2023年新高考名师模拟卷06（原卷版及解析版）

2023新高考名师模拟卷（6）

数学

注意事项：

i.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（共40分）

1.已矢口集合A={x|-24xV2},B={x|x（x-3）＜0},贝A低8）=（）

A.(x|x42或xN3}B.{x|-2<x<0}

C.{xl2<%<3}D.{x|x«-2或xN3}

2.宁的实部与虚部之和为（）

13

D.To

3.函数〃力=节当的图象大致为（）

J—1

4.二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗

歌，体现着我国古代劳动人民的智慧.四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相

连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌的开头一字代表着季节，

每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气，这2

个节气恰好在一个季节的概率为（）

5.已知a=2°3,=log,2.8,c=log97.8,则q,b,C的大小关系为().

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

且在区间(o，T上单调递增的是()

6.下列函数中，以2兀为最小正周期,

y=cos(x+g)D.y=tan2x

7.《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABODE凡其中A8//OC//M,

“羡除”形似“楔体”.“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长mb,c、“深堤指一

条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离相、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间

的距离〃（如图）.已知“=3,b=2,e=l,m=2,n=l,则此“羡除”的体积为（）

8.双曲线K=i（“>0）的一条渐近线方程为片?，月，K分别为该双曲线的左

右焦点，M为双曲线上的一点，则附用+篇的最小值为（）

A.2B.4C.8D.12

二、多选题（共20分）

9.已知C:x2+y2-6x=0,则下述正确的是（）

A.圆C的半径r=3B.点（1，2&）在圆c的内部

C.直线/：x+由y+3=0与圆。相切D.圆C：（x+l『+y2=4与圆c相交

10.已知在正四面体"CD中，E、尸、G、H分别是棱AB,BC,CD,AD的中点,

则（）

A.EF//平面AC。B.AC1BD

C.A31平面FG”D.E、F、G、”四点共面

22

11.如图，已知椭圆C*+*=l（a>8>0）,A,4分别为左、右顶点，用，层分别

为上、下顶点，"，鸟分别为左、右焦点，点尸在椭圆。上，则下列条件中能使

C的离心率为空的是（）

A.\OF\-\OA]=\OB^

B./片84=90°

C.轴，且尸。〃人四

D.四边形必①声的内切圆过焦点kF2

12.已知尸（x）=[：f；cs，若4>0,b>。，则下述正确的是（）

A.F（lg2022）=0B.尸（"）=尸（。）尸®

C.F（ab）>F（a）+F[b｝D.F（a）=bF0

第H卷（非选择题）

三、填空题（共20分）

13.某校高二年级有男生510名，女生490名，若用分层随机抽样的方法从高

二年级学生中抽取一个容量为200的样本，则女生应抽取名.

14.在乂BC中，AO为3C边上的中线，点E在线段4。上，且=若

EB=xAB+yAC,贝！.

15.已知等差数列｛"〃｝中，%=7,4=16将此等差数列的各项排成如下三角形数阵:

则此数阵中第20行从左到右的第10个数是.

16.定义帆（xeR）为与％距离最近的整数，令函数G（x）=WI，如：G图=1,G⑵=2.则

1111111

“+------——+-+，=-------+------——-4-+，=

G（l）G（V2）G（6）G（V4）--------；G（l）G（＞/2）G（,2022）---------

四、解答题（共70分）

17.^^^@008481115=—sinAsinB+sinC；②acos-=6sin4；③

3"2：，

sirBusin?4+$山七+5抽4$皿61中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.

在ABC中，角A,B,C的对边分别为。，h,C,a=2,b=M,,

求C.

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.已知等差数列｛q｝的公差为正数,如与小的等差中项为8,且〃仍=28.

（1）求包｝的通项公式；

（2）从｛q｝中依次取出第3项，第6项，第9项,L,第3”项,按照原来的顺序组成一个新

数列也｝，判断938是不是数列也｝中的项？并说明理由.

19.如图，在三棱台ABC-ABC中，底面—ABC为等边三角形，平面A8C,

AC=2AA,=2A,CI=2,且。为AC的中点.

B

⑴求证：平面A8C1平面A/。；

(2)求平面\BD与平面BBCC夹角的余弦值.

20.为提升教师的命题能力，某学校将举办一次教师命题大赛，大赛分初赛和

复赛，初赛共进行3轮比赛，3轮比赛命制的题目分别适用于高一，高二，高三

年级，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛，限时60分钟，参

赛教师要在指定的知识范围内，命制非解答题，解答题各2道，若有不少于3

道题目入选，将获得“优秀奖”，3轮比赛中，至少获得2次“优秀奖”的教师将进

入复赛.为能进入复赛，教师甲赛前多次进行命题模拟训练，指导老师从教师

甲模拟训练命制的题目中，随机抽取了4道非解答题和4道解答题，其中有3

道非解答题和2道解答题符合入选标准.

(1)若从模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中，随机抽取非解答题，解答

题各2道，由此来估计教师甲在一轮比赛中的获奖情况，试预测教师甲在一轮

比赛中获“优秀奖''的概率；

⑵若以模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中两类题目各自入选的频率作

为每道该类题目入选的概率，经指导老师对教师甲进行赛前强化训练后，每道

非解答题入选的概率不变，每道解答题入选的概率比强化训练前大：，以获得“优

秀奖”次数的期望作为判断依据，试预测教师甲能否进入复赛？

21.如图，点M是圆A：上的动点，点8(6,0),线段MB的垂直平分

线交半径4M于点P.

⑴求点P的轨迹E的方程；

⑵点N为轨迹E与丁轴负半轴的交点，不过点N且不垂直于坐标轴的直线/交椭圆

E于S,T两点，直线NS,即分别与x轴交于C,。两点.若C,。的横坐标之积

是2,问：直线/是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由.

22.已知函数，（尤）=a|lnx|+x+《，其中a〉0.

⑴当”=1时，求〃x）的最小值；

⑵讨论方程^+—阿亚）卜2=0根的个数.

2023新高考名师模拟卷（6）解析版

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（共40分）

1.已知集合4=3-24x42},8={x|x（x-3）<0},则A他8）=（）

A.{x|x<2或xN3}B.{x|-2<x<0}

C.{x|2<x<3}D.{x|xW-2或xN3}

【答案】A

【分析】根据不等式解出集合8,在按照集合的补集与并集运算即可.

【详解】解：集合A="|-2<xS2},B={A1X（X-3）<O}={^|O<X<3}

所以。5=或xN3},则A（GkB）={x\x<2^x>3].

故选：A.

2.「7的实部与虚部之和为（）

2-41

c13n13

A.—B.---C.—D.——

10101010

【答案】B

l+4i

【分析】利用复数的除法化简岩■,进i而即得.

2-41

L+12i73.

【详解】因为上曳=。+旬（2+也=±—+i,

2-4i2020105

则里的实部与虚部之和为为-[+]=噌

2-41105

故选：B.

3.函数〃力=桨字的图象大致为（

)

3—1

'\f,x

C.D.

【答案】C

【分析】先判断函数的定义域及奇偶性进行排除，根据0到第•个零点处的函数值正负,即可判断选项C,D

的正误.

【详解】解:由题知/（x）==箸口.

定义域为k"*1），解得x€（9,0）5。,田），

所bh以i“八/一、六c号os（-^6二x）一C号OS（岩6x）:-八“力\，

J-JJ-J

故/（X）为奇函数，

排除A,B;

令〃力爷牛

=0

71

可得cos6x=0,即6x=—+hr,%eZ,

2

兀1r-r

解得x=7^+_^_，%eZ,

126

当xe[()*)时,6xe10,-^Leos6x>0,

3*>1,32*-1>0,此时/（力>0,

故选项D错误，选项C正确.

故选:C

4.二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动

人民的智慧.四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句

诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气，

这2个节气恰好在一个季节的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

4623236

【答案】C

【分析】直接由组合结合古典概型求解即可;

4xC25

【详解】由题意知：从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为P=7^=^.

Cm23

故选：C.

5.已知a=203,=log,2.8,c=log,7.8,则a,b,c的大小关系为（）.

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.ob>a

【答案】A

【分析】根据指对函数性质与对数运算进行比较即可得出答案.

【详解】由题意得，。=2°3>1,1=log33>b=log32.8=log97.84>c=log97.8,

:.a>b>c.

故选：A.

6.下列函数中，以2兀为最小正周期，且在区间上单调递增的是（）

A.y=sin2xB.y=sin（x-：］C.y=cos（x+：）D.y=tan2x

【答案】B

【分析】逐项分析各选项中函数的最小正周期以及各函数在区间（o,；）上的单调性，可得出结论.

【详解】对于A选项，函数y=sin2x的最小正周期为2长兀=兀，故A错误；

对于B选项，函数y=的最小正周期为2兀，当引时，*-台［弋，°），

因为y=sinx在150）上单调递增，所以y=sin（x-：）在（0,£）上单调递增，故B正确；

对于C选项，函数y=cos（x+1）的最小正周期为2兀，当时，x+；

因为y=cosx在段）上单调递减，所以尸cos（x+：）在%）上单调递减，故C错误；

对于D选项，函数y=tan2x的最小正周期为故D错误.

故选：B.

7.《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCOEF,其中AB〃£>C〃EF,“羡除”形似“楔体”.“广”

是指“羡除”的三条平行侧棱之长”，b,c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离相、“袤”是指这

两条侧棱所在平行直线之间的距离〃（如图）.已知。=3,b=2,c=l,m=2,«=1,贝ij此“羡除”的体

积为（）

A.2B.3C.372D.40

【答案】A

【分析】设AB=3,8=2,EF=1,过点E作EQLAB,EPLCD,垂足分别为只。.过点F作FN，AB,

FMLCD,垂足分别为M,N.则将几何体分解成一个直棱柱和两四棱锥，然后分求出体积再求和即可.

【详解】如图设AB=3,C£>=2,3尸=1

过点E作以EPLCD,垂足分别为P,Q.

过点尸作EVLM,FMLCD,垂足分别为M,N.

则将几何体分为E-AQ尸。,EPQ—FMN,F-3cMN二部分，其中七一AQPQ,尸—3CM7V为四棱锥,

EPQ-FMN为直三棱柱.

设£>P=x,AQ=y,则MC=2-\-x=\-x，BN=3-i-y=2-y

x+y

x2=—x'V+Vxl=

^E-AQPD=3"SAQDP

323

=2、3-(x+y)力3-。+)，)

X

匕-BCMN=]*SBCMN2

323

VEPQ-FMN=^X1X2X1=1

所以该几何体的体积为1+9+上乜辿=2

33

故选：A

【点睛1关键点睛：本题考查不规则几何体的体积的求法，解答本题的关键是过点E作EQL48,EPJ_CD,

垂足分别为RQ.过点尸作柳_LA8,FM1CD,垂足分别为M,N.则将几何体分解成一个直棱柱和两四

棱锥规则几何体进行求解，属于中档题.

8.双曲线5-福=1(a>°)的一条渐近线方程为丫=4

3X，”,E分别为该双曲线的左右焦点，M为双曲

[6

线上的一点，则阳眉+丽的最小值为()

A.2B.4C.8D.12

【答案】B

【分析】求1%|+而最小值，则段要尽可能小，|MF]|要尽可能大，所以“在双曲线的右支上，则

\MF2\-\MFt\=2a=6,所以阿闾=|岫|-6,消元转化为对勾函数求最值

【详解】若求M闻+扃最小值，则|M闻要尽可能小，|Mf]|要尽可能大

所以M在双曲线的右支上

h4b4

渐近线y=-x=-x=>-=-

a3a3

又因为b=4所以a=3

双曲线方程为:二-=1'.

916

.♦I=25"(-5,0),6(5,0)

由双曲线定义，当”在双曲线的右支上，|叫“用=2a=6

.•.|历用=眼耳|一6

:.\MFA+-^^=\MFS+-^-：-6..2|A/E|-r-^-r-6=2x4-6=2

121111

\MF\"\MFt\V\MF\

当且仅当M6卜瑞j,即|峥|=4时取等号

因为右支上的顶点(3,0)到耳(5,0)最小，最小为8

所以附用+赢-6取不到等号，当用=8时，取最小值

最小值为:8+[-6=8+2-6=4

O

故选：B

二、多选题(共20分)

9.已知。:/+丁-6*=0,则下述正确的是()

A.圆C的半径r=3B.点(1,20)在圆C的内部

C.直线/:x+6y+3=0与圆C相切D.圆C':(x+iy+)，2=4与圆C相交

【答案】ACD

【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可

【详解】由£+"6—0,得5_3y+9=9,则圆心C(3,0),半径4=3,

所以A正确，

对丁B,因为点(1,2')到圆心的距离为J©_ip+(0_2垃>=26>3，所以点(1，2&)在圆C的外部，所

以B错误，

八|3+3|

对于C,因为圆心C(3,0)到直线/：x+伤+3=0的距离为"J、(可一4，

所以直线/:x+Gy+3=0与圆C相切，所以C正确，

对于D,圆C':(x+l):+y2=4的圆心为C'(—l,0),半径4=2,

因为|CC[=J(3+1)2=4,4-4<4<{+&,

所以圆C':(x+iy+y2=4与圆C相交，所以D正确，

故选：ACD

10.已知在正四面体45co中，E、F、G、，分别是棱AB,BC,CD,A£＞的中点，则()

A.EF〃平面ACT)B.AC1BD

C.A3工平面FGaD.E、尸、G、，四点共面

【答案】ABD

【分析】把正四面体ABC。放到正方体里，对于A项根据线面平行的判定定理证明

对于B项，从正方体的角度上看易得

对于D项，证明四边形EFGH是平行四边形可验证

对于C项，反证法证明，矛盾点是AB与狼的夹角.

【详解】把正四面体ABCD放到正方体里，画图为：

对于A项，E、尸分别为A8,BC的中点，

：.EF//AC

乂,ACu平面ACO且EFcz平面AC。

.•.ER〃平面AC。，故A正确

对于B项，从正方体的角度上看易得AC150,故B正确.

对于D项，E、F、G、”分别是棱AB,BC,CD,AO的中点

EFHACS.EF=-AC

2

GHUACRGH=-AC

2

所以EF“GH,EF=GH

所以四边形EFG"是平行四边形，故E、F、G、”四点共面，所以D正确.

对于C项，若平面尸G”成立，即AB/平面EFG//

又因为HEu平面EFGH

所以

乂因为E、H分别为AB,A。的中点，

所以EH//8O

所以

而△ABO为等边三角形，与AB，耳)矛盾，所以C不正确.

故选：ABD

-+)'2

11.如图，己知椭圆C:/+记=1(〃>6>0),A，4分别为左、右顶点，修，不分别为上、下顶点，耳,

外分别为左、右焦点，点P在椭圆c上，则下列条件中能使c的离心率为与的是()

A.|O用•|。阕=|磔「

B./耳4A2=90。

C.轴，且PO〃人用

D.四边形48小/2的内切圆过焦点6，F,

【答案】ABD

【分析】由椭圆方程依次写出顶点及焦点坐标，A选项直接计算即可判断；B选项由耳月由&=0即可判

ab

断;C选项由即。=心声即可判断；D选项由=c即可判断.

>Ja2+b2

【详解】由题意知:A(~a,0),A,(a,0),B,(0,-b),B2(0,b),F[(-c,0),F2(c,0),设椭圆离心率为e,

对于A,\OF\-\OA^=\OB^,

即ac=/=Y-c2,同除/整理得/+e-l=0,解得e=-土石,又0<e<l,故e=^^,A正确;

22

对于B,/耳8仙2=90。，即•44=0，即(G—b>g,b)=(),即ac=〃，由上知，B正确；

"2人2

对于c,轴，由二+4=1,解得y=±£_,故p(_c,2),PO//A.B,,即原。=心声，

a~b~aa

b2_____

R|J〃_匕，解彳'Jb=c,则q=」>2+°，=，故离心率e=C错误；

-c-a

ab

对于D,易得内切圆半径为，0ABi斜边上的高，即,小+/，若内切圆过焦点耳，K，则"77

整理得/一34%2+/=0,同除/得/一3/+1=0,解得/=匹@,又Ovevl,则

2

2

3-逐5-2V5+1

24

故6=正二1,D正确.

2

故选：ABD.

lgx,O<x<1

12.已知万（x）=，若。>0,^>0,则下述正确的是（）

0,?x>

A.F（lg2022）=0B.F（ati）=F[d）F{b}

C.F（aZ>）>F（a）+F（Z?）D.F（ah）=bF（a'）

【答案】ACD

【分析】根据对数的运算性质以及分段函数的处理策略求解.

/、f/px,0<x<l/、

【详解】因为F（X）=0x>[，且lg2022Wl,所以尸（lg2022）=0,

故A正确；

当”,人€（0,1）时，尸（“）=lg"，尸®=lgb,尸（a6）=lg（46）,

所以尸（或）*尸（a）尸㈤,故B错误；

对于C选项，当0<a<1,0<6<1,由对数的性质和运算法则有

F（ab）>F（a）+F[b）,当a>l,b>l时，尸（必）=F（a）+尸（b）=0,

当a,b中有1个大于等于1,不妨设0<6<1,贝I」。6>b>0,则

F（ab）>F（a）+F（h）=F（h）,故C正确；

当“21时,a*>1,所以尸（a'）=步（。）=0,当0<a<l时,0<a*<1>

由对数的运算法则有：F（ah）=hF（a）,故D正确.

故选：ACD

第II卷（非选择题）

三、填空题（共20分）

13.某校高二年级有男生510名，女生490名，若用分层随机抽样的方法从高二年级学生中抽取一个容量

为200的样本，则女生应抽取名.

【答案】98

【分析】根据分层抽样的定义，计算男女生比例，即可计算求解.

【详解】由已知得，男生与女生的比例为：51:49,根据分层抽样的定义，

女生应该抽取的人数为：200x志49=98（人）

故答案为：98

14.在ABC中，A。为BC边上的中线，点E在线段AO上，且AE=goE,^EB=xAB+yAC,则了一丁=

【答案】1

【分析】画出草图，利用向量的加减与已知条件将就表示为A月与A。，得出x与y的值，即可得出答案.

【详解】作出草图如下：

.点E在线段AZ）上，且=

AE^-AD,

3

A£>为8c边上的中线，

AD=-AB+-AC,

22

/.AE^-AB+-AC,

66

.一,一一5-1-

:.EB=AB-AE=-AB——AC,

66

又.£3=xA5+yAC,且A8，4c不共线，

51

oo

^x-y=\9

故答案为：1.

15.已知等差数列｛〃〃｝中，〃3=7,%=16将此等差数列的各项排成如下三角形数阵:

•・・••••••・

则此数阵中第20行从左到右的第10个数是.

【答案】598

[a.+2d=1[a.=\

【详解】等差数列｛助｝中，«=7,«=16,•.

36[《+54=16[</=3

而第1行有1个数，第2行有2个数，依此类推第19行有19个数则第19行的最后一个数是数列的第

1+2+…+19=190项，则此数阵中第20行从左到右的第10个数是该数列的第200项，.•.0200=1+199x3=598

故答案为598

点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式，解题的关键是先根据等差数列中的两项求出数列的通项，然

后弄清数阵中第20行从左到右的第10个数是该数列的第几项，根据通项公式即求解.

16.定义帆（xeR）为与x距离最近的整数，令函数G（x）=|M，如：G^=l,G（2）=2.则

1111111

----------1----------------1----------------1--------------=----------1--------------+H-----------=

G（l）G（V2）G（>/3）G（"）---------;G（l）G（V2）G（j2022）----------

【答案】3亨1334##88114

【分析】令G（x）=Z,keN*,则即可得到R_4+I4X4/+A;，从而求出满足此不等

式的正整数x的个数，找到规律，从而计算可得；

【详解】解：令G（x）=&,萩N*，则（

即,BPk2-k+^<x<k2+k+^,

所以A+满足此不等式的正整数x的个数有公+%_（公-%+i）+i=2k,

即G（x）=Z,ZeN*共有2k个数；

即2=1时则有2个，即G（l）=l,G（五）=1；

女=2时则有4个，即G（6）=2,G（V4）=2,G（遥）=2,G（峋=2；

氏=3时则有6个,即G（"）=3,G（我）=3,G（囱）=3,G（啊=3,G（Vn）=3,G（V12）=3：

%=44时则有88个，即G（VI^）=44,G（V1894）=44,,G（V1980）=44,（其中43.5）=1892.25,

44.52=1980.25）

又45.52=2070.25,所以G（Vi^T）=45,G（V1982）=45,……，G（>/2022）=45,

其中19812022共有2022-1981+1=42个数；

11111111.

所以丽卡丽+丽+丽=什门3；

111

-------1------------1--I---------------

G（l）G（V2）G（V2022）

）

=2cx-1+4x—1+/6x-1+c8x—1++8o8ox—1+4c2xl—

12344445

-cccc1c“141334

=2+2+2++2+42x—=2x44+—=------

451515

1334

故答案为：3；

15

四、解答题（共70分）

hA+C

17.在条件①cosAsinB=——sinAsinB+sinC；②acos---=bsinA；（§）sin2B=sin2A+sin2C+sinAsinC

32

中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.

在"LBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,6=J历，,求c.

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】c=3.

【分析】若选①，由sinC=sin（A+B）结合条件可得8=,；若选②，由正弦定理结合条件可得5=与；

若选③，由正弦定理、余弦定理结合条件可得8=午.最后由余弦定理可求得屐

【详解】若选①：因为sinC=sin（A+8）,所以

cosAsinB==-sinAsinB+sinC==-sinAsin8+sinAcosB+cosAsinB，

33

即-^-sinAsin5+sinAcos3=0,又sinA>0,所以~^-sin8+cosB=0,即tanB=—百，又3c（（）,乃），所

以3=寻.

3

若选②：由正弦定理得sinAcos（三二］=sin5sinA,因为sinA>0,所以sin0=sinB=2sin0cos0,

<2J222

又sin与>0,则cos与=1,又3«0㈤，所以与=£,即8=M.

222'/233

若选③：由正弦定理得。2=4?+/+ac,则a2+c2-b2=—ac，

由余弦定理得cosB='「+dW=-J.,又3€（0,万），所以8=4.

2ac2ac23

又a=2,b=J回，由余弦定理得从=.2+°2+4，即,2+2。-15=0,又c>0,所以c=3.

18.已知等差数列｛q｝的公差为正数，出与小的等差中项为8,且为%=28.

⑴求｛”“｝的通项公式；

（2）从｛%｝中依次取出第3项，第6项，第9项,L,第3〃项，按照原来的顺序组成一个新数列也,｝,判断938是

不是数列也｝中的项？并说明理由.

【答案】（1）为=3，?-7（"€"）；⑵938是数列出｝中的项，理由见解析.

【分析】（I）设等差数列｛q｝的公差为d,由题意可知“2与知的等差中项为内，利用等差数列的定义列出

式子求出公差为d,4,进而列出｛q｝的通项公式；

（2）写出勾=%-7（〃eV）,将938代入验证即可.

【详解】解：（1）设等差数列｛〃“｝的公差为d，根据等差中项的性质可得与与&的等差中项为生,

所以%=8,又因为4%=28,即（G―2J）3+2d）=28.

所以屋=9，d=±3,因为公差为正数，所以d=3.

则％=q+4”=8,则q=_4.

｛4｝的通项公式a.=q+（〃-l）d=Y+3（〃-l）=3〃_7（”eN）

（2）结合⑴可知々="3=2,H=4=11，4=的=20,L,〃=%,=9〃-7（〃eN）

令938=9〃—7,即〃=105eN",符合题意，即九$=938.

所以938是数列也｝中的项.

【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式的求法，考查推理能力，属于基础题.

19.如图，在三棱台ABC-ABG中，底面43c为等边三角形，人入，平面ABC,AC=2AA,=2^=2,

（1）求证：平面ABCJ•平面4田。；

（2）求平面\BD与平面BBGC夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【详解】（1）因为mJ■平面ABC,8Ou平面A8C,所以

又，/WC为等边三角形，。为AC的中点，

所以8OLAC,又叫AC=A,AVACu平面AA£C，

所以%平面例CC，又AGu平面AAGC,所以BOLAC-

在直角梯形AAGC中，AC=2A4,=2AG

所以又BD4。=£）,3。,AQu平面A3。，

所以4G，平面A8。，又AGu平面ABG，

所以平面A3G1平面A8O.

（2）由（1）知。8,DC,3a两两垂直，如图所示，以。为坐标原点，DB,DC,0a所在直线分别为

x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

z,

y

则A(O,-1,O),网6,0,0),C(O,1,O),A(0-1,1).G(0,0,1),

所以D4,=(O,-l,l),DB=(73,0,0)

设平面AB。的法向量为M=(x,y,z),

“"二°得一y+z=0

由

mDB=0y/3x=0

所以平面A/D的一个法向量为加=(0,1,1)

设平面BBCC的法向量为〃=a”％,z°),

因为8c=(一6,1,0),C,C=(O,l-l),

由〔:卷:得卜鬲+二°

[”•£C=0%-Zo=0

所以平面8BCC的一个法向量为”=(1,G,G)

设平面48。与平面夹角，，贝I]

/\|MN2A/3夜

COS(tn,H)=-n-=—7=------f==——,

\/I帅日近7

由图象可得平面\BD与平面BBgC夹角。为锐角，

所以cos0=.

7

20.为提升教师的命题能力，某学校将举办一次教师命题大赛，大赛分初赛和复赛，初赛共进行3轮比赛，

3轮比赛命制的题目分别适用于高一，高二，高三年级，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮

比赛，限时60分钟，参赛教师要在指定的知识范围内，命制非解答题，解答题各2道，若有不少于3道

题目入选，将获得“优秀奖”，3轮比赛中，至少获得2次“优秀奖”的教师将进入复赛.为能进入复赛，教

师甲赛前多次进行命题模拟训练，指导老师从教师甲模拟训练命制的题目中，随机抽取了4道非解答题和

4道解答题，其中有3道非解答题和2道解答题符合入选标准.

(1)若从模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中，随机抽取非解答题，解答题各2道，由此来估计教师

甲在一轮比赛中的获奖情况，试预测教师甲在一轮比赛中获“优秀奖''的概率；

(2)若以模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中两类题目各自入选的频率作为每道该类题目入选的概

率，经指导老师对教师甲进行赛前强化训练后，每道非解答题入选的概率不变，每道解答题入选的概率比

强化训练前大，，以获得“优秀奖”次数的期望作为判断依据，试预测教师甲能否进入复赛？

6

【答案】(1片

(2)教师甲能进入复赛

【分析】(1)分非解答题入选1道，解答题入选2道，非解答题入选2道，解答题入选1道，非解答题,

解答题各入选2道计算概率，再相加即可；

(2)先计算出甲在一轮比赛中可获得“优秀奖''的概率，判断出3轮比赛可看作3重伯努利试验，再由二项

分布期望公式计算期望，判断即可.

【详解】(1)设人="在一轮比赛中，教师甲获得优秀奖”，则事件A发生的所有情况有

解答题入选2道的概率为[=是滑=忌1

①符合入选标准的非解答题入选1道,12

C2C1C1121

②符合入选标准的非解答题入选2道，解答题入选1道的概率为巴=:，=「=二7=鼻

。4c40X03

c2C231

③符合入选标准的非解答题，解答题各入选2道的概率为鸟

C；C4oxo12

所以P（A）='+1+-!-=!

、,123122

3112

(2)由题知，强化训练后，每道非解答题入选的概率为:，每道解答题入选的概率为三+Z二彳，则强化

42o3

训练后，教师甲在•轮比赛中可获得“优秀奖''的概率为

P=C；x泊、⑶图-+小百心气+蜃图心(|)[+*=|,

因为每轮比赛结果互不影响，所以进行3轮比赛可看作3重伯努利试验.

H1X表示教师甲在3轮比赛中获得“优秀奖”的次数，则X

E（X）=3x|=2

二教师甲能进入复赛.

21.如图，点M是圆A：(x+GY+y2=]6上的动点，点8便,0),线段MB的垂直平分线交半径AM于

点P.

⑴求点P的轨迹E的方程；

(2)点N为轨迹E与轴负半轴的交点,不过点N且不垂直于坐标轴的直线/交椭圆E于S,T两点，直线NS,

W分别与x轴交于C,。两点.若C,。的横坐标之积是2,问：直线/是否过定点？如果是，求出定点

坐标，如果不是，请说明理由.

【答案】⑴《+9=1；

4

⑵直线/过定点(0,3).

【分析】(1)利用定义法求点尸的轨迹E的方程；

(2)宜线ST的方程为y=kx+m(m片-1),联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，再根据=2得m=3,

即得解.

(1)

解：由题得\AP\+\PM|=|AM|=4,.-.|P41+1P81=4>26=|4B|,

所以点尸的轨迹是以A8为焦点，长轴为4的椭圆.

所以2。=4,c=A/3,.,.b=\,

所以椭圆的方程为三+丁=1.

4

所以点尸的轨迹E的方程为三+丁=1.

4-

(2)

解：由题得点N(0,-l),设直线S7的方程为丫=履+皿加工-1),

联立直线和椭圆的方程为［,=::得(1+4公)/+8如x+4.-4=0,

所以△〉0,4/一川+1〉o

设5(%,％),7(>2，必)，所以西+々=--妁二，中2=4'’?

1+4公1+4公

所以直线SN方程为y+1=—(x-0),

王

令y=o得左=—同理与=一^,

%+1必+1

因为左标=2,;.—^—x—^―=2,:.x(x2=2(y,+y2++1),

乂+1%+1

所以工[工2=2[依+m+kx2+m+4-m)(kx2+根)+1],

所以司入2=2伙(玉+工2)(机+1)+k2王工2+(〃?+1)」，