2023-2024学年人教A版必修第二册 7-2-2复数乘除运算 学案

7.2.2复数乘、除运算【学习目标】(1)掌握复数代数形式的乘法和除法运算．(2)理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(3)会利用复数代数形式的乘法和除法及运算律解决相关问题．题型1复数的乘法运算【问题探究1】类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？例1计算下列各题．(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.学霸笔记：(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便．例如平方差公式、完全平方公式等．跟踪训练1(1)若z＝(3＋i)(2－i)，则z＝()A．5＋iB．7＋iC．5－iD．7－i(2)设i为虚数单位，若复数(1－i)(1＋ai)是实数，则实数a的值为()A．－1B．0C．1D．2题型2复数的除法运算【问题探究2】类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？例2计算：(1)2-(2)1+i1-i题后师说两个复数代数形式除法运算的一般步骤跟踪训练2(1)若复数z满足z(1＋i)＝4－3i，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)(多选)已知复数z＝13-i3-A．z的虚部是1B．z在复平面内对应点落在第二象限C．z(1－i)＝5－3iD．zz＝17题型3在复数范围内解方程例3在复数范围内解方程：x2＋4x＋6＝0.题后师说在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法跟踪训练3已知z＝2＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p、q的值及方程的另一个根．随堂练习1．(2－i)(1＋i)＝()A．3＋iB．1－2iC．3－iD．32．若复数z＝i4-3i，则z＝A．－325+425C．－325-4253．设z1＝3＋2i，z2＝1＋mi(其中i为虚数单位)，若z1z2为纯虚数，则实数m＝()A．23B．－C．－32D．4．已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，则实数p＝________，实数q＝________．课堂小结1.复数的乘法运算．2．复数的除法运算．3．在复数范围内解方程．7．2.2复数乘、除运算问题探究1提示：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.例1解析：(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2＝1－i2＋4＋i2＋4i＝5＋4i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝9－12i＋33i－44i2＋2i＝53＋23i.跟踪训练1解析：(1)因为z＝(3＋i)(2－i)＝7－i，所以z＝7＋i.故选B.(2)(1－i)(1＋ai)＝1＋ai－i－ai2＝1＋a＋(a－1)i，它是实数，则a－1＝0，a＝1.故选C.答案：(1)B(2)C问题探究2提示：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成a+bic+di的形式，再把分子和分母都乘以(c－di)即a+bic+di＝a+bic-dic+dic-di＝ac+bd+bc例2解析：(1)2-i1+2i＝2-(2)方法一原式＝1+i226＋2+3i3+2i3方法二原式＝1+i226＋2+3ii-3i-跟踪训练2解析：(1)因为z(1＋i)＝4－3i，所以z＝4-3i1+i＝4-3i1所以复数z在复平面内所对应的点为(12，－72)(2)由题意得z＝13-i3-i＝13-i对于A：z的虚部是1，故A正确；对于B：z＝4－i，在复平面内对应点为(4，－1)落在第四象限，故B错误；对于C：z(1－i)＝(4＋i)(1－i)＝4－4i＋i＋1＝5－3i，故C正确；对于D：zz＝(4＋i)(4－i)＝42－i2＝17，故D错误．故选AC.答案：(1)D(2)AC例3解析：方法一因为x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2，因为(2i)2＝(－2i)2＝－2，所以x＋2＝2i或x＋2＝－2i，即x＝－2＋2i或x＝－2－2i，所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±2i.方法二由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，所以a又因为b≠0，所以a解得a＝－2，b＝±2.所以x＝－2±2i，即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±2i.跟踪训练3解析：因为z＝2＋i是方程x2＋px＋q＝0的一个根，所以(2＋i)2＋p(2＋i)＋q＝0，即3＋q＋2p＋(p＋4)i＝0，所以3+q+2p=0，p+4=0所以方程为x2－4x＋5＝0，因为x1＋x2＝4，所以方程的另一个根是x＝2－i.[随堂练习]1．解析：由题意可得：(2－i)(1＋i)＝2＋i－i2＝3＋i.故选A.答案：A2．解析：由z＝i4-3i＝i4+3i25＝－325+4答案：C3．解析：z1z2＝(3＋2i)(1＋mi)＝3＋3mi＋2i－2m＝3－2m＋(3m＋2)i，因