2022年高考数学一轮复习专题4.4 导数的综合应用

专题4.4导数的综合应用

【考纲解读与核心素养】

1.了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小

值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.

2.培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.

3高考预测：

（1）导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最

值、函数的零点等.解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化

更强的趋势；

（2）适度关注生活中的优化问题.

4.备考重点：

（1）熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；

（2）熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合

思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.

【知识清单】

1.利用导数研究函数的图象与性质

函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决

此类问题应先观察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正

确的选项.如该题中函数解析式虽然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易

利用排除法得到正确选项.

2.与函数零点有关的参数范围问题

（1）方程f（x）=0有实根o函数y=f（x）的图象与%轴有交点o函数y=/（%）有零

点.

（2）求极值的步骤：

①先求f（x）=0的根%（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；

②分析/两侧导数/（X）的符号：若左侧导数负右侧导数正，则%为极小值点；若左侧导

数正右侧导数负，则%为极大值点.

(3)求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分

点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值，大

前提是要考虑函数的定义域.

(4)函数y=/(x)的零点就是/。)=0的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形

转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.

3.与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题

不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也

是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，

借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理.

［筋立=/(x)Iia>a

/(x)>a："有解=/(x)aai>a

无解=/(x)aai<a

4.利用导数证明、解不等式问题

无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质

(单调性和最值)，达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析

问题，是解题的法宝.

【典例剖析】

高频考点一：利用导数研究函数的零点或零点个数

(2020届山东省荷泽一中高三2月月考)

1.已知函数/(x)=lnx—x+2sinx,I'(x)为〃x)的导函数.

(1)求证：/'(X)在(0,万)上存在唯一零点；

(2)求证：/(力有且仅有两个不同的零点.

【答案】(I)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)求得函数的导数f'(x)=—T+2cosx,设g(x)=r(x),利用导数求

得函数的单调性，结合零点的存在定理，即可求解；

(2)可分XG(0,万)，xe［肛2%)和xe［2万,+oo)三种情况分类讨论，考虑了(x)的

零点存在情况，进而得到结论.

【详解】(1)由题意，函数/(x)=lnx—x+2sinx,可得/'(x)='-l+2cosx,

X

设g(x)=/,(x)=--l+2cosx,

当xe(O,1)时，g<x)=—5-2sinx<0,所以g(尤)在。乃)上单调递减，

TT3712

又因为g(—)=----1+1>O,gQ")=1<0,

371271

所以g(x)在上有唯一的零点C,所以命题得证.

(2)①由⑴知：当xw(O,a)时,/'(x)>0,f(x)在(0,a)上单调递增;

当xe(a,乃)时，/'(力<0,/(力在。,乃)上单调递减；

所以/(x)在(0,4)上存在唯一的极大值点a(其中(<=<］),

所以/(a)>/(9=l吟一］+2>2一］>0,

又因为/(3)=-2--y+2sin^-<-2--y+2<0,

eeee

所以/(x)在(0,0上恰有一个零点.

又因为/(4)=111万一万<2—万<0,

所以/(x)在(a,乃)上也恰有一个零点.

②当尤e［yr,2乃)时，sinx<0,/(x)<lnx-x,

设〃(x)=lnx-x,则〃'(*)=工一1<0,

所以人(外在5,2万)上单调递减，所以〃(x)W〃(4)<0,

所以当xe［肛2乃)时，/(x)</z(x)W〃(0<0恒成立

所以/(x)在［凡2万)上没有零点.

③当尤G［2»,+QO)时，/(x)<lnx-x+2,

设夕(x)=lnx—x+2,则d(x)=——1<0,

所以9(x)在［24,+8)上单调递减，所以o(x)W就2%)<0,

所以当xe［2%,+8）时，/（%）4夕（％）〈夕（2万）＜0恒成立

所以/（x）在［2肛+8）上没有零点.

综上，/（x）有且仅有两个零点.

【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，利用导数研究不函数的零点问

题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性与极值、最值，结合函数零

点的概念进行求解，着重考查分析问题和解答问题的能力.

【典例2】（2019・全国高考真题（理））

2.已知函数f（x）=sinx-ln（l+x）,f（x）为了。）的导数.证明：

■JT

（1）/‘（X）在区间（-1,耳）存在唯一极大值点；

（2）/（x）有且仅有2个零点.

【答案】（I）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在上单调递减，根据零点存在

定理可判断出三不e,使得g'（x0）=0,进而得到导函数在,1片）上的单调性，

从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知x=0为/（%）在（T0］上的唯一零点；当

时，首先可判断出在（0,飞）上无零点，再利用零点存在定理得到/（x）在

上的单调性，可知/（X）＞O,不存在零点；当XG-,71时，利用零点存在

L2，.

定理和/（X）单调性可判断出存在唯一一个零点；当XG（4,+8）,可证得〃力＜0；

综合上述情况可证得结论.

1

【详解】⑴由题意知：“X）定义域为：（一1,伏）且尸（切=3%-

X+1

令g(x)=COSX——

\2)

1(

.-.g,(x)=-sin%+----1，xw-1,—

(x+1)I2；

••,厂J在，L竽上单调递减，-sinx,在J1，小上单调递减

(x+1)V2；<2；

.•.g'(x)在卜上单调递减

又g,(o)=Tino+i=i>o,%(r"siniJI+(74^F=(r4^f_1<0

(乃、

•・・切€0,-,使得/5)=0

\27

,当尤€(-1,不)时，g，(x)>0；xe(xo,3时，g<x)<0

即g(x)在上单调递增；在"，小上单调递减

则X=X。为g(X)唯一的极大值点

即：/'(X)在区间卜9上存在唯一的极大值点X。.

(2)由(1)知：f'(x)=cosx———,xe(-1,4-00)

X+1

①当x«T,0］时,由⑴可知r(x)在(-1,0］上单调递增

••/(%)<r(o)=0.•./(》)在(T,O］上单调递减

又/(0)=0

."=0为“X)在(-1,0］上的唯一零点

②当时，/'(x)在(0,不)上单调递增，在(司，上单调递减

又/'(0)=0"⑷>。

.•.”力在(0,通)上单调递增，此时/(x)>/(O)=O,不存在零点

2

<0

7T+2

办e/,gj,使得f'(x,)=0

\2)

.•./(X)在(』0)上单调递增，在X，g上单调递减

71.71.r71\.Ze._

又/伍)〉〃0)=0,—=sin——In1+—=In----->In1t=0

2I2J7+2

.•J(x)>0在(WJ上恒成立，此时不存在零点

③当xe%,兀时，sinx单调递减，-ln(x+l)单调递减

rr

.,・/(X)在-,71上单调递减

又/(5)>0,/(>r)=sin^-ln(zr+l)=-ln(^+l)<0

(兀、「乃]

即/(»)•/<0>又/(%)在3，万上单调递减

I2/L2.

TT

・•.“X)在于》上存在唯一零点

④当xe(；r,+oo)时，sinXG[-1,1],]n(x+l)>ln(〃+l)>]ne=l

.,.sinx-ln(x+l)<0

即/(x)在(%,4W)上不存在零点

综上所述：/(X)有且仅有2个零点

【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问

题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另

一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.

【方法技巧】

利用导数研究函数零点或方程根的方法

(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法.

借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，

从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.

(2)数形结合法求解零点.

对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调

性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.

(3)构造函数法研究函数零点.

①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数

寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与。的关系，从而求解.

②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作

用，体现转化与化归的思想方法.

【变式探究】

(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)

2

3.关于函数/(x)=、+lnx,下列说法正确的是()

A.%=2是的极小值点；

B.函数y=/(x)-x有且只有1个零点；

C.存在正整数使得了(%)＞丘恒成立；

D.对任意两个正实数,x2,且若/(不)=/(%2)，则斗+々＞4.

【答案】ABD

【解析】

【分析】

利用导数求函数的极值可判断A选项；求出函数y=/(x)-x的单调性利用特殊值可

判断B；转化为后＜"。=±+32构造函数并求函数的单调性可判断C；利用已

XXX

知得出/(X,)＞/(4-X2)，构造函数

2?

=—"4—x)=lnx—ln(4—耳+1一7^证明不等式可判断D.

【详解】对于A选项，函数的的定义域为((),+8),函数的导数

21x-2

—H—=———

.♦.xe(O,2)时，/(x)＜0,函数/(x)单调递减,

xe(2,+»)时，/,(x)＞0,函数/(x)单调递增,

•..%=2是4X)的极小值点，故A正确；

/2

对于B选项，y=/(x)-x=—+lnx-x,

函数在((),+8)上单调递减,

又•:/⑴-l=2+lnl-l=l>0,〃2)-2=l+ln2-2<0,

•••函数V=f(x)-x有且只有1个零点，故B正确;

对于C选项，若〃力＞"，可得=/+

XXX

人/、2InxEI,/、-4+x-xlnx

令g(x)=-r+——,则g(x)=--------3-------，

XXX

令〃(x)=T+x-xlnx,则〃'(x)=-lnx,

.•.在xe(O,l)上，"(x)＞(),函数/?(x)单调递增，

xe(l,+oo)_t,/z'(x)＜0,函数单调递减，

=—3＜0,

g'(x)＜。，

.♦.g(X)=2•+g在(0,+。)上函数单调递减，函数无最小值，

XX

...不存在正实数使得/(%)＞丘成立，故C错误；

对于D选项，由%＞々，/(玉)=/(々)结合A选项可知%＞2,0＜々＜2,

要证司+工2＞4,即证占＞4-W，且为＞4一々＞2,

由函数/(X)在XG(2,4W)是单调递增函数,

所以有/(%)>/(4-赴)，

由于/(玉)=/(X2),所以/(9)>/(4一%)，

即证明/(X)>〃4—X),XG(O,2),

/z/22

令m(x)=/(x)-/(4-x)=lnx-ln(4-x)+——,xe(0,2),

-8(x-2)2

则机'(x)=<0,所以加(x)在(0,2)是单调递减函数,

x2(4-x)2

所以巩x)>见2)=0,即〃x)>“4-x),xe(O,2)成立,

故玉+々>4成立，所以D正确.

故选：ABD.

【点睛】函数中涉及极值、零点，不等式恒成立，一般都需要通过导数研究函数的

单调性极值最值来处理，特别的要根据所求问题，适时构造恰当的函数，利用所构

造函数的单调性、最值解决问题是常用方法.

(2019•浙江高三期末)

4.已知〃x)=q+lnx,g(x)=e-x,其中awR,e=2.718…为自然对数的底

数.

(/)若函数g(x)的切线/经过(1,0)点，求/的方程；

(II)若函数/(力在(0,皆为递减函数，试判断夕(x)=〃x)-g(x)函数零点的个

数，并证明你的结论.

【答案】(IJ^=-x+；(H)见解析

【解析】

【分析】(I)设出切点坐标，求出切线斜率，求出切线方程即可；

22

(II)问题等价于xlax>xe7--,记〃(x)=xlnx,v(x]=x-e~x,分别求出

ee

"(X)的最小值和V(x)的最大值，从而证明结论.

【详解】解：(I)设/和g(x)的切点是(为，-*)，

g(x)在该点处的导数g'(Xo)=-e』，它是切线/的斜率,

经过(1,0),也过切点

的斜率又可写为二■,

1-1

故一7=故=解得：x0=0,

%-1

故直线/的斜率为8'(玉))=一””=-1,

故/的方程是：y=-x+i；

(II)判断：函数的零点个数是0,

下面证明/(x)>g(x)恒成立，

r(x)=X:40,故

若/(x)在(0,皆递减，则

因此，要证明〃x)=q+lnx>g(x)=e7对x>0恒成立,

2

只需证明---->■Inx>e'对x〉0怛成立，

e-x

22

考虑----FInx>e~x等价于xlnx>xe~x——,

exe

2

i£w(x)=xlnx,v^=x-e~x——,

先看〃(%),"<x)=lnx+l,

令“<x)>0,解得：x>]-,

令疝(x)<0,解得：0<x<J,

故”(%)在(。，口递减，在(j+8)递增，

“〃曲(x)=〃_]=，

再看=——，v'(x)=(l-x)-e-x.

e

令y'(x)>0,解得:0cx<1,

令y(x)<0,解得：x>l,

故”x)在(0」)递增，在e，+Q|递减，

%w(x)=*)=-：.

(x)=V,wu.(x),且两个函数的极值点不在同一个X处,

故〃(x)>v(x)对x>0恒成立，

综上,〃%)>8(力对％>0恒成立,

故函数o(x)=/(x)-g(x)函数零点是0个.

【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应

用以及不等式的证明，是一道综合题.

高频考点二：与函数零点有关的参数范围问题

【典例3](2017课标3)

5.已知函数/(幻=/一2尤+此1+"、+|)有唯一零点，贝此=

A.—B.-C.-D.1

232

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】因为/(幻=V-2x+a(ex-'+e-川)=(x-l)2+a(ex-'+e-*")-1,设，=x-1,

则

/(x)=g(r)=/+a.+eT)—l,因为g(f)=g(T),所以函数g")为偶函数，若

函数八幻有唯一零点，则函数g(f)有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当

"0时，g")=0才满足题意，即x=l是函数〃x)的唯一零点，所以为-1=0,

解得。=上故选：c.

【点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：

(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.

(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

【典例4】(2020.全国高考真题(文))

6.已知函数一吐+廿.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)有三个零点，求人的取值范围.

4

【答案】(1)详见解析；(2)(0,—).

【解析】

【分析】(1)f'(x)=3x2-k,对左分ZW0和4>0两种情况讨论即可;

f(J>0,解不等式组得到我的

(2)f(x)有三个零点，由(1)知后〉0,且哈<。

范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.

【详解】(1)由题，f\x)=3x2-k,

当女W0时，/(x)N0恒成立，所以/(x)在(-8,+8)上单调递增;

当我>0时，令f(x)=0,得x=±J|,令/(x)<0,得—

令/(x)〉0,得x<—g或x>$,所以在上单调递减，在

5,-冷,哈什8)上单调递增.

…即。

(2)由(1)知，/(X)有三个零点，则女〉0,且v*<。

4

解得0<%〈不，

当0<Z<±时，且/（a）=上2>0,

所以/（X）在（Jg,4）上有唯一一个零点,

/（—左—1）=—攵3_（攵+1）2<0,

同理-Z-1<一

所以/（X）在（_k上有唯一一个零点,

又fM在上有唯一一个零点，所以/（X）有三个零点，

4

综上可知k的取值范围为（0,点）.

【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围

问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.

【变式探究】

（2019•江西临川一中高考模拟（文））

7.己知函数/。：）=炉（加+》+/）在％=_1处取得极小值.

（1）求实数。的值；

（2）若函数/⑴存在极大值与极小值，且函数8。）=/。）-2%-加有两个零点,

求实数机的取值范围.（参考数据：e®2.718,75«2.236）

【答案】（1）a=0或。=1（2）（1,-MO）

【解析】

【分析】（1）根据极值的定义，求出4=0或a=l,再对。的两种取值分别进行验证;

（2）由第⑴问先确定。=1,得到g（x）=e'（x2+x+l）-2x-m,利用导数研究

函数g（x）的单调性，即函数g（x）在（。,+8）上单调递增，在（-8,0）上单调递减，再

结合零点存在定理的条件，得到参数机的取值范围.

【详解】解：(1)由题意得/'(x)=e[加+(2a+l)x+/+i].

因为函数/(x)=e'(狈2+*+/)在％=-1处取得极小值，

依题意知/'(一1)=0,解得。=0或。=1.

当〃=0时，/(x)="(x+l),若无<T,f'(x)<0,则函数/(x)单调递减，

若X>-1,/(x)>0,则函数/(X)单调递增，

所以，当x=T时，f(x)取得极小值，无极大值，符合题意.

当”=1时，/'(x)=e*(x+l)(x+2),若x<-2或x>-l,.f'(x)>0,则函数/(x)单

调递增；

若-f(x)<0,则函数/(x)单调递减，所以函数/(x)在x=-l处取得极

小值，x=-2处取得极大值，符合题意，

综上，实数。=0或。=1.

(2)因为函数/(x)存在极大值与极小值，所以由(1)知，a=l.

所以g(x)=e*(x2+x+l)-2x-n?,g'(x)=e%x+l)(x+2)-2.

当x>0时，g'(x)>0,故函数g(x)在(。,+8)上单调递增，

当尤<()时，令〃(x)=e'(x+l)(x+2)—2,则//(幻=炉(炉+5%+5),所以当

光<一5一百或彳〉一5+石时,/(刈>0,力。)单调递增，

22

当_5_&<x<_5+石时,〃，(幻<0,〃(划单调递减，

22

因为"0)=0,

/S6

h一一—»/z(-3.618)=e-3618x(-2.618)x(-1.618)-2<e-3x3x2-2=-y

<2)e

-2<0,所以当x<0时，g'(x)<0,故g(x)在(一℃,0)上单调递减.

因为函数g(x)在R上有两个零点，所以g(0)=l<0,所以帆>1.

取x=—3<0,

2

m2—2m+4■—(m-1)2+3

----------=e2---------->0

44

取x=???>1,

g(m)=em(/n2+m+lj-3m>m2+m+l-3m=m2-2m+1=(w-l)2>0,

所以，实数〃7的取值范围是(1,+8).

【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性及零点存在定理的应用，考查

逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要做中脑中有图，充分利用数形结合思

想分析和解决问题，同时注意分类讨论思想的运用.

高频考点三：与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题

【典例5】(2020.安徽屯溪一中高二期中(理))

8.已知不等式xe'-a(x+l)Nlnx对任意正数x恒成立，则实数。的最大值是

()

A.—B.1C.->/2D.—

【答案】B

【解析】

xe}nx

【分析】把不等式xe-a(x+l)Nlnx化为至二^,设f(x}='~,x>Q,

X+1X+1

1

(x,+x+D9e*-1----Inx\

求得的导数r(x)=_____________,X，设g(x)=(x2+x+l)/—1——Inx,

(x+l)2'

利用导数求得函数的单调性和最小值，即可求解.

【详解】不等式xe*-a(x+1)>Inx可化为Q(X+1)<xex—Inx,

因为尤>0,所以

x+1

9r1

.n、xex-Inx八(x“+x+l)e'—1------Inx

设〃x)=--------,x>0,则______________x

A-।1ra)=(x+lY

设g(x)=，+x+1)^'-1---Inx,其中x>(),

则g'(x)=(x+l)[(x+2)ex+g]>0恒成立,则g(x)在(0,+oo)上单调递增,

由g(x)=(x2+x+l)e'-1---lnx=(x+l)2ev-1---xe'+lnx,

XX

令g(x0)=O,得小=，,

xo

所以〃%)在(0,X0)单调递减，(4,+8)单调递增,

而*_In丁_l+x

所以〃力而小八无。)I~Q~=1，

玉)+11+%)

对任意正数X恒成立，即aW/ai讪nl.

故选：B.

【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考

查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新

函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分

离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

【典例6】(2020•全国高考真题(理))

9.已知函数/(x)=e'+<7犬-x.

(1)当4=1时，讨论/(X)的单调性；

(2)当应00寸，f(x)>^+1,求”的取值范围.

【答案】(1)当》€(3,0)时，/'(x)<0J(x)单调递减，当xe(0,f8)时、

-7-a?、

/(x)>0J(x)单调递增.(2)一丁，”

【解析】

【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数

的单调性即可.

(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得

的函数的最大值即可确定实数«的取值范围.

【详解】(1)当。=1时，f(x)=ex+x2-x,/'(x)=e*+2x-l,

由于/(x)=e'+2>0,故于'(力单调递增,注意到('(0)=0,故:

当时，当(x)<0J(x)单调递减,

当x«0,+8)时，/'(x)>0J(x)单调递增.

⑵由/(x)25/+1得，s'+ax2—x..x3+1,其中x20.

①.当后0时，不等式为：121,显然成立，符合题意;

pX_____Y_1

②.当x〉0时，分离参数。得，62.

。…--------7---------------

g(x)=------^2-----，g'(x)=_

则〃(x)=e，一x-1,/zff(x)=eA-l>0,

故卬(x)单调递增,〃'(x"〃'(O)=O,

故函数M%)单调递增,A(x)>/l(0)=0,

由/z(x)?0可得：e"--x-1..0恒成立，

故当xe(O,2)时，g”)>0,g(x)单调递增;

当工«2,+0。)时，g«x)<0,g(x)单调递减;

因此,口(吼…⑵二号

7-?

综上可得，实数。的取值范围是一］

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学

中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的

几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判

断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中

的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.

【规律方法】

1.一般地，若不等式恒成立，4的取值范围是色伏X)］max；若不等式。勺⑴恒成立，则

a的取值范围是a<［A^)］min.

2.含参数的不等式/(x)>g(x)恒成立、有解、无解的处理方法：①y=/(x)的图象和

y=g(x)图象特点考考虑；②构造函数法，一般构造/(©u/CxO-gCx),转化为产(X)

的最值处理；③参变分离法，将不等式等价变形为。>〃(幻，或。<〃(幻，进而转化为求

函数〃(X)的最值.

【变式探究】

(2020・湖南长郡中学高三其他(文))

10.已知函数/(x)=e*(x-a-l)(ae/?).

(1)讨论在区间口,2］上的单调性；

(2)若恒成立，求实数。的最大值.(e为自然对数的底)

e

【答案】(1)答案见解析；(2)-1.

【解析】

【分析】a)求导得r(x)="(x-。)，分类讨论参数。的取值范围与区间口,2］的关

系即可求解；

(2)要使/(x)Nq恒成立,即令g(x)=e'(x—a—1)-020恒成立，则

ee

g(x)min>o,结合(1)的结论可得e“+i+aKO,再令〃(x)=e，"+x，通过研究导

数的正负可确定原函数的增减性，进而求解

【详解】(1)由己知_f(x)=e'(x-a),

xe(-oo,a)时，/"(x)<0；xe(a,+8)时，/f(x)>0,

①当aSl时，/(x)在［1,2］上单调递增;

②当1<4<2时，/(X)在［1,。］上单调递减，(。,2］上单调递增；

③当时，/(X)在［1,2］的单调递减；

(2)由已知/。一。一1)一020恒成立，

e

令g(x)="(x-a-l)-则g(x)minNO，

e

由(1)知：g(%)在X£(-ooM)上单调递减，在XW(Q,+oo)上单调递增，

则g(x)mm=g(a)N0,即「(。一。一1)一420

e

整理得e"+i+aWO，

令/i(x)=*i+x,/(x)=*i+l>0恒成立，即/?(x)="+i+x在R上单调递增，

而力(-1)=0-"|-1=0,h(a)=ea+'+a<O=h(.-Y),

所以aW—1,即a的最大值为-1.

【点睛】本题考查利用导数研究含参函数在定区间单调性，由恒成立问题求解参数

取值范围，考查了分类讨论，转化与化归思想，属于中档题

(2019•全国高考真题(文))

11.已知函数/(x)=2siriv—xcosx-x,f(x)为/(x)的导数.

(1)证明：/'(无)在区间(0,万)存在唯一零点；

(2)若xG［0,用时，f(x)>ax,求a的取值范围.

【答案】(1)见解析；

(2)<7G(-OO,0］.

【解析】

【分析】(1)求导得到导函数后，设为g(x)进行再次求导，可判断出当xe(o，d

时，g'(x)>0,当时，g'(x)<0,从而得到g(x)单调性，由零点存在定

理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；(2)构造函数〃(x)=/(x)-以，通过

二次求导可判断出〃'(力*=〃'(»)=一2-a,〃'⑺皿「"仁卜平―。；分别在

■/Z"yr,

QW—2,—2<aW0,0<。<=和。之三的情况下根据导函数的符号判断〃(x)

单调性，从而确定4x)20恒成立时。的取值范围.

【详解】(1)/r(x)=2cosx-cosx+xsinx-l=cosx+xsinx-l

令g(x)=cosx+xsinx-1,贝(Jg'(x)=-sinx+sinx+%cosx=xcosx

当X«(U)时，令g〈X)=0,解得：x=%

,当xe1°m时，g3>0；当时,g'(x)<0

・•.g(x)在I。,雪上单调递增；在(|,"上单调递减

又g(0)=lT=0,g0=、T>0,g(%)=TT=-2

即当日0总时，g(x)>0,此时g(x)无零点，即/'(力无零点

••・g(3g⑺<°•,•现《宗万),使得g(/)=o

又g(x)在倍，加上单调递减，x=Xo为g(x)，即/'(x)在(g，乃上的唯一零点

综上所述：尸(%)在区间(0,1)存在唯一零点

(2)若％«0,句时,f(x)>ax9即/(%)-⑪/0恒成立

令〃(%)=/(%)一依=2sinx-xcosx-(a+l)x

则〃'(x)=cosx+xsinx-l-Q,〃"(x)=xcosx=g'(x)

由(1)可知，〃'(x)在„上单调递增；在停，上单调递减

且〃'(0)=-Q,"(—J=兀J_a,“(乃)=_2_Q

="(»)=-2-m〃(x)1nm="月=三-a

①当aK-2时,“(4n="(%)=-2-a"，即〃'(x)川在［0,司上恒成立

.•.〃(%)在［0,司上单调递增

.,./?(%)>/?(0)=0,即/(x)-axiO,此时/(x)2ax恒成立

②当一2<aW0时，//(0)>0,〃'(")<0

二叫《多万)，使得〃(4)=0

.•/(X)在［O,xJ上单调递增，在(七,可上单调递减

又〃(0)=0,〃(乃)=2sin"-7rcos;r-(Q+l)7r=-Q；TN0

・・/(%)20在［0,可上恒成立,即“X)之以恒成立

③当0<a<£|^时，〃(0)<0,=—

二大2e(o，'|)，使得"优)=。

.•/(X)在［0,£)上单调递减，在上单调递增

.,.xe(O,x2)0'J-,/i(x)</i(O)=O,可知/(x)2ax不恒成立

④当心一时，如『嗯)=三一。40

.•/(力在(0段)上单调递减\〃(x)<〃(0)=0

可知/(x)2⑪不恒成立

综上所述：ae(-<»,0］

【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围

的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的

方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构

造函数的单调性，从而得到最值.

高频考点四：利用导数证明、解不等式问题

【典例7】(2019•山东高考模拟(文))

357913

12.已知函数/(x)=l+x-Lr+Lr一r土+上r一r"二+r二，则使不等式/(x-l)>0成

35791113

立的X的最小整数为

A.-3B.-2C.-1D.0

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，求出f(x)的导数，利用等比数列前〃项和公式分析可得/(幻>0,

进而可得/(x)在/?上为增函数，求出/(-1)与/(-2)的值，由函数零点判定定理可

得/(x)在(-2,-1)上存在唯一的零点，设其零点为，，据此可得

/(x—l)〉0nx-l>，=x>r+l,分析f的取值范围即可得答案.

V3r5x;r9r11产

【详解】根据题意，函数/(x)=i+x-L+二一二+二一L+二，其导数

35791113

r(x)=l-x2+x4-x6+x8-xl0+x12,

XH0时，/'(x)可以看成是1为首项，―-为公比的等比数列，

则有fix')=1-X2+X4-X6+x8-X10+X12=1+1〉0,

1+x~

函数/(X)在R上为增函数，

又由/(T)=l+(T)+(g-1)+(；―}+(《一'>0,

/(—2)=1+(—2)+------+--------+--------<0,

(35)(79)(1113J

则函数/(x)在(-2,-1)上存在唯一的零点，设其零点为乙

y（x-i）>o=>x—1>/=>%>?+1,

又由一2</<—1,则—l<r+l<0,

故不等式f(x-l)>0成立的X的最小整数为0；

故选D.

【点睛】本题考查函数与不等式的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属

于常考题型.

【典例8】(2019•北京高考真题(文))

13.已知函数/(x)=；d——+x.

(I)求曲线y=/(x)的斜率为1的切线方程；

(II)当xe［—2,4］时，求证：x-6<f(x)<x.

(Ill)设E(x)="(x)—(x+a)|(aeR),记F(x)在区间［-2,4］上的最大值为M

(a),当例(a)最小时，求a的值.

【答案】(I)x-y=0和27x—27y-64=0.

(II)见解析；

(III)a=—3.

【解析】

【分析】(I)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐

标即可确定切线方程；

(11)由题意分别证得〃力一(％-6)“和/(可740即可证得题中的结论；

(III)由题意结合(II)中的结论分类讨论即可求得。的值.

【详解】(I)f'(x)=-x2-2x+\,令r(X)='X2—2X+I=I得％=0或者x=2.

443

当x=0时，/(0)=0,此时切线方程为旷=》，即x—y=0；

当无=［时，/(|)=，，此时切线方程为y=x_£，即27x_27y_64=0；

综上可得所求切线方程为x-y=0和27x-27y-64=0.

133

(n)设g(x)=/(x)-x=Tx3-x2,g/(x)=-x2-2x,令g'(x)=：x2-2x=0得

444

x=0或者x=|,所以当xe［—2,0］时，g'(x)20,g(x)为增函数；当xw(0,|)

Q

时，g'(x)<0,g(x)为减函数；当xw[§,4]时，g'(x)NO,g(x)为增函数；

而g(0)=g(4)=0,所以g(x)«O,EP/(x)<x；

同理令/7(幻=，。)一“+6='/一/+6,可求其最小值为〃(-2)=0,所以

4

h(x)>0,即/(x)2x-6,综上可得x-6«/(x)4x.

(Ill)由(II)知-64由(x)-x40,

所以“⑷是时,|。+6|中的较大者，

若„,+6],即aW—3时，，M(a)=|a|--a>3-

若同<|a+6],即。>一3时，M(a)=|a+6|=a+6>3；

所以当M3)最小时，M(a)=3,此时a=—3.

【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的

方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

【规律方法】

利用导数证明不等式;U)>g(x)的基本方法

⑴若./(X)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明段)min>g(x)max；

(2)若"x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数〃(x)=Kx)—g(X),然后根据函数以X)的单调性

或最值，证明〃(X)>0.

【变式探究】

(2018•全国高考真题(理))

14.已知函数f(x)=—x-alnx.

x

(1)讨论的单调性；

(2)若f(x)存在两个极值点证明：财,faf.

x「x?

【答案】(1)见解析•；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对。进行分类讨论，从

而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；

⑵根据/（X）存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定。＞2,令

/（%）=0,得到两个极值点和超是方程/-办+1=0的两个不等的正实根，利用

韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.

【详解】（1）〃X）的定义域为（o,小），r（x）=-4-i+-=-r~T+1

XXX

(i)若aW2,则_f(x)W0,当且仅当a=2,x=l时/'(x)=0,所以/(x)在

（0,+8）单调递减.

（ii）若a＞2,令/'（x）=0得，工=""三或x=三.

当xw0,qa+J［—4,+oo时，r（x）＜0；

当xJ菩m,铐三］时，广⑺〉。.所以/（x）在

I22）

口伫*三［卜±妾&+］单调递减，在（伫咚三,”华工］单调递

增.

（2）由（1）知，/（%）存在两个极值点当且仅当a＞2.

由于/（x）的两个极值点和入2满足/-依+1=0，所以玉々=1,不妨设玉＜彳2，

则々>1.由于

1、Inx,-lnx.Inx.—lax.八—21nx

-------=------1+a——------9=-2+a——!-----=-2+---9-

%-工2—-X'

/2

所以/(“,―/(X2)<“—2等价于工_/+211^2<0.

王一工2%2

设函数g(x)=g-》+2山，由⑴知，8(尤)在(0,”)单调递减，又g⑴=0,

从而当X€(l,+oo)时，g(x)<o.

所以,一々+211«，＜0,即“"J-"3%]—2.

龙2%一工2

【点睛】该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究

函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程

中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存

权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关

注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.

（2019•浙江高考模拟）

15.设函数/（x）=0^2_]nx（。£R）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若/（幻之0恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）[丁,+oo）

【解析】

【分析】（1）求出导函数f（x）=皿3（x＞0）.可得当aWO时，/（x）＜0,函数

〃x）在（0,+«））上单调递减；当。＞（）时，令/'（x）=0求得x值，把定义域分段，由导

函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性;

上单调递减，在（含,+8）上单

（2）/（X）20恒成立，由⑴知/（x）在。

调递增，求其最小值,由最小值大于等于0求解。的取值范围.