专题01 与三角形有关系的线段（解析版）

专题01与三角形有关的线段专题探究考点一三角形的边【知识点睛】边：三角形任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边应用：判断三条线段能否构成三角形的方法：①找出最长的线段，然后把最长的线段与较短的两条线段之和作比较；②若较短的两条线段之和＞最长线段，则能构成三角形若较短的两条线段之和≤最长线段，则不能构成三角形【类题训练】1．线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边直接列式计算即可．【解答】解：∵线段a＝1，b＝3，∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4．观察选项，只有选项A符合题意，故选：A．2．有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（）A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对【分析】根据三角形的分类可直接选出答案．【解答】解：等腰三角形包括等边三角形，故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确．故选：B．3．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：5﹣2＜a＜5+2，即3＜a＜7，∵a为整数，∴a的最大值为6，则三角形的最大周长为6+2+5＝13．故选：D．4．为了估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点P，测得PA＝12m，PB＝13m，那么AB间的距离不可能是（）A．6m B．18m C．26m D．20m【分析】由PA＝12m，PB＝13m，直接利用三角形的三边关系求解即可求得AB的取值范围，继而求得答案．【解答】解：∵PA＝12m，PB＝13m，∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即1m＜AB＜25m，∴AB间的距离不可能是：26m．故选：C．5．已知一个三角形的两边长分别为3和4第三边的长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．13 D．14【分析】根据三角形三边关系得出，任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．【解答】解：∵此三角形且两边为3和4，∴第三边的取值范围是：1＜x＜7，∵第三边为整数，∴周长为13这个范围内，符合要求．故选：C．6．下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．1，2，3 B．4，5，10 C．5，10，13 D．2a，3a，6a（a＞0）【分析】根据三角形的三边关系计算，判断即可．【解答】解：A．∵1+2＝3，∴不能构成三角形，本选项不符合题意；B．∵4+5＜10，∴不能构成三角形，本选项不符合题意；C．∵13﹣5＜10＜5+13，∴长度为5，10，13的三条线段能构成三角形，本选项符合题意；D．∵2a+3a＜6a（a＞0），∴不能构成三角形，本选项不符合题意．故选：C．7．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝．【分析】根据三角形三边关系得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．【解答】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长，∴a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝a+c﹣b﹣b+c﹣a+a﹣b﹣c＝a﹣3b+c，故答案为：a﹣3b+c．8．已知三角形的两条边长分别为3cm和2cm，如果这个三角形的第三条边长为奇数，则这个三角形的周长为cm．【分析】可先求出第三边的取值范围，找出其中为奇数的数，即为第三边的长，从而求得周长．【解答】解：设第三边长为x．根据三角形的三边关系，则有3﹣2＜x＜2+3，即1＜x＜5，因为第三边的长为奇数，所以x＝3，所以周长＝3+3+2＝8．故答案为：8；9．已知△ABC的三边长分别为a，b，c．（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．【分析】（1）直接根据非负数的性质即可得出结论；（2）根据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论．【解答】解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形；（2）∵a＝5，b＝2，且c为整数，∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7，∴c＝4，5，6，∴当c＝4时，△ABC周长的最小值＝5+2+4＝11；当c＝6时，△ABC周长的最大值＝5+2+6＝13．10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，AB与AC的长度和为11cm，求AC的长．【分析】根据三角形的中线的概念得到CD＝BD，根据三角形的周长公式、结合题意计算，得到答案．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，∴CD＝BD，∵△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，∴（AC+CD+AD）﹣（AB+CD+AD）＝3cm，∴AC﹣AB＝3cm，∵AB+AC＝11cm，∴AB＝4cm，AC＝7cm，即AC的长度是7cm．11．某市木材市场上木棒规格与价格如下表：规格1m2m3m4m5m6m价格/（元/根）101520253035小明的爷爷要做一个三角形的支架养鱼用，现有两根长度为3m和5m的木棒，还需要到该木材市场上购买一根．（1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？（2）在能做成三角形支架的情况下，选择哪一种规格的木棒最省钱？【分析】（1）根据三角形的三边关系可得5﹣3＜x＜5+3，再解出不等式可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度；（2）根据木棒价格可直接选出答案．【解答】解：（1）设第三根木棒的长度为xm，根据三角形的三边关系可得：5﹣3＜x＜5+3，解得2＜x＜8，x＝3，4，5，6共4种，∴有4种规格木棒可供小明的爷爷选择；（2）根据木棒的价格可得选3m最省钱．12．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D．（1）求∠BDC的度数；（2）试比较DA+DB+DC与（AB+BC+AC）的大小，写出推理过程．【分析】（1）先由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝110°，再由角平分线的定义求出∠CBD+∠BCD＝55°，然后由三角形内角和定理即可得出答案；（2）由三角形的三边关系得：DA+DB＞AB，DB+DC＞BC，DA+DC＞AC，则2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠BAC＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，∠ACD＝∠BCD＝∠ACB，∴∠CBD+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝×110°＝55°，∴∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝180°﹣55°＝125°；（2）DA+DB+DC＞（AB+BC+AC），理由如下：在△ABD中，由三角形的三边关系得：DA+DB＞AB①，同理：DB+DC＞BC②，DA+DC＞AC③，①+②+③得：2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC，∴DA+DB+DC＞（AB+BC+AC）．考点二三角形的稳定性【知识点睛】三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性；想让四边形变成具有稳定性，一般过两个顶点作一条线即可【类题训练】1．下列图形中有稳定性的是（）A．正方形 B．长方形 C．直角三角形 D．平行四边形【分析】稳定性是三角形的特性．【解答】解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有直角三角形具有稳定性．故选：C．2．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短【分析】根据三角形的稳定性即可解决问题．【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．故选：A．3．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．【解答】解：这样做的道理是三角形具有稳定性．故选：C．4．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（）A．G，H两点处 B．A，C两点处 C．E，G两点处 D．B，F两点处【分析】用木条固定长方形窗框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．【解答】解：工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，工人师傅为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在E、G两点之间（没有构成三角形），这种做法根据的是三角形的稳定性．故选：C．5．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（）A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性 C．经过两点有且只有一条直线 D．垂线段最短【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性，故选：B．6．如图，自行车的车身为三角结构，这样做根据的数学道理是．【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．【解答】解：自行车的车身为三角结构，这是因为三角形具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．7．要使六边形木架不变形，至少要钉上根木条．【分析】过同一顶点作对角线把木架分割成三角形，解答即可．【解答】解：如图所示，至少要钉上3根木条．故答案为：3．考点三三角形的“三线”及其作用【知识点睛】类型所在位置作用三角形的中线线段△内部△的中线能把原△分成面积相等的两部分，同比三等分线可以三等分原△的面积2.△三条中线的交点叫重心，重心将中线分为2:1两部分三角形的高线线段△内部、外部、边上△中，有⊥时→求长度，想高线→有高线，想面积→有面积，想等积法；有⊥时→求角度，想90°→△中，直角外的两个小角互余三角形的角平分线线段△内部△的角平分线出现时，可得角相等，亦可得∠1=½∠2类结论三角形角平分线夹角模型：角的“8”字模型：AACBOD变型：△高线与角平分线夹角模型：【类题训练】1．下列判断错误的是（）A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点【分析】根据三角形的角平分线，中线，高的定义一一判断即可．【解答】解：A、锐角三角形的三条高的交点在三角形内，故本选项说法错误，符合题意；B、三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意；C、直角三角形的三条高的交点在直角顶点，故本选项说法正确，不符合题意；D、三角形的三条角平分线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意．故选：A．2．下列各组图形中，BD是△ABC的高的图形是（）A． B． C． D．【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案．【解答】解：根据三角形高的定义可知，只有选项B中的线段BD是△ABC的高，故选：B．3．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A．2 B．3 C．6 D．不能确定【分析】根据三角形的中线得出AD＝CD，根据三角形的周长求出即可．【解答】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC＝5﹣3＝2．故选：A．4．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（）A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．【解答】解：∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，C说法错误，符合题意；∵BF＝CF，∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；故选：C．5．如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC的中点，AG是△ABE的中线，连接BE、AD、GD，若△ABC的面积为40，则阴影部分△ADG的面积为（）A．10 B．5 C．8 D．4【分析】连接DE，如图，先判断DG为△BCE的中位线，则DG∥AC，根据平行线之间的距离和三角形面积公式得到S△ADG＝S△EDG，然后利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△BCE＝S△ABC＝20，S△BDE＝S△EBC＝10，S△EDG＝S△BDE＝5．【解答】解：连接DE，如图，∵D为BC的中点，G为BE的中点，∴DG为△BCE的中位线，∴DG∥AC，∴S△ADG＝S△EDG，∵E点为AC的中点，∴S△BCE＝S△ABC＝×40＝20，∵D点为BC的中点，∴S△BDE＝S△EBC＝×20＝10，∵G点为BE的中点，∴S△EDG＝S△BDE＝×10＝5．故选：B．6．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝10cm2，则阴影部分的面积为cm2．【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【解答】解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×10＝5cm2，∴S△BCE＝S△ABC＝5cm2，∵点F是CE的中点，∴S△BEF＝S△BCE＝×5＝cm2．故答案为：．7．如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若∠M＝117°，则∠A为（）A．44° B．54° C．58° D．64°【分析】先利用角平分线的性质得到∠MBC＝∠ABC，∠MCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理得到∠MBC+∠MCB+∠M＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，则∠M＝90°+∠A，然后把∠M＝117°代入可计算出∠A的度数．【解答】解：∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，∴∠MBC＝∠ABC，∠MCB＝∠ACB，∴∠MBC+∠MCB＝（∠ABC+∠ACB），∵∠MBC+∠MCB+∠M＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠M＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，∵∠M＝117°，∴90°+∠A＝117°，∴∠A＝54°．故选：B．8．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，下列结论正确的有（）①S△ABD＝S△DCA；②S△AEF＝S△BDF；③S四边形EFDC＝2S△AEF；④S△ABC＝3S△ABFA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据三角形面积公式，利用BD＝CD，AE＝CE得到S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，S△ABE＝S△BCE＝S△ABC，所以S△ABD＝S△ABE，则可对①进行判断；利用面积的和差得到S△AEF＝S△BDF，则可对②进行判断；连接CF，如图，利用三角形面积公式得到S△FBD＝S△FCD，S△FAE＝S△FCE，则可对③进行判断；先判断S△ABF＝S四边形EFDC，再利用S四边形EFDC＝2S△AEF，则可对④进行判断．【解答】解：∵△ABC的中线AD、BE相交于点F，∴BD＝CD，AE＝CE，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，S△ABE＝S△BCE＝S△ABC，所以①正确；∴S△ABD＝S△ABE，∴S△AEF＝S△BDF；所以②正确；连接CF，如图，∴S△FBD＝S△FCD，S△FAE＝S△FCE，而S△AEF＝S△BDF，∴S四边形EFDC＝2S△AEF；所以③正确；∵S△ABE＝S△ADC＝S△ABC，∴S△ABF＝S四边形EFDC，而S四边形EFDC＝2S△AEF；∴S△ABF＝S△AEF+S△BDF＝S四边形EFDC，∴S△ABC＝3S△ABF，所以④正确．故选：D．9．如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M、N的运动过程中，∠F的度数（）A．变大 B．变小 C．等于45° D．等于30°【分析】由∠AMN是△OMN的外角，∠EMN是△FMN的外角，得到∠AMN＝∠O+∠ONM，∠EMN＝∠F+∠FNM，再由角平分线，得到∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，从而得到∠F＝∠O．【解答】解：∵∠AMN是△OMN的外角，∴∠AMN＝∠O+∠ONM，∵∠EMN是△FMN的外角，∴∠EMN＝∠F+∠FNM，∵ME平分∠AMN，FN平分∠MNO，∴∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，∴∠O＝2∠F，∴∠F＝30°．故选：D．10．（2022春•碑林区校级期中）如图，已知AM是△ABC的中线，点P是AC边上一动点，若△ABC的面积为10，AC＝4，则MP的最小值为（）A．5 B．2.5 C．1.4 D．1.25【分析】根据AM是△ABC的中线，求出三角形AMC的面积，根据垂线段最短及三角形面积公式，求出MP的最小值．【解答】解：∵AM是△ABC的中线，∴S△AMC＝＝5，当MP⊥AC时，MP有最小值，×MP＝5，∴MP＝2.5，故选：B．11．如图，在直角△ABC中，BC边上有E，D，F三点，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足为F．（1）以AD为中线的三角形是；以AE为角平分线的三角形是；以AF为高线的钝角三角形有个；（2）若∠B＝35°，求∠CAF的度数．【分析】（1）根据三角形的中线、高、角平分线的概念解答即可；（2）根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．【解答】解：（1）以AD为中线的三角形是△ABC；以AE为角平分线的三角形是△ABD；以AF为高线的钝角三角形有△ABE、△ABD、△ADE共3个，故答案为：△ABC；△ABD；3；（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝35°，∴∠C＝90°﹣35°＝55°，∵AF⊥BC，∴∠CAF＝90°﹣55°＝35°．12．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB＝5，AC＝3．（1）边BC的取值范围是；（2）△ABD与△ACD的周长之差为；（3）在△ABC中，若AB边上的高为2，求AC边上的高．【分析】（1）利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围即可；（2）根据题意，AD是△ABC的边BC上的中线，可得BD＝CD，进而得出△ABD的周长＝AB+BD+AD，△ACD的周长＝AC+CD+AD，相减即可得到周长差；（3）根据三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，列出等式，解答出即可；【解答】（1）解：∵AB＝5，AC＝3．∴2＜BC＜8，故答案为：2＜BC＜8；（2）解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB+BD+AD﹣AC﹣CD﹣AD＝AB﹣AC＝5﹣3＝2；故答案为：2；（3）解：设AC边上的高为h，则S△ABC＝，解得，h＝．答：AC边上的高．13．已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝；当∠BAD＝∠BDA时，x＝．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【分析】利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．【解答】解：（1）①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝∠BON＝20°，∵AB∥ON，∴∠ABO＝20°，②∵∠BAD＝∠ABD，∴∠BAD＝20°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝120°，∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，∴∠BAD＝80°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝60°；故答案为：①20°；②120，60；（2）①当点D在线段OB上时，∵OE是∠MON的角平分线，∴∠AOB＝∠MON＝20°，∵AB⊥OM，∴∠AOB+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝70°，若∠BAD＝∠ABD＝70°，则x＝20若∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣70°）＝55°，则x＝35若∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，∴x＝50②当点D在射线BE上时，因为∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125．综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x＝20、35、50、125．14．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．（1）【性质理解】如图2，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，∠EAO＝∠C，∠D＝2∠B，求证：∠EAB＝∠B；（2）【性质应用】如图3，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，∠BOD＝∠A，若∠ECD比∠DBE大20°，求∠BDO的度数．【分析】（1）根据对顶三角形可得∠OAB+∠B＝∠C+∠D，再根据角的和差即可得解；（2）根据对顶三角形的性质及四边形内角和求解即可．【解答】（1）证明：由对顶三角形可得∠OAB+∠B＝∠C+∠D，∴∠OAB﹣∠C＝∠D﹣∠B，∵∠EAO＝∠C，∠D＝2∠B，∴∠OAB﹣∠EAO＝∠B，即∠EAB＝∠B；（2）解：由题意得，∠ECD﹣∠DBE＝20°，由（1）得，∠DBE+∠BDO＝∠ECD+∠OEC，∵∠BDO﹣∠OEC＝∠ECD﹣∠DBE＝20°，∵∠BOD＝∠A，∠BOD+∠DOE＝180°，∴∠A+∠DOE＝180°，∴∠ADO+∠AEO＝180°，∵∠AEO+∠OEC＝∠BDO+∠ADO＝180°，∴∠BDO＝∠AEO，∴∠BDO+∠OEC＝180°，∵∠BDO﹣∠OEC＝20°，∴∠BDO＝