13.3 等腰三角形（原卷版）

2023-2024学年八年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）13.3等腰三角形1.理解和掌握等腰三角形的概念、性质和判定；2.理解和掌握等边三角形的概念、性质和判定；3.理解和掌握含30°锐角的直角三角形的性质。一、等腰三角形1.等腰三角形(1)概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫腰，另一条边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角。(2)理解：①等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是180°，两边之和大于第三边等。②等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线是它的对称轴。【理解与拓展】①对于等腰三角形的问题，我们说角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，如没有说明则都有可能，要讨论解决，这是解决等腰三角形最容易忽视和错误的地方。②等腰三角形的顶角可以是直角、钝角或锐角，而底角只能是锐角。2.等腰三角形的性质1(1)性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。(2)适用条件：必须在同一个三角形中。(3)应用格式：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C。3.等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。习惯上称作等腰三角形“三线合一”。4.等腰三角形的判定(1)判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)。(2)与性质的关系：判定定理与性质定理是互逆的。(3)理解：性质和判定应用的前提都是在同一个三角形中，并且不经过三角形全等的证明，直接由等边得等角或由等角得等边，所以应用起来更简单、便捷。【理解与拓展】等腰三角形的判定方法主要有两种：一是判定定理，二是定义。题型一等边对等角如图，在中，，点P是AB边上的一个动点（不与顶点A、B重合）．则的度数可能是（

）A． B． C． D．1．已知，​若，则的度数为（）A． B． C． D．无法确定2．如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．题型二三线合一如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是(

)A． B． C． D．1．如图，在中，是上一点，，垂直平分，于点，的周长为，，则的长为（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．62．汝州风穴寺三大国宝之一“宋代悬钟阁”的建筑风格堪称“咫尺之内造乾坤”．如图，“悬钟阁”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（

）A． B． C． D．题型三等角对等边证明等腰三角形如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（）A． B． C． D．1．在中，，，D为线段上一点，且点D到、距离相等，则的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形2．的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（

）A． B．C．， D．题型四等角对等边证明边相等如图，在中，点O是内一点，连接、，垂直平分，若，，则点A、O之间的距离为（

）A．4 B．8 C．2 D．61．如图，在中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，连接交于点E，过点E作交AB于点D，若，，则的周长为（

）A．8 B．11 C．10 D．132．如图，在中，和分别平分和，过作，分别交，于点，，若，，则线段的长为（

）A． B． C． D．题型五等角对等角求边长如图，在中，的平分线交于点D，，过点D作交于点E，若的周长为16，则边的长为（）A．10 B．8 C．6 D．161．如图，在中，，，点D在上，，将线段沿着方向平移得到线段，点E，F分别落在，边上，则的周长为（）A． B． C． D．2．在中，和的度数如下，能判定是等腰三角形的是（

）A．， B．，C．， D．，二、等边三角形1.等边三角形(1)概念：三边都相等的三角形是等边三角形。(2)认识：它是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质。(3)性质：等边三角形的3个内角都相等，并且每一个角都等于60°。【理解与拓展】等边三角形是轴对称图形，一共有3条对称轴。它的三边相等，3个内角相等，各边上的高、中线、对应角的平分线重合，且长度相等。2.等边三角形的判定(1)判定定理：①3个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。(2)判定方法：等边三角形的判定方法有3种，一是定义，另运用两个定理。【理解与拓展】关于等边三角形的判定定理，有时候在一个三角形中只要有两个角是60°，也可判定它是等边三角形。3.含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。【理解与拓展】①该性质是含有30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用。②这个性质主要应用于计算或证明线段的倍数关系。③该性质的证明出自等边三角形，所以它与等边三角形联系密切。题型六等边三角形的性质如图，是等边三角形，，若，则的度数为（）A． B． C． D．1．如图，，等边的顶点，分别在，上，若，则的大小为（

）A． B． C． D．2．如图，是等边的一条中线，若在边上取一点，使得，则的度数为（

）A． B． C． D．题型七等边三角形的判定下列说法错误的是（

）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等D．三个角都相等的三角形是等边三角形1．若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（）A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形2．若三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等，则该三角形一定为（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形，但不一定为等边三角形题型八含30°角的直角三角形的性质如图，为等边三角形，于点D，点E为线段上的动点，连接，以为边在下方作等边，连接，则线段的最小值为（）A．2 B． C．1 D．1．如图，在中，为直角，，于D，若，则的长度是（

）A．4 B．3 C．2 D．12．如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为E，，则（

）A． B．2 C．3 D．一、单选题1．已知中，，若，则的度数为（）A． B． C． D．2．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为（）A． B． C． D．3．下列命题是真命题的是（）A．相等的角是对顶角B．一个角的补角是钝角C．如果，那么D．等腰三角形的对称轴是顶角平分线、底边的高线、底边的中线所在的直线4．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（

）A．等边对等角 B．等角对等 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”5．在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使为等腰三角形，则点P有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个6．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是()A．3 B．4 C．5 D．67．在中，，，则是（

）A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形8．如图，点在内部，平分，，连接若的面积为，则的面积为（）A． B． C． D．9．如图，点P是的角平分线上一点，点Q是上一点，且，若，则线段的长是（

）A． B． C．3 D．210．如图，已知点A，B的坐标分别为和，在x轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的点C共有（

）A．3个 B．4个 C．6个 D．7个二、填空题11．在平面直角坐标系中，点，，，若点满足；为等腰直角三角形且，则符合题意的点共有个．12．如图，在等腰中，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合．若，则的度数是．13．如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则．14．如图，，平分，且，．的长是，若点M、N分别在射线、上，且为等边三角形，则满足上述条件的有个．三、解答题15．如图，已知于点A，于点A，．(1)求证：；(2)求的度数．16．如图（1），在中，，的平分线相交于O点，过O作．(1)求证：；(2)如图（2），过A作，其他条件不变，探索，，之间有什么关系？证明你的结论．17．如图，已知．(1)用直尺和圆规按下列要求作图：作的角平分线；作，交的延长线与点E；作，垂足为F．(2)图中的、相等吗？证明你的结论．18．如图，是等边的外角内部的一条射线，点A关于的对称点为，连接，，，其中，分别交射线于点，．(1)若，求的大小（用含的式子表示）；(2)用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明．19．如图，在中，，，是边的中点，，，点、为垂足