时间序列分析法

7时间序列分析法7.1概述1精选ppt7.2多项式曲线法7.2.1一次曲线设定直线回归方程当时间点t1，t2，t3…，tn为连续等间隔时，为计算方便，把原点取在时间序列的中间，式〔6-2〕、〔6-3〕可简化为：2精选ppt

以下举例说明时间序列数据的直线回归分析方法。

表6-11985-1998年我国职工平均货币工资统计数据表

年份平均货币工资（元）年份平均货币工资（元）19851148199227111986132919933371198714591994453819881747199555001989193519966210199021401997647019912340199874793精选ppt

根据表6-1中的数据，绘制1985-1998年我国职工的平均货币工资时间序列散点图，如图6-2所示。采用直线拟合该时间序列数据，方程为

4精选ppt5精选ppt6精选ppt7精选ppt7.2.2二次曲线二次曲线的方程为

8精选ppt9精选ppt10精选ppt11精选ppt7.2.3三次曲线三次曲线的方程为12精选ppt13精选ppt14精选ppt15精选ppt16精选ppt7.3指数曲线法7.3.1一次指数曲线17精选ppt下面以我国每年的科研支出时间序列数据作为一次指数曲线拟合的例子，对其应用予以说明。18精选ppt19精选ppt20精选ppt21精选ppt7.3.2二次指数曲线二次指数曲线的回归方程为：

22精选ppt23精选ppt24精选ppt25精选ppt26精选ppt7.3.3修正指数曲线

27精选ppt求解方程〔6-19〕中的系数L、a和b，采用三段和值法。28精选ppt下面举例说明采用修正指数曲线拟合时间序列数据的过程，并进行预测。设修正指数曲线的回归方程为：29精选ppt30精选ppt将表中数据代入公式〔6-20〕、〔6-21〕、〔6-23〕中，求得回归系数：31精选ppt7.4生长曲线

32精选ppt7.4.1逻辑曲线〔Logistic曲线〕〔1〕逻辑曲线模型〔2〕确定参数33精选ppt34精选ppt35精选ppt36精选ppt7.5移动平均法移动平均法〔Movingaverages〕是通过平均和移动的平滑作用消除数据中异常干扰的时间序列法，是一种简单而适用的方法，常用于短、近期需求、生产、销售等经济预测问题。37精选ppt7.5.1.一次移动平均

(1).定义和计算公式一次移动平均系指对变量的统计数据进行移动平均。一次移动平均值的计算公式如下：Mt[1]=(yt+yt-1+yt-2+…+yt-n+1)/n(1)

式中

Mt[1]——第t周期的一次移动平均值，

t——周期次第数

yt——第t周期变量的数据，

n——跨越周期数或分段数据点数38精选ppt例如，取n=5，那么第5周期的一次移动平均值M5[1]=(y5+y4+y3+y2+y1)/5第6周期的一次移动平均值M6[1]=(y6+y5+y4+y3+y2)/5依次类推。n的取值有两种特殊情况：当n=t时，那么Mt[1]=1/t∑yt,即它的一次移动平均值等于总体数据的平均值；当n=1时，那么Mt[1]=yt,即它的一次移动平均值等于原统计数据。39精选ppt(2).改进公式根据一次移动平均的运算规律，前后连续两次计算，只有头尾两个数据变动，因此可将公式(1)作如下改变：Mt[1]=(yt+yt-1+yt-2+……+yt-n+1+yt-n-yt-n)/n=(yt-1+yt-2+……+yt-n+1+yt-n)/n+(yt-yt-n)/n=Mt-1[1]+(yt-yt-n)/n(2)公式〔2〕是公式〔1〕的改进。利用公式〔2〕，当计算出Mt[1]后，只需计算〔yt+1-yt-n+1〕/n，就可求得Mt+1[1]。如果时间序列数据很长，n的取值又较大，使用改进公式，可使计算大为减少。当获得新数据时，以先期计算出的移动平均值为根底，很容易求出新的移动平均值，无需象回归方法那样重新估算方程。40精选ppt(3).计算实例根据表1中所列的一组时间序列数据yt，取跨越周期数n=5，计算一次移动平均值。先从第5个周期开始，由公式〔1〕计算出第5周期的一次移动平均值M5[1]，然后由改进公式〔2〕往下继续求出各周期的一次移动平均值，并填入表中相应的位置，直到最后一个周期。41精选ppt此题计算结果如下：M5[1]=(57+59+62+61+64)/5=60.6M6[1]=M5[1]+(y6-y1)/5=60.6+(67-57)/5=62.6…………M15[1]=M14[1]+(y15-y10)/5=81.6+(92-76)/5=84.8全部一次移动平均值列于表1。42精选ppt43精选ppt7.5.2二次移动平均

(1).定义和计算公式二次移动平均系指对一次移动平均值Mt[1]再进行移动平均，即对变量的统计数据进行两次移动平均。二次移动平均值的计算公式如下：

Mt[2]=(Mt[1]+Mt-1[1]+Mt-2[1]+…+Mt-n+1[1])/n(3)

式中

Mt[2]——二次移动平均值

Mt[1]——一次移动平均值

n——跨越周期数或分段数据点数44精选ppt与一次移动平均值的改进公式一样，二次移动平均值的改进公式为Mt[2]=Mt-1[2]+(Mt[1]-Mt-n[1])/nMt+1[2]=Mt[2]+(Mt+1[1]-Mt-n+1[1])/n(4)45精选ppt(2).计算实例根据表1中yt和Mt[1]的数据计算二次移动平均值Mt[2]。计算二次移动平均值时，n的取值应与计算一次移动平均值的取值相同。因2×n-1=2×5-1=9，故从第9个周期开始才有二次移动平均值。由公式〔3〕和〔4〕计算结果如下：M9[2]=(60.6+62.6+64.8+66+68.4)/5=64.48M10[2]=M9[2]+(M10[1]-M5[1])/5=64.48+(70.8-60.6)/5=66.52…………M15[2]=M14[2]+(M15[1]-M10[1])/5=75.96+(84.8-70.8)/5=78.76全部二次移动平均值列于表1。46精选ppt47精选ppt48精选ppt49精选ppt50精选ppt7.5..4模型应用问题(1).跨越周期数n的选择应用移动平均法，重要的问题是如何选择好跨越周期数n。n的取值不同，会得到不同的计算结果。在原那么上，当n取较大值时，模型对随机干扰的敏感性较低，但是适应未来变化的能力较差，容易落后于潜在的开展趋势；当n取较小值时，模型对未来变化的适应能力较强，但对干扰的敏感性高，甚至会由于偶然性随机因素干扰过大而造成错觉。n的取值在5-200范围内。通常先看需要处理的数据点数的多少，数据点多，n值可以取大些，反之应取小些；其次要分析模型对新数据的适应能力和对干扰的敏感度，如主要要求模型具有较高的适应能力，那么n值应取小些；如要求敏感度低，那么n值应取大些。在实际工作中，往往先以不同的n值进行试算，经过比较分析后再行确定。51精选ppt(2).加权移动平均在建立移动平均模型时，参加计算平均值的只有最近期的n个时间序列数据，因此，移动平均法实质上没有考虑未参加计算移动平均值的历史数据对预测值的影响；另一方面，又认为参加计算的每一数据对预测值影响的相对重要性是相等的，即权值都等于1/n。如果认为参加计算的每一数据对预测的影响不同，可对这些数据分别给予不同的权值。由于近期数据的影响较大，通常赋予近期数据以较大权值，以示重视。52精选ppt一次加权移动平均值为Mt[1]=(w1yt+w2yt-1+……+wnyt-n+1)/n(9)式中w1、w2……wn为加权系数，它们满足条件〔1〕w1+w2+……+wn=n,即(w1+……wn)/n=1〔2〕w1>w2>……>wn二次加权移动平均值的计算与此相同。加权系数的选择取决于情报研究人员的预测经验。53精选ppt(3).与其它方法结合应用在实际预测中，常把移动平均法与其它方法如回归方法结合起来使用，互相补充，将不同方法取得的预测值加以比较和验证，常常可以收到较好的效果。此外，移动平均法还可用来预测回归方法因果分析中的自变量。(4).预测期限移动平均法主要用于短、近期预测。在研究对象的开展趋势比较稳定时，也可用于中期预测。如趋势变化率很大，例如，需求由缓慢增长突然变为迅速衰退期的情况下，一般不宜使用。54精选ppt(5).模型的起始点在yt+L=at+btL模型中，只有当L≥0时才有意义。因此，预测开展线的起始点在第t周期。这是与时间回归模型的不同之处。当获得新数据点后，如需要重新建立模型，那么新的起始点在第t+1周期，以此类推。这就是移动平均模型对新数据所具有的适应能力。55精选ppt7.6指数平滑法指数平滑法(Exponentialsmoothing)是一种重要的时间序列法，常用于需求、销售等经济预测问题。指数平滑法是对移动平均法的改进。移动平均法的优点是考虑新数据点的影响比较容易，缺点是当n取较大值时，计算需要存贮的数据量较多。指数平滑法既保持了移动平均法的优点，又在一定程度上克服了它数据存贮量大的缺点。56精选ppt7.6.1一次指数平滑(1).定义和计算公式一次指数平滑系指对变量的统计数据进行指数平滑。一次指数平滑值的计算公式如下：St[1]=yt+(1-)st-1[1](12)式中St[1]——第t周期的一次指数平滑值yt——第t周期变量的数据St-1[1]——第t-1周期的一次指数平滑值——加权系数上式可以认为是由一次移动平均值的改进公式变化来的57精选ppt在用一次移动平均值的改进公式〔2〕计算Mt[1]时，需要3个数据，即Mt-1[1]〔前一周期t-1的一次移动平均值〕，yt(t周期的变量)和yt-n〔t-n周期的变量〕。yt-n是计算Mt-1[1]时n个周期变量中的最前一个。如果用一个平均值Mt-1[1][Mt-1[1]=(yt-1+yt-2+……+yt-n)/n]代替yt-n，那么一次移动平均值的改进公式Mt[1]=Mt-1[1]+(yt-yt-n)/n就转变为下面的形式：Mt[1]=Mt-1[1]+(yt-Mt-1[1])/n=1/nyt+(1-1/n)Mt-1[1]58精选ppt令α=1/n，再用字母S代替M，以便与一次移动平均值相区别，即得上面的一次指数平滑公式〔12〕。由公式〔12〕可知，它既不象简单平均数法那样需要全部历史数据，又不象移动平均法那样需要一组数据，它只需很少几个数据就可进行计算，有时甚至只有一个新数据〔yt〕，一个前一周期的估计值〔作为St-1〕和一个α值，就可以应用指数平滑法。59精选ppt(2).加权系数一次指数平滑公式〔12〕实际上是：新估计值=α·〔新数据〕+〔1-α〕·〔前一期估计值〕60精选ppt先设初始值S0[1]=y1=57，按公式〔12〕计算α=0.30的一次指数平滑值。S1[1]=αy1+(1-α)S0[1]=0.3×57+(1-0.3)×57=57S2[1]=αy2+(1-α)S1[1]=0.3×59+(1-0.3)×57=57.6…………S15[1]=αy15+(1-α)S14[1]=0.3×92+(1-0.3)×80.9=84.2以同样方法逐项计算α=0.10时的St[1]，全部计算数据列于下表。61精选ppt62精选ppt7.6.2二次指数平滑

(1).定义和计算公式二次指数平滑是对一次指数平滑值St[1]再进行一次平滑，即对变量的统计数据进行两次指数平滑二次指数平滑值的计算公式如下：

St[2]=αSt[1]+(1-α)St-1[2](15)St[2]——第t周期的二次指数平滑值

St-1[2]——第t-1周期的二次指数平滑值

St[1]——第t周期的一次指数平滑值

α——加权系数63精选ppt二次指数平滑值的计算方法与一次指数平滑值的计算相同。现以表2中计算的一次指数平滑法，分别取α=0.30和α=0.10计算二次指数平滑值。先设初始值S0[2]=y1=57，按公式〔15〕计算α=0.30的二次指数平滑值S1[2]=αS1[1]+〔1-α〕S0[2]=0.3×57+〔1-0.3〕×57=57S2[2]=αS2[1]+(1-α)S1[2]=0.3×57.6+(1-0.3)×57=57.2…………S15[2]=αS15[1]+(1-α)S14[2]=0.3×84.2+(1-0.3)×75.2=77.9以同样方法逐项计算α=0.10时的St[2]，全部计算结果列于表2。64精选ppt65精选ppt(3).平滑系数指数平滑模型的平滑系数计算公式由移动平均法计算公式转换而来，为此需要确立加权系数α与跨越周期数n的关系。前已说明，α值的增大说明新数据的影响增长，而n值的增大那么是新数据的影响下降，说明这两个参数呈反比关系，即α∞1/n。在实际应用中，如以α=1/n作为新数据的权值，那么显得过小，当取α=2/(n+1)时，大体上可与移动平均法相适应，那么，由此关系式α=2/(n+1)(17)可得n=2/α-1(18)66精选ppt根据公式〔18〕，并以St[1]和St[2]分别代替Mt[1]和Mt[2]，即可由移动平均模型斜率的计算公式bt=2/(n-1)(Mt[1]-Mt[2])得到指数平滑模型斜率的计算公式：bt=2/[(2/α)-1-1](St[1]-St[2])=α/(1-α)(St[1]-St[2])(19)指数平滑模型截距at的计算公式那么是用St[1]和St[2]代替Mt[1]和Mt[2]，直接从移动平均模型截距的计算公式at=2Mt[1]-Mt[2]得来的，即at=2St[1]-St[2](20)67精选ppt(4).计算实例根据表2中的计算数据，建立二次指数平滑模型，并计算未来3期的预测值。取α=0.30，由表中查得S15[1]=84.2，S15[2]=77.9，代入〔20〕式，得at=2×84.2-77.9=90.5代入〔19〕式，得bt=0.30/(1-0.30)(84.2-77.9)=2.7最后得预测模型y15+L=90.5+2.7L以L等于1，2，3，代入上式，得未来3期的预测值：y16=90.5+2.7×1=93.2,y17=90.5+2.7×2=95.9,y18=90.5+2.7×3=98.668精选ppt7.6.3三次指数平滑二次指数平滑是线性指数平滑，如果数据点的分布出现曲率，在一般情况下是不适宜的，三次指数平滑是非线性指数平滑，几乎可适用于所有的应用问题，因而使用比较广泛。(1).定义和计算公式三次指数平滑是对二次指数平滑值再进行一次平滑。三次指数平滑值的计算公式如下：St[3]=αSt[2]+(1-α)St-1[3](21)式中St[3]——第t周期的三次指数平滑值St-1[3]——第t-1周期的三次指数平滑值St[2]——第t周期的二次指数平滑值α——加权系数69精选ppt三次指数平滑值的计算方法与一、二次指数平滑值的计算相同。现以表2中计算的二次指数平滑值，分别取α=0.30和α=0.10计算三次指数平滑值。先设初始值S0[3]=y1=57,按公式〔21〕计算α=0.30的三次指数平滑值。S1[3]=αS1[2]+(1-α)S0[3]=0.3×57+(1-0.3)×57=57S2[3]=αS2[2]+(1-α)S1[3]=0.3×57.2+(1-0.3)×57=57.1…………S15[3]=αS15[2]+(1-α)S14[3]=0.3×77.9+(1-0.3)×70.4=72.7以同样方法逐项计算α=0.10时的St[2]，全部计算结果列于表2。70精选ppt71精选ppt(3).平滑系数下面给出三次指数平滑的平滑系数计算公式：at=3St[1]-3St[2]+St[3](23)bt=[α/2(1-α)2][(6-5α)St[1]-2(5-4α)St[2]+(4-3α)St[3]](24)ct=[α2/2(1-α)2](St[1]-2St[2]+St[3])(25)利用公式〔12〕，〔15〕，〔21〕和〔17〕可以推导出三次指数平滑模型3个平滑系数的计算公式〔23〕、〔24〕和〔25〕。72精选ppt73精选ppt74精选ppt7.6.4模型应用问题(1).加权系数α的选择应用指数平滑法，选择好加权系数α是极其重要的。前面已经说明，α值增加时，对近期数据的重视程度在增大，α值减小时，远期数据的影响在增加。在实际应用中，一方面希望模型对客观事物的开展能作出迅速反响，这就要求提高α值以增加近期数据的权值；另一方面，又希望模型能较好地消除随机影响的干扰，这就要求减小α值以平滑随机误差。因此，对于一个具体模型，需要选取一个合理的折衷值。75精选ppt选择α值，主要依靠情报研究人员的经验，视具体问题而定。加权系数α的取值范围在0.05-0.60之间，下面几个原那么可供选择α值参考。〔1〕如对初始值估计的准确度把握不大，应取较大的α值，以便增加近期时间序列数据的权值，减小初始值的影响。〔2〕如果时间序列数据虽有不规那么的波动，但总体数据的变化趋势接近某一稳定的数值，那么应取较小的α值〔一般取0.05-0.20〕，使各个统计数据具有比较接近的权值。76精选ppt〔3〕如果时间