小学数学五年级思维奥数寒假讲义-第3讲 平面几何模型-蝴蝶模型（教师版）

第3讲平面几何模型——蝴蝶模型【知识梳理】梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①②③的对应份数为=4\*GB3④S1×S3=S2×S4梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果。【典例精讲】如图，，，求梯形的面积。【答案】9【解析】设为份，为份，根据梯形蝴蝶定理，，所以；又因为，所以；那么，，所以梯形面积，或者根据梯形蝴蝶定理，。如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米。【答案】144【解析】根据梯形蝴蝶定理，，可得，再根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)．那么梯形的面积为(平方厘米)。梯形的对角线与交于点，已知梯形上底为2，且三角形的面积等于三角形面积的，求三角形与三角形的面积之比。【答案】【解析】根据梯形蝴蝶定理，，可以求出，再根据梯形蝴蝶定理，。如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知AO=1，并且，那么OC的长是多少？【答案】【解析】根据蝴蝶定理，，所以，又，所以。梯形的下底是上底的倍，三角形的面积是，问三角形的面积是多少？【答案】4【解析】根据梯形蝴蝶定理，，，所以。如图，梯形ABCD中，、的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积。【答案】7.5【解析】根据梯形蝴蝶定理，，所以，，，如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积。【答案】34【解析】如图，连结EF，显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积是．如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．【答案】20【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3，所以1的面积就是，3的面积就是．【能力提升】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积。【答案】1【解析】因为是边上的中点，所以，根据梯形蝴蝶定理可以知道，设份，则份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米。【课后巩固】1.如左下图，E是长方形ABCD边AB的中点，已知三角形EBF的面积是1平方厘米，求长方形ABCD的面积。【答案】12【解析】根据题意，,.所以，.长方形ABCD的面积为：2.正方形的边长为，是的中点（如图）。四边形的面积为。【答案】12【解析】连结，，即，，所以。3.如图面积为12平方厘米的正方形中，E、F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积。【答案】3【解析】因为是边上的三等分点，所以，设份，根据梯形蝴蝶定理可以知道份，份，份，因此正方形的面积为份，，所以，所以平方厘米。4.如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为___________平方厘米．【答案】9【解析】连接、．四边形为梯形，所以，又根据蝴蝶定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)．5.如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米．【答案】144【解析】根据梯形蝴蝶定理，，可得，再根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)．那么梯形的面积为(平方厘米)．6.在梯形ABCD中，上底长5厘米，下底长10厘米，平方厘米，则梯形ABCD的面积是______平方厘米。【答案】45【解析】因为AD∥BC，故又，故在与中，因其高相等，且BO:DO=2:1，故:=2:1而，故。同理，在与中，因CO:AO=2:1，且在相应边上的高相等，故:=2:1即.在中，因AO:CO=1:2，且其在相应边上的高相等，故:=1:2。即综上，=10+20+10+5=457.如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形的面积是，三角形的面积是，求四边形的面积。【答案】34【解析】如图，连结EF，显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积是．8.如图所示，、将长方形分成4块，的面积是5平方厘米，的面积是10平方厘米．问：四边形的面积是多少平方厘米？【答案】25【解析】连接，根据梯形模型，可知三角形的面积和三角形的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形的面积为(平方厘米)，所以长方形的面积为(平方厘米)．四边形的面积为(平方厘米)．9.如图，在长方形中，厘米，厘米，，求阴影部分的面积．【答案】3.5【解析】如图，连接，，由于，设份，根据梯形蝴蝶定理，份，份，份，因此份，份，而平方厘米，所以平方厘米10.如图，梯形中，、的面积分别为和，求梯形的面积．【答案】7.5【解析】根据梯形蝴蝶定理，，所以，，，．【小测验】1.梯形的下底是上底的倍，三角形的面积是，问三角形的面积是多少？【答案】4【解析】根据梯形蝴蝶定理，，，所以．2.如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．【答案】20【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3，所以1的面积就是，3的面积就是．3.如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．【答案】1【解析】因为是边上的中点，所以，根据梯形蝴蝶定理可以知道，设份，则份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米．4.在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是平方厘米．【答案】12【解析】连接，根据题意可知，根据蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)．5.E是平行四边形ABCD的CD边上的一