2023届经济类、管理类考研数学基础班课程讲义

《附件3》--2023届管理类考研数学基础班课程讲义

导论

一、管理类联考数学考试大纲

管理类专业学位联考（MBA,MPA,MPAc等）综合实力考试数学部分要求考生具有运用数学

基础学问、基本方法分析和解决问题的实力.

综合实力考试中的数学部分（75分）主要考查考生的运算实力、逻辑推理实力、空间想象

实力和数据处理实力，以及分析问题和解决问题的实力，通过问题求解（15小题，每小题3

分，共45分）和条件充分性推断（10小题，每小题3分，共30分）两种形式来测试.

数学部分试题涉及的数学学问范围有：

（一）算术

1.整数

（1）整数及其运算⑵整除、公倍数、公约数（3）奇数、偶数（4）质数、

合数

2.分数、小数、百分数

3.比与比例

4.数轴与肯定值

（二）代数

1.整式

（1）整式及其运算（2）整式的因式与因式分解

2.分式及其运算

3.函数

⑴集合（2）一元二次函数及其图像⑶指数函数、对数函数

4.代数方程

⑴一元一次方程（2）一元二次方程⑶二元一次方程组

5.不等式

⑴不等式的性质（2）均值不等式⑶不等式求解：一元一次不等

式（组），一元二次不等式，简洁肯定值不等式,简洁分式不等式.

6.数列、等差数列、等比数列

（三）几何

1.平面图形

（1）三角形（2）四边形（矩形、平行四边形、梯形）（3）圆与扇形

2.空间几何体

⑴长方体（2）柱体⑶球体

3.平面解析几何

⑴平面直角坐标系（2）直线方程与圆的方程⑶两点间距离公式与点到直线的

距离公式

（四）数据分析

1.计数原理

（1）加法原理、乘法原理（2）排列与排列数⑶组合与组合数

2.数据描述

⑴平均值（2）方差与标准差（3）数据的图表表示：直方图，饼图，数

表

3.概率

⑴事务及其简洁运算⑵加法公式⑶乘法公式⑷古典概型⑸伯

努利概型

二、数学基础两种考查题型

数学基础共25道题，满分75分，有两种考查题型：

第一种是问题求解，题，每道小题3分，共45分；

其次种是条件充分性推断，16-20题，每道小题3分，共30分.

两种考查形式说明如下：

1.问题求解题型说明

联考中的问题求解题型是我们大家特别熟识的一般选择题，即要求考生从5个所列选项

（A）、（B）、（C）、（D）、（E）中选择一个符合题干要求的选项，该题型属于单项选择题，有且只有

一个正确答案.

该题型有干脆解法（依据题干条件推出结论）和间接解法（由结论推断题干是否成立）两种

解题方法.下面举例说明：

【范例1］（202301）方程上—|2犬+1||=4的根是（）.

（A）X=-5或x=l（B）X=5或x=-l（c）x=3或无=-2（D）X=-3或x=—（E）

不存在

【答案】c

2.条件充分性推断题型说明

本大题要求考生推断所给出的条件⑴和条件⑵能否充分支持题干中陈述的结论（而不

必考虑条件是否必要）.A、B、C、D、E五个选项为推断结果，请选择一项符合试题要求的推

断.

A.条件⑴充分，但条件⑵不充分.

B.条件⑵充分，但条件⑴不充分.

C.条件⑴和(2)单独都不充分，但是条件⑴和⑵联合起来充分.

D.条件⑴充分，条件(2)也充分.

E.条件⑴和(2)单独都不充分，联合起来也不充分.

这类问题是结论明确，反问须要什么数学条件可以推出己给的结论，进一步说明:

1)充分性

逻辑角度:假如条件A成立，能推出结论B成立，即AnB,称A是8的充分条件.

集合角度：A^B(A是8的子集)，则A是8的充分条件.

2)题目的设计：

【题例】题干(结论)

(1)条件一(2)条件二

3)选项设置

条件⑴条件(2)联合(交集)答案

/XA

X/B

XX/C

//D

XXXE

【考题范例1】(2023)直线y=x是抛物线y=炉+。的切线.

⑴y=x+Z?与y=炉+。有且仅有一个交点.⑵炉-x>b-a(xeR).

【答案】A

【考题范例2](2023)某单位年终共发了100万元奖金，奖金金额分别是一等奖1.5万元、

二等奖1万元、三等奖0.5万元，则该单位至少有100人.

(1)得二等奖的人数最多.⑵得三等奖的人数最多.

【答案】B

【考题范例3】(2023)设“、匕为非负实数，则a+公*.

4

(l)ab<—.(2)a2+b2<I

16'

【答案】c

【考题范例4】(2023)已知〃是正整数，则，”是偶数.

(1)3/〃+2〃是偶数.(2)3〃/+2/是偶数.

【答案】D

【考题范例5】(2023)p=mq+l为质数.

(1)机为正整数，q为质数.⑵〃7,4均为质数.

【答案】E

4)解题策略

恒久是从条件推结论，但可以将条件或者结论做等价化简.

解题策略1：假如条件是等号，则干脆代入结论推断是否成立；

解题策略2：假如条件是范围，则看条件范围是否落入结论的范围;

解题策略3：可找特殊值证伪，一点即可说明不充分.

考点精讲

第一章算术

第一节整数

一、整数及其除法

整数包括正整数、负整数和零.两个整数的和、差、积是整数，但两个整数的商不肯定

是整数.

1、带余除法

Va/eZ,Z?NO,3p,reZ,使得a-pb+r,OWr<|h|成立，且p,/•唯一，则称

p为a被b除所得的商叫做a被b除所得的余数.

2、整除

Ma,beZ,且br0,mpeZ,使得。=p。成立,则称匕整除a,止匕时力称为a的约数

(因数)，。称为b的倍数，记为b|a.

3、整除的性质

(1)c\b,b\a=>c\a

(2)c\b,c\a^>c\(ma+nb),(Vm,nGZ)

4、整数的分类

由带余除法，可依据余数将整数进行分类.

例如，整数被2除的余数是0,1,从而可将整数分为两类：2”,2〃+1(neZ),即偶数和奇

数；类似的，整数被3除的余数是0,1,2,从而可将整数分为三类：

3〃+1,3〃+1,3〃+2(neZ).

5、整除数的特征

被2整除的数的特征：

被5整除的数的特征：

被4,25整除的数的特征：

被8,125整除的数的特征：

被3,9整除的数的特征：

被6整除的数的特征：

被10整除的数的特征：

被12整除的数的特征：

【例1】当整数〃被6除时，余数为3,则下列哪项不是6的倍数？（）

A.n-3B.n+3C.2nD.3nE.4n

【例2】假如〃是一个正整数，那么“3一〃肯定有约数（）.

A.4B.5C.6D.8E.9

［例3］有一个四位数,它被131除余13,被132除余130,则此数的各位数字和为（）.

A.22B.23C.24D.25E.26

二、质数与合数

1、定义

质数：一个大于1的整数，假如它的正因数只有1和它本身，则称这个数是质数（素数）.

合数：一个大于1的整数，假如除了1和它本身以外，还有别的正因数，则称这个数是

合数.

注：由定义知，1既不是质数也不是合数.

2、质数的性质

（1）最小的质数是2；质数中只有2是偶数，其它都是奇数.

（2）若〃为质数，a是任一整数，则p|a或。与〃互质（。与〃的最大公因数是1）

（3）设q,4，L是〃个整数，〃为质数，若p|（q,a2，L,%），则〃至少能整除

其中一个4.

3、质数分解定理

任何一个大于1的整数，都能分解成若干个质数的乘积，且分解形式是唯一的，即

a=P,"p2L-pn,其中a>l的整数,P「P2，L,p.均为质数

【例4】三名小孩中有一名学龄前儿童（年龄不足6岁），他们的年龄都是质数（素数），且依次

相差6岁，他们的年龄之和为（）岁.

A.21B.27C.33D.39E.51

［例5］设a,),c是小于12的不同质数(素数)，且卜―月+也―d+k—4=8,则a+b+c=

().

A.10B.12C.14D.15E.19

【例6】假如a,》,c为3个连续的奇数，则a+b=3O.

(1)10<«<Z?<c<20.(2)0,c均为质数.

三、最大公因数与最小公倍数

1、定义

(1)公因数、最大公因数：设a,b是两个整数，若整数。满意d|a,d|。，则称d为

a,匕的一个公因数(公约数)，其中最大的公因数称为a,匕的最大公因数，记为

(a,b).

注：若(。,勿=1,则称a,b是互质的.

(2)公倍数、最小公倍数：设对》是两个整数，若整数。满意则称d为

。,匕的一个公倍数，其中最小的公倍数称为a,b的最小公倍数，记为［a,。］.

2、性质

(1)若a|d,b|d,则

(2)ab-(a,b)［a,b］

(3)若a|bc,且(a,b)=l,则a|c.

【例7】(a,与=30,［。向=18900

(1)a=210(),。=27()(2)a=140/=81()

【例8］两个正整数的最大公约数是6,最小公倍数是90,满意条件的正整数共有（）

对.

A.1B.2C.3D.4E.5

其次节实数及其运算

一、实数的分类

「整数

（有理数］

实数〔分数（有限小数、无限循环小数）

、无理数（无限不循环小数）

1、实数的运算

（1）加1、减、乘、除

（2）乘方运算

a"=由磔卬毛,a~"=—,aa—1

na

（3）开方运算

2、实数的整数部分和小数部分

(1)定义：表示不超过x的最大整数，令{x}=尤一[幻，称[出是x的整数部

分，“}是x的小数部分.

(2)性质:x={x}+[x]0<{%}<1

3、有理数

m

(1)整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成一，(团,〃£2/。0)的形

n

式.

m

最简分数：若(m,〃)=1,称一为最简分数或既约分数.

n

(2)有理数之间的相互转化

分数---►小数

小数---►分数

4、无理数

无限不循环小数称为无理数.

(1)无理数与有理数的运算

“有”+、一、X、+“有”=

“有”+、-“无”=

“有”X、+“无”=

注：若是有理数，、几是无理数，则a+b〃=Ona=/?=O

(2)处理无理数的方法：乘方、配方、有理化

【例9】若人是最简分数，其中凡。取1~9中的整数，但-，则3=()

b9«+2bh

A.-B.-C.-D.-E.以上结果均不正确

7654

【例10】已知a为无理数，(a+l)(a+3)为有理数，则下列正确的有()个.

7

①a必为无理数.②(a+1>必为无理数.

③(a+2)2必为有理数.④(a+2)(。-2)可能为有理数.

A.0B.1C.2D.3E.4

【例11］己知a,b,c为有理数,且，8-2岳+c贝ij«2+/?2+c2=().

A.2B.3C.4D.5E.7

万+1

(例12]:上的整数部分为a，小数部分为/3,则a(3=(

).

<7-1

第三节比和比例

比、比例的定义

若a:b=c:d或色=£，则a和d为比例外项，/?和c为比例内项，当时，称

hd

b为a和d的比例中项，即b2=ad.

二、比例的性质

1、比例的基本性质

a...

(1)—=k=>a=b-k

b

ama.八、

(2)£=F(mx°)

bmb

(3)?=W=ad=bc

ba

2、更比定理

aab

——=——zz>—=—

bdcd

3、合、分比定理

aca+mbc-vind

-=—z^>----------=-----------

bclb+nad+nc

4、等比定理

ace.a+c+e,....八、

一=—=——=%=>------=k,3+d+f70)

bdfh+d+f

.,,,*b+c—ac+a—hb+a—c…a

【例13]已知非零实数a,。,c,满意-----------=-----------=-----------=%，则1=

abc

().

A.0B.0或-8C.—2或1D.1或一8E.-8

【例14】设。>力>加>0,在有意义的条件下则/产/产也的大小关系为

h-mhb+m

：).

A./3</2<4B./,</,</3C,/,</,</3

D.12<I3</]E.I,</3<I2

三、百分比问题

1、定义：3xioo%=r%,即a=0-r%,则称为a是6的「％.

b

2、增长率

增长的百分比=后来来值x100%

原来值

减少的百分比=原来)炉值x100%

原来J值

注：。比b大p%=^^xl00%=〃％oa=b.(l+p%)

h

〃比a小p%=土心xl(X)%=p%=b=a.(l_p%)

3、增加并存的复原问题

(1)设价格为p的商品，先提价「％,在降价「％后,则改变后的价格为.

(2)设价格为p的商品，先提价「%,则降价%,复原原价.

(3)设价格为p的商品，先降价r%,则提价%,复原原价.

【例15］某电子产品一月份按原定价的80%出售，能获利20%.二月份由于进价降低,

按同样原定价的75%出售，却能获利25%,那么二月份的进价是一月份进价的()

(A)92%(B)90%(C)85%(D)80%(E)75%

【例16】A企业的职工人数今年比前年增加了20%.

(1)A企业的职工人数去年比前年削减了20%.

(2)A企业的职工人数今年比去年增加了50%

【例17】第一季度甲公司的产值比乙公司的产值低20%；其次季度，甲公司的产值比第一季

度增长了20%,乙公司的产值比第一季度增长了10%；其次季度甲、乙公司的产值之比是

().

A.96：115B.92:115C.48:55D.24:25E.10:11

【例18】甲、乙、丙三种物品，已知甲与乙的价格之和与丙的价格之比是7:2；乙与丙的价

格之和与甲的价格之比为8:3,则甲与丙的价格之和与乙的价格之比是（）.

A.49:50B.37:50C.37:40D.47:60E.49:60

第四节肯定值

肯定值的定义和性质

1、定义和几何意义

x-ax>a

(1)定义：|。|二〈0a=O\x-a\=<0x=a

a-xx<a

（2）几何意义

Ia|表示点a到原点的距离.

\x-a\表示点x到a的距离.

2、肯定值的性质

（1）非负性：

注：非负性的和为零，则每项均为零.

（2）对称性：|々|二|一。|,|〃一〃|二|〃一々|

（3）自比性：一|。区。|

[2a>O,b>0

a[1a>0ab八,

—=\,—+——0ab<0

\a\-1a<0|a|\b\

i-2av0,〃<0

（4）平方、开方性=|a\

（5）三角不等式:\\a\-\b\\^a±b\^a\+\b\

留意：取等号的条件.

Ia-\-b\=\a\+\b\oab>Q

\a+bH\a\-\b\\^ab<0

\a-b\=\a\+\b\oab<Q

\a-b\=]\a\-\b\\<^>ab>0

【例19]已知|x-y+l|+(2x-y)2=0,则logvx=()

A.0B.1C.-1D.2E.-2

【例20](4x-10y)z=1V2.

(1)实数x,y,z满意(x-2y+l)2+Jx-1+|2x-y+z|=0

(2)实数x,y,z满意,2+4肛+5切+Jz+g=_2y-l

2r-11-?r

【例21]若|三」|=LW成立，则x的取值范围是().

33

A.x>—B.x——C.x<一D.x>—E.

2222

x弓

【例221|3+|2-|l+x|=—x成立.

(1)x<Y.5

(2)-4.54x4—3

【例23】等式|2加一7|=|m一2|+|加一5|成立，则实数，〃的取值范围是()

A.2<m<5B.x<—2或x25C.-2<m<5

D.xW2或x25E.xW-5或x2-2

二、肯定值等式和不等式

方法：(1)公式法；(2)零点分段探讨法；(3)平方

1、肯定值等式

|x-a|-b.

求解：①/?<()=>方程无解.

②匕=0=>方程有唯一解x=a.

(§)/>>()=>方程有两个角阜x=a士人.

注：保证肯定值的非负性.

2、肯定值不等式

(1)</?

0,b<0

解集为:

a-b<x<a+b,b>0

(2)\x-a\>b

R,h<0

解集为：b=0

x>a+b^x<a-b,b>0

【例24】方程2x—|x—1|=6的根为().

77

A.x=-5或x=lB.x=5或x=—C.x=-x=3或x=-5

33

D.x=-3或x=*E.x=5

3

【例25】方程|x+2|+H=3无根.

(1)x>\.(2)x<-2

【例26】可以确定底土攻=2.

x-y

(1)2=3；(2)-=-

yy3

【例27］已知6+2f=一%岳二,则x的取值范围是()

A.x<0B.x>-2C.-2<x<0D.-2<x<0E.

-2<x<0

【例28】方程f一N=a有三个不同的解,则实数a的取值范围是（）.

(A)a=0(B)。〉0或。<一1(C)a<-\(D)一1<。<0(E)。〉0

【例29】实数x满意|无一上1|+|不一3口＜2.

22

2x-l2元一1

(1)

3⑵I」

三、肯定值最值问题

1、肯定值函数取最值的结论

(1)/(x)=|x-a|+|x-Z?|

(2)/(x)=|x-a|-|%-Z?|

(3)/(%)=|A：-a|+|A：-Z?|+|%-c|

31

【例30】f(x)=\x一一|-|X一一|的最小值为()

44

(A)-(B)--(C)0(D)1(E)-

224

【例31］若关于x的不等式|3-x|+|x-2|<a的解集是空集，则实数a的取值范围是

().

(A)a<\(B)a<\(0a>\(D)a>l(E)awl

2、含有肯定值的确定取值范围的问题

(1)恒成立、无解

/(x)>a恒成立=f(x)<a无解u>fmin(x)>a

/(x)<a恒成立of{x}>a无解<=>九*(x)-a

f(x)>a恒成立=/(x)<a无解o/施(x)>a

f(x)<a恒成立=/(x)>a无解=/11ax(x)<。

(2)有解

设/(x)是肯定值的和或差构成的函数(连续)，则

f(x)=a有解0ymM(x)<a

f(x)=a无解ofmin(x)>a

【例32】方程|1一x|+|l+x|=a无解.

(1)a=l(2)a<2

【例33】不等式打一2|+|4—卅<S无解.

(1)S<2⑵S>2

【例34】方程|4-x|-|l+x|=a有无穷多解.

⑴a=5(2)a=-5

【例35]|5-3%|-|3%-2|=3的解集是空集.

/八5小75

(1)x>—(2)—<x<一

363

其次章代数式和函数

第一节整式

一、基本概念

1、代数式的分类

-单项式

[整式＜

(有理式1[多项式

代数式〔分式

、无理式

2、一元"次多项式

f(x)-anx"+a“_|X"T+L+a]x+a0(an*0)称为关于x的一元〃次多项式.

多项式相等定理：

n

设fM=anx+an_{x"~'+L+atx+a0，g(x)=bnx"+bn_xx''~'+L+blx+b0,则

/(x)=g(x)o=bn,an_y=,L4=配4=%

二、整式的运算

1、乘法公式

①(x±y)?=x2±2xy+y2

②x2-y2=(x+y)(x-y)

③(x+y+z)2-x2+y2+z2+2xy+lyz+2xz

④x3+j3=(x±j)(x2+xy+y2)

⑤(x±»=J?±3》2y+3孙2±y3

注：x2+y2+z2—xy-yz-xz=^[(x—y)2+(y—z)2+(z-x)2]

【例1】对随意实数x,等式⑪一4尤+5+〃=0恒成立，则(。+。产5=()

A.0B.1C.-1D.22015E.2'007

【例2】已知/一3%=9,则/一3丁—27》+5=()

(A)83(B)84(C)85(D)86(E)87

【例3】实数a1,c中至少有一个大于零.

(1)x,y,z£/?,ci—x—2yd—，/?=y~-2zd—,c=z~-2xd—

236

(2)xeR且a=x-l,O=x+1,c=x2-l

2、整式除法

(1)竖式除法

(2)带余除法

随意多项式/(x),g(x)(g(x)HO),则存在唯一的p(x),r(x),使得

/(x)=g(x>p(x)+r(x),其中r(x)的次数比g(x)的低，则称多项式/(x)除以g(x)商式

为P(x),余式为r(x).

3、整除

(1)定义：当r(x)=0时，/(x)=g(x)-p(x),称整式/(x)能被整式g(x)整除，

称g(x)为/(x)的一个因式，记为g(x)"(x).

(2)性质：

若h(x)|g(x),且g(x)\f(x)，则h(x)1/(%).

若/i(x)|g(x),且/i(x)|/(x),则g)|(“(x)/(x)土Wx)g(x)).

4、因式定理

f(x)含有(公一。)因式o/(x)能被(方-。)整除o/(-)=0.

a

注：一次因式的零点恰为对应多项式方程的根.

5、余式定理

多项式f(x)除以(方一切的余式为r=/(—).

a

【例4】若多项式/(xhl+Yf+xTa能被x-i整除，则实数。=()

A.0B.1C.0或1D.2或TE.2或1

【例51二次三项式%2+x—6是多项式2x"+%3—ax~+bx++/?—1的一■个因式.

(1)。=16(2)b=2

【例6】若炉+x+m被x+5除，余式为-3,则m=()

A.21B.22C.-22D.23E.-23

【例7】若/(x)被x-l除，余式为9；若/(x)被X-2除，余式为16,则/(x)被

(x-l)(x-2)除的余式为()

A.7x4-2B.7x+3C.7x+4D.7x+5E.2x+7

【例8】若三次多项式g(x)满意g(-l)=g(0)=g(2)=0,g(3)=-24,多项式

f(x)=xA-x2+l,则3g(x)-4/(x)被x—l除的余式为()

A.3B.5C.8D.9E.11

三、整式的因式分解

把一个整式化为若干个其他的整式乘积的运算称为整式的因式分解.

常用的因式分解的方法：

1、公式法

2、十字相乘法

3、待定系数法

【例9】多项式/+如2+区一6的两个因式是x+2和％一3,则第三个一次因式是（〉

A.x-6B.x-3C.x+1D.x+2E.x+3

【例10］若（l—2x+y）是4孙一4%2-,2一机的一个因式，则"?=（）

A.4B.1C.-1D.2E.0

其次节分式

分式的基本概念

1、定义

A

（D-（8。0）称为分式，其中A称为分子，B称为分母.

（2）最简分式（既约分式）：分子和分母没有正次数的公因式的分式.

2、分式的基本性质

（1）分子和分母同乘以（或除以）同一个不为零的式子，分式的值不变.

（2）约分：把分式的分子与分母的公因式约去.

（3）通分：把异分母的分式化为与原来的分式相等的同分母的分式.

3、分式的运算

（1）分式的加减运算

（2）分式的乘除运算

（3）分式的乘方运算

4_4，—

【例11］当x=2005,y=1949时，代数式，，一''，•夺=的值为()

x-2xy+y-r+y

A.-3954B.3954C.-56D.56E.128

【例12］已知Q+/?+C=O,则。（，+!）+伏，+!）+。（工+!）二的值为（）

bcacab

A.0B.1C.2D.-2E.-3

二、x'+］类型

A

解题方法：递推公式

铲”+'^r=（，+f（尸++）-（*+J）

【例13］若无2-5x+l=（）,则/+口的值为（）

X

A.527B.257C.526D.256E.356

2

富—;的值为(

【例14］若正实数满意2.-24,则,）

CI4+CI+1cr+〃+1

A.-B.-C.-D.—E.—

2461224

三、分式方程

AfA=()

1、分式方程一=0的解为4

BBHO

A=（）A八

2、增根：使得1成立的根称为方程一=0的增根

B=0B

【例15］若关于X的方程--=1-一巴；有增根，则加的值为（）

x-3x-3

A.0B.3C.-1D.-2E.-3

33/-40尤+244c

9二3

【例16]*-Sx+15成立.

⑴x=J19-8g(2)X=J19+8G

第三节函数

函数的基本属性

1、函数的三要素：定义域、对应法则、值域

注：常用的函数定义域的基本原则

（1）分母不能为零；

（2）偶次根式中被开方数不能小于零；

（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

（4）零指数累的底数不等于零；

（5）实际问题要考虑实际意义等

2、单调性

设函数/（x）在区间［a,句有定义,对于随意的大户2G［。，句，

(1)单调增力口：若％有/(%)</(/)，则称/(X)在区间出,切上单调增加；

(2)单调削减：若％<々，有JG)>则称/(x)在区间句上单调削减.

(3)复合函数的单调性

法则：单调性相同的两个函数复合，得到的新函数是单调增加的；单调性不同的两个

函数复合，得到的新函数是单调削减的.

3、奇偶性

(1)偶函数：若函数/(幻在定义域上满意/(—x)=/(x),则称/(x)为偶函数；

(2)奇函数：若函数f(x)在定义域上满意/(一幻=一/(幻，则称f(x)为奇函数；

(3)性质：偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称.

二、一元二次函数

1、一元二次函数的解析式

(1)一般式：/(x)=ax2+bx+c(a*0)

(2)零点式：f(x)-a(x-xt)(x-x2)(a7O)

(3)顶点式：f(x)=a(x+—)2+4aC~b(a#0)

2a4a

2、一元二次函数的图像及其性质

(1)图像：抛物线

开口

判别式

对称轴

零点

顶点

(2)单调性:

bb

当a>0时，在(—8,—」」上是单调削减的，在［一二,+8)上是单调增加的；

2a2a

hb

当a<0时，在(-8,-二］上是单调增加的，在［-人,+8)上是单调削减的.

2a2a

(3)最值：一元二次函数在对称轴处取到最值

当a>0时，开口向上，有最小值；当a<0时，开口向下，有最大值.

注：限定区间的最值问题，有时还须要结合单调性来求出最值.

(4)零点与韦达定理

设菁是一元二次函数f(x)=ax2+bx+c(a/0)与x轴的两个交点的横坐标(称为零

点)，则：

bc

【例17】函数y=2i在定义域上的单调性为（）

A.在（-8,1）上是增函数，在（1,+00）上是增函数B.减函数

C.在（-8,1）上是减函数，在（l,+o。）上是减函数D.增函数

E.以上结论都不正确

【例181一元二次函数y=x（l—x）的最大值是（)

A.0.05B.0.1C.0.15D.0.2E.0.25

【例19］设实数满意x+2y=3,则f+y2+2y的最小值是（）

D.y[5—1E.\/5+1

A.4B.5C.6

,1

【例20]若不等式公+④+藤。对一切xw(0,—)都成立，则a的取值范围是()

2

5,5

A.4/>0B.-1<<2<0C.—WaW—1D.a2—E.

22

a<-\

三、指数函数和对数函数

1、指数函数

（1）定义

y=ax,(a>0,a*1),定义域为R,值域为(0,+8).

(2)图像

(3)单调性

当a>l,y=优是单调增加的：当0<。<1,y=优是单调削减的.

(4)底数与图像的关系

当a>l,a值逆时针变大；当0<a<l,a值也是逆时针变大的.

2、对数函数

(1)定义

y=logox,(a>O,awl),定义域为(0,+8),值域为R.

(2)图像

(3)单调性

当a>l,y=/是单调增加的；当0<a<l,y=优是单调削减的.

(4)对数与指数的关系：

对数运算与指数运算是互逆运算=Nob=log„N

3、指数与对数的运算性质:

ah=N,a。=1,a=a,\a\=a

nm-n,■=叱,

a=a〃,(yab1)\=an・bin,

n

a=—,/9=N,log：=0,啕=1，

a"

M

log，"=log:+log：，log『=log?Tog：iogf=〃脸，

哨：='log：.

locg>a"=-i--

(ln

【例21］若一3<a<—2,则有()

(A)3">(一)">0.3"(B)0.3">(-Y>3a(C)(—)">0.3">3a

(D)3">0.3">(E)以上均不正确

【例22】a=(|)==的大小关系是().

(A)a>b>c(B)a>c>b(C)b>a>c(D)c>a>b(E)以上均

不正确

【例23］若log机3<log〃3<0,则加，〃满意条件()

A.m>n>\B.n>m>\C.0<m<n<l

D.0<n<m<lE.无法推断

【例24】函数/(》)=1。8“*2+2》_3),若/(2)>0,则/(x)的单调递减区间为()

A.(l94-oo)B.(—oo,—l)C.(-3)D.(-l,+oo)E.

(-oo,+oo)

【例25】已知函数/(x)=2A2—3x41且九2一%<0,则/(幻的最大值为()

A.0B.1C.2D.3E.4

Q

2

【例26】设1W尤W64,函数y=(log2x)4+12(log,x)log,-的最大值和最小值分别是

X

()

A.54,2B.81,9C.81,0D.54,0E.以上都不正确

第三章方程和不等式

函数、方程、不等式、平面解析几何等方面的问题本质上是同一个问题，只是探讨的角度不

同.

函数y=/(x)

零点，最值，值域.

不等式：

/U)*0P(x,y)满意的曲线方程

y(x)>o,/(x)<o

曲线交点，上方或下方

【主要考点】

1.代数方程：一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程组.

2.其他类型的方程：肯定值方程，分式方程，根式方程，对数方程，指数方程.

3.不等式：不等式的性质，一元一次不等式，一元二次不等式，简洁的一元高次不等式.

4.不等式组：由一元一次不等式和一元二次不等式等组成的不等式组.

5.其他类型的不等式：肯定值不等式，分式不等式，根式不等式，指数不等式，对数不等

式.

6.均值不等式，三角不等式.

7.线性规划问题：不等式组约束下的最值问题.

8.应用问题.

第一节方程

、基本概念

1.方程、解(根)

含有未知数的等式称为方程.

能使方程左右两端相等的未知数的值，称为方程的解或根.

考试只要求方程的实根，即方程在实数域内的解.

2.方程的元和次

“元”指的是方程中不同未知数的个数，“次”指的是方程中未知数的最高次数.

二、一元一次方程

1.方程的形式：ax=b

2.解方程

(1)若方程中的全部系数均为已知的实数，可利用代数式运算的法则求解方程；