高考数学一轮复习 第十九单元 算法初步、复数、推理与证明 高考达标检测（五十五）推理3方法-类比、归纳、演绎 理-人教版高三数学试题

高考达标检测（五十五）推理3方法——类比、归纳、演绎一、选择题1．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.A．①②④ B．①③④C．②③④ D．①②③④解析：选A根据题意，依次分析4个推理：对于①，在推理过程中由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理；对于②，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；对于③，不是合情推理，对于④，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理，所以是合情推理的是①②④.2．已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形．由①②③组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是()A．正方形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等C．正方形的对角线相等 D．以上均不正确解析：选C由演绎推理三段论可得，“平行四边形的对角线相等”为大前提，“正方形是平行四边形”为小前提，则结论为“正方形的对角线相等”．3．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()eq\a\vs4\al(1,357,911131517,19212325272931,………)A．731 B．809C．852 D．891解析：选B由题意知，前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.4．某校高二(1)班每周都会选出两位“迟到之星”，在“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是()A．小赵、小谭 B．小马、小宋C．小马、小谭 D．小赵、小宋解析：选A小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，是真话；小谭说：“小赵说的对”，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“迟到之星”是小赵和小谭．5．将正整数排列如下：12345678910111213141516…则图中数2018出现在()A．第44行第83列 B．第45行第83列C．第44行第82列 D．第45行第82列解析：选D由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1936,452＝2025，且1936＜2018＜2025，所以2018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2018－1936＝82，故2018在第45行第82列，选D.6．单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(n)＝()A．3n2－3n＋1 B．3n2－3n＋2C．3n2－3n D．3n2－3n－1解析：选A由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝3×12－3×1＋1＝1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”．12345…20152016201720183579…………40314033403581216………………806480682028……16132………………该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为()A．2019×22015 B．2019×22016C．2018×22017 D．2018×22016解析：选B当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22；当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23；归纳推理得，当第一行为2018个数时，最后一行仅一个数，为2019×22016.8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O­ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为()A．S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)B．S2＝eq\f(1,S\o\al(2,1))＋eq\f(1,S\o\al(2,2))＋eq\f(1,S\o\al(2,3))C．S＝S1＋S2＋S3D．S＝eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋eq\f(1,S3)解析：选A如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·AD))2＝eq\f(1,4)BC2·AD2＝eq\f(1,4)BC2·(OA2＋OD2)＝eq\f(1,4)(OB2＋OC2)·OA2＋eq\f(1,4)BC2·OD2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)OB·OA))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)OC·OA))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·OD))2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3).二、填空题9．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，又y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(A＋B＋C,3)＝3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2).答案：eq\f(3\r(3),2)10．(2018·湛江一模)如图，已知点O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO，并延长交对边于A1，B1，C1则eq\f(OA1,AA1)＋eq\f(OB1,BB1)＋eq\f(OC1,CC1)＝1，类比猜想：点O是空间四面体A­BCD内任意一点，连接AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面BCD，ACD，ABD，ABC于点A1，B1，C1，D1，则有____________．解析：猜想：若O为四面体A­BCD内任意一点，连接AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面BCD，ACD，ABD，ABC于点A1，B1，C1，D1，则eq\f(OA1,AA1)＋eq\f(OB1,BB1)＋eq\f(OC1,CC1)＋eq\f(OD1,DD1)＝1.用等体积法证明如下：eq\f(OA1,AA1)＋eq\f(OB1,BB1)＋eq\f(OC1,CC1)＋eq\f(OD1,DD1)＝eq\f(VO­BCD,VA­BCD)＋eq\f(VO­CAD,VB­CAD)＋eq\f(VO­ABD,VC­ABD)＋eq\f(VO­ABC,VD­ABC)＝1.答案：eq\f(OA1,AA1)＋eq\f(OB1,BB1)＋eq\f(OC1,CC1)＋eq\f(OD1,DD1)＝111．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(ⅰ)男学生人数多于女学生人数；(ⅱ)女学生人数多于教师人数；(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．解析：令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，则z＜y＜x＜2z.①若教师人数为4，则4＜y＜x＜8，当x＝7时，y取得最大值6.②当z＝1时，1＝z＜y＜x＜2，不满足条件；当z＝2时，2＝z＜y＜x＜4，不满足条件；当z＝3时，3＝z＜y＜x＜6，y＝4，x＝5，满足条件．所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.答案：61212．已知coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，coseq\f(π,5)coseq\f(2π,5)＝eq\f(1,4)，coseq\f(π,7)coseq\f(2π,7)coseq\f(3π,7)＝eq\f(1,8)，……(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；(2)若数列{an}中，a1＝coseq\f(π,3)，a2＝coseq\f(π,5)coseq\f(2π,5)，a3＝coseq\f(π,7)coseq\f(2π,7)coseq\f(3π,7)，…，前n项和Sn＝eq\f(1023,1024)，则n＝________.解析：(1)从题中所给的几个等式可知，第n个等式的左边应有n个余弦相乘，且分母均为2n＋1，分子分别为π，2π，…，nπ，右边应为eq\f(1,2n)，故可以猜想出结论为coseq\f(π,2n＋1)coseq\f(2π,2n＋1)·…·coseq\f(nπ,2n＋1)＝eq\f(1,2n)(n∈N*)．(2)由(1)可知an＝eq\f(1,2n)，故Sn＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝1－eq\f(1,2n)＝eq\f(2n－1,2n)＝eq\f(1023,1024)，解得n＝10.答案：(1)coseq\f(π,2n＋1)coseq\f(2π,2n＋1)·…·coseq\f(nπ,2n＋1)＝eq\f(1,2n)(n∈N*)(2)10三、解答题13．在锐角三角形ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.证明：∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＞eq\f(π,2)，∴A＞eq\f(π,2)－B，∵y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数，∴sinA＞sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))＝cosB，同理可得sinB＞cosC，sinC＞cosA，∴sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，向按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求f(6)的值；(2)求f(n)的表达式；(3)求证：当n≥2时，eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)＜eq\f(3,2).解：(1)f(1)＝1，f(2)＝1＋4＝5，f(3)＝1＋4＋8＝13，f(4)＝1＋4＋8＋12＝25，f(5)＝1＋4＋8＋12＋16＝41，f(6)＝1＋4＋8＋12＋16＋20＝61.(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4×(n－2)，f(n－2)－f(n－3)＝4×(n－3)，……f(2)－f(1)＝4×1，∴f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.(3)证明：当n≥2时，eq\f(1,fn－1)＝eq\f(1,2n2－2n)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))，∴eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)＝1＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n－1)－\f(1,n)))＝1＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n).由于g(n)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n)为递增数列，即有g(n)≥g(1)＝1，且g(n)＜eq\f(3,2)，故