标表示

设。=(工],乂),6=(工2，%)，其中人力°厕。〃匕=%%一9乂=0.

二、题型精析

[例1]

如图1—8所示，在一A6C中,AM:A5=1:3,AN：AC=1:4,

8N与。W交于点£,48=4,4。="用4,b表示AE.

图1-8

【策略点击】

本例具有探索的特点，即通过三点共线,利用平面向量的分解定理求解这里M、E、C三点

共线与N、E、B三点共线是解题的核心条件，为此增加辅助量力与/,即设

ME=XMC,为wR,NE=tNB,teR,则问题必然轻松获解.

【解】

11

由已知得AM=—AB,4V=—AC,设ME=AMC,2eR，则

34

AE=AM+ME=AV+2MC,而MC=AC-AM

/.AE=AM+^AC-AM^^AB+AAC-^AB

即AE=1K)AB+/L4C,

同理，设NE=/NB,/eR^J

AE=AN+NE=-AC+tNB=-AC+t(AB-AN]=-AC+t\AB--AC

44'>4I4

即AE=t^-^]AC+tAB.

所以有（g—（）AB+4AC=（；—；]AC+fAB,

12

3一U23

由AB与AC是不共线向量彳导':解得力=7T/=三.

.1t1111

[44

3232

AE=—AB+—AC,^AE=—a+—b.

11111111

【例2】（1）已知点A（4,0）,8（4,4）,C（2,6）,0（0,0）.试用向量方法求AC与。6的交点P的坐

标.

⑵已知a=（l,2）,6=（〃?/）.若“+2〃与2。一匕平行求实数〃，的值；

⑶设0A=（2,5）,08=（3,1）,0。=（6,3）.在线段。。上是否存在点M,使

MALMB-

（4）已知以=（3,1）,。8=（—1,2）,OC_L08,8C//Q4,且。。+。4=0C,求。。的

坐标.

【策略点击】

对于（1），解题的关键是运用三点共线的充要条件，可以巧妙地引入双参数丸和/解之,也可利

用三点共线直接运算，但不引入参数，此时思路简单,运算量却较大.对于（2），运用两个向量平行的

充要条件，在直角坐标系下表现为对应坐标成比例.对于⑶，抓住两向量共线的充要条件与两向量

垂直的充要条件.对于（4）,由0。_1058。//04得两个等式,解方程组求得。。,再利用条件

。。=。。一。4求得。。.

（1）【解法1】设=42,。三点共线,二。尸=£04+（1—。0。,

：.t-OA+(\-t)OC=AOB.

【解法2】设P(x,y),贝ijAP=(x—4,y),PC=(2—x,6—y),8P=(x—4,y—4),

又•。4=(4,0),。。=(2,6),。8=(4,4),二可得,2

A=-.

4

OP=(x,y).

ARC三点共线/.(x-4)(6-y)-y(2-x)=0,

联立(1)(2)并解之彳寻％=3,丁=3,即。(3,3).

&+2〃与24-〃平行,：.1+2'"=',解得——J.

2-m32

⑶设QM=)。可«0,1],则0M=(6/,3)即用(6r,3)

MA=OA-OM^(2-6t,5-3t),MB=OB-OM=(3—6『,1一3。

若则M4MB=(2_6f)(3-6f)+(5_3f)(l_3f)=0,

即45/-48r+ll=0,得/=工或，=口.

315

存在点坐标为(2,1)或H).

⑷设0C=(x,y),由0CL08得:一x+2y=0,又8C///Q4得BC=(3&,后)(&wR).

而8C=。。一08=(兀+1,k2),.0+1=3&-2),(2)联立6出,解方程组得:》=14,3；=7,

即OC=(14,7).故8=00—04=(14,7)—(3,1)=(11,6).

方法提炼

1利用两向量共线解题的技巧

⑴一般地，在求与一个已知向量。共线的向量时，可设所求向量为2a(/ieR),然后结合其他条件

列出关于力的方程，求出A的值后代人几。即可得到所求的向量.

(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时厕利用“若a=(玉，X)力=(々，%)，则。的

充要条件是玉必=々必,解题比较方便.

2向量坐标运算的综合应用

(1)平面向量的坐标运算，将几何问题转化为代数问题，通过向量的代数运算使几何问题得到解决,

这是数形结合思想的重要体现，也是中学数学中代数与几何的一个交汇点.

(2)向量的坐标法是用向量证明几何问题的一种方法，它可将抽象的逻辑推理转化为单纯的向

量的坐标运算，降低难度，但建系要求适当.否则将带来烦琐的运算.

⑶以向量为载体，考查三角变换及三角函数的性质，体现了向量与三角函数的联系.

3解决平面向量基本定理与坐标运算问题要关注的易错点

(1)注意0的方向是任意的，解题时不要遗漏对零向量的讨论，零向量与任一向量平行.

(2)若为非零向量，当。/妨时,。力的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形而

导致出错.

(3)在坐标运算中，不要混淆向量共线与向量垂直的充要条件.若

。=(%,声)]=(々,%),。/必(包括共线)的充要条件是不%一马乂=°，。，。的充要条件是

中2+。％=0.

三、易错警示

[例1]

已知A(2,1),8(3,2),C(—1,4)若AB、C是平行四边形的3个顶点，求第四个顶点。的

坐标.

错解:设点。的坐标为(x,y),则8A=(-1,-l),BC=(-4,2),B£>=(x-3,y-2),又知

।x—3=-1+4)=-5,x=-2,

BD=BA+BCt^\I)/J

y—2=—1+2=1,y=3.

因此所求的点D的坐标为(一2,3).

【评析及正解】

点。的坐标有可能是(-2,3),但上述解法是不完整的.因为题中并末标明平行四边形

A8CD,这是一种思维定势在作怪.所以在解答中要根据定.点的顺序分类讨论，即平行四边形

ABC。或平行四边形ADBC或平行四边形ABOC,有3种可能的情况.

正确的解法如下：

【解】

设点D的坐标为(x,y)，则BA=(-1,-1),BC=(-4,2),BD=(x-3,y-2).

如图1—9所示，当四边形为平行四边形A6Q9时，有BD=84+BC,则

解得;二:

因此所求的点D的坐标为(一2,3).

如图1—10所示，当四边形为平行四边形AD8C时,C4=(3,-3),CB=(4,—2),

=(x+l,y-4).

x+1=3+4=7,

有CQ=C4+C8厕|

y—4=-3+(—2)=-5,

x=6

解得，

因此所求的点。的坐标为(6,—1).

如图1—11所示，当四边形为平行四边形ABOC时,AB=(1,1),AC=(—3,3),AD

=(3-2,丁一1).

有……。，则一工官口：

X-0

解得I二’因此所求的点。的坐标为（0,5）.

y-D.

综上所述，所求的点。的坐标为（-2,3）,（6,—1）或（0,5）.

[例2]

如图1—12所示，已知三定点A（2,l）,B（0,—1）、C（—2,1）；三动点。、E、”满足

AD=tAB,BE=，BC,DM=fDE,yO,l]

⑴求动直线OE斜率的变化范围;

（2）求动点M的轨迹方程.

错解：(1)略.

(2)1.,DM—tDE,2t—2,y+2•一1)

=r(-2r+2r-2,2r-l+2r-l)

=r(-2,4r-2)=(-2/,4/2-2r),

x=2(l-2r),

=—,BPx2=4y.

y=(i-2f)2

即所求轨迹方程为%2=4y.评析及正解上述解法中消参（元）意识不强,含参数问题一般都要

注意变量的范围，而错解没有注意范围的限定.

正确的解法如下：

【解】

（1）设£＞（%,%）,E小,%）,M（x,y）.

由AZ)tAB,BE-tBC,可知(x。—2,yD—1)=f(-2,—2)

x=­2/+2,__Xc=-2r,

。n同理1*

yD=-2t+1,M=2I.

2r-l-(-2r+l)_

-2f-(-2f+2)-1-2r

DM=tDE,:.(x+2t-2,y+2t-l)^t(-2t+2t-2,2t-\+2t-1)

二即…

积1

【评析及正解】

上述解法中消参（元）意识不强，含参数问题一般都要注意变量的范围，而错解没有注意范围的

限定.

正确的解法如下：

解⑴设D(XD,yD),E(XE,yE),M(x,y).

由AD=tAB,BE=tBC、可知(和一2,y0-1)=/(一2,-2),

——2t+2,Xp=-2/

,同理

yD=-2t+\%=2r—1

-k人一%

…KDE?G[0,1],.'.A:D£

『X。-2r-(-2r+2)

(2)【解法1]DM=tDE,(x+2r-2,y+2r-1)=t(-2t+2t-2,2t-\+2t-i)

/2\(x=2(l-2t),x22

=t(-2,4f-2)=(-2f,4r-2。。-:.y=~,a即n/=4y.

te[0,1],/.x=2(1-2t)e[-2,2].

即所求轨迹方程为x2=4、》目-2,2].

【解法2】由平面向量基本定理得。力=(\-t)OA+tOB,

OE=(\-t)OB+tOC,OM=(1-t)OD+tOE=(l-t)2OA+2^-t)tOB+t2OC

则点坐标为(x,y)，由OA=(2,1),OB=(0,-1),OC=(-2,1),得

消去得f=4y,Ze[o,l],.-.x=2(l-2r)e[-2,2].

四、难题攻略

网

(2019年高考数学折江卷第17题)已知正方形A8CO的边长为1,当每个4(2=1,2,3,4,5,6)

取遍±1时,RAB+4BC+4cO+++的最小值是,最大值

是.

【破难析疑】本题考查平面向量的模，可以适当建立平面直角坐标系，将几何问题代数化，运用坐

标的不同取值求解，也可以求模后结合配方法讨论其最值或利用绝对值不等式的性质求解.

【解法1】以点A为原点,A及所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，因为正方形

ABCO的边长为1,则4(0,0),8(1,0),。(1』),。(0,1),则48=

(1,0),BC=(0,1),CD=(-1,0),DA=(0,-1),AC=(1,1),BD=(-1,1)

则|A|AB+A,BC+4CD+4DA+&AC+A.6BD^

=J(4-4+4-4)2+(4-4+4+/)

则当4=4=%4=4=4=i，4=T时，

^AB+^BC+^CD+^DA+^AC+^BE^取得最小值0

当4=4=1时,K+ZBC+4CD+4DA+4AC+4

=J(4-4)2+(4-4+2)2“7(l+l)2+d+l+2)2=2A/5

同理可讨论人，4的另外3种情况，都有

14AB+%BC+4c£>+乙。4+44。+4叫,275

.•J4A5+