三年级奥数-周期问题（剖析版）

第09讲周期问题教学目标教学目标学会对一个周期问题进行分析、推理；利用我们的规律来解决一些较简单的问题；通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。知识梳理知识梳理一、周期问题在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。二、解题策略在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。典例分析典例分析考点一：一般周期问题例1、小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排列（如下图），请你算一算，第32个珠子是什么颜色？【解析】从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列，即6个珠子为一周期。32÷6=5（组）……2（个），32个珠子中含有5个周期多2个，所以第32个珠子就是重复5个周期后的第2个珠子，应为红色。例2、你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第20个图形分别是什么。（1）□△□△□△□△……（2）□△△□△△□△△……【解析】第（1）题排列规律是“□△”两个图形重复出现，20÷2=10，即“□△”重复出现10次，所以第20个图形是△。第（2）题的排列规律是“□△△”三个图形重复出现，20÷3=6…2，即“□△△”重复出现6次后又出现了两个图形“□△”，所以第20个图形是△。例3、100个3相乘，积的个位数字是几？【解析】这道题我们只考虑积的个位数字的排列规律。1个3.积的个位是3；2个3相乘积的个位数字是9；3个3相乘积的个位数字是7；4个3相乘积的个位数字是1；5个3相乘积的个位数字是3……可以发现，积的个位数字分别以3、9、7、1不断重复出现，即每4个3积的个位数字为一周期。100÷4=25（个），因此100个3相乘积的个位数字是第25个周期中的最后一个，即是1。例4、有一列数按“432791864327918643279186……”排列，那么前54个数字之和是多少？【解析】上面一列数中，从第1个数字开始重复出现的部分是“43279186”，周期数是8。要求出这列数字的和，就要先求出这列数里共有多少组“43279186”。54÷8=6（组）……6（个）因此，前6组数字和是（4＋3＋2＋7＋9＋1＋8＋6）×6=240，余下6个数字之和是4＋3＋2＋7＋9＋1=26。所以，这列数中前54个数字之和是240＋26=266。例5、小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有1页文字。如果这本书有128页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少页？【解析】已知这本童话书3页插图前后各有1页文字，也就是说这本书是按“1页文字3页插图“的规律重复排列的，把“1页文字3页插图”看作一周期，128页中含有128÷（1＋3）=32个周期，所以这本童话书共有插图3×32=96页。考点二：较复杂周期问题例1、有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。（1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少？【解析】（1）从排列可以看出，这组数是按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现进行排列，那么一个循环就是4个数，则129÷4=32…1，可知有32个“5、6、4、2”还剩一个。所以第129个数是5。（2）每组四个数之和是5+6+4+2=17，所以，这129个数相加的和是17×32＋5=549。例2、假设所有的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字母下面？ABCD123456789…【解析】从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大4个数一个循环，我们可以根据这些数除以4所得的余数来分析。39÷4=9…388÷4=22所以，39应排在第10个循环的第三个字母C下面，88应排在第22个循环的第四个字母D下面。例3、1991年1月1日是星期二，（1）该月的22日是星期几？该月28日是星期几？（2）1994年1月1日是星期几？【解析】（1）一个星期是7天，因此，7天为一个循环，这类题在计算天数时，可以采用“算尾不算头”的方法。（22－1）÷7=3，没有余数，该月22日仍是星期二；（28－1）÷7=3…6，从星期三开始（包括星期三）往后数6天，28日是星期一。（2）1991年、1993年是平年，1992年是闰年，从1991年1月2日到1994年1月1日共1096天，1096÷7=156…4，从星期三开始往后数4天，1994年1月1日是星期六。例4、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号，例如，第一年如果属鼠年，第二年就属牛年，第三年就是虎年…。如果公元1年属鸡年，那么公元2001年属什么年？【解析】一共有12种动物，因此12为一个循环，为了便于思考，我们把“狗、猪、鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡”看作一个循环，从公元2年到公元2001年共经历了2000年（算头不算尾），2000÷12=166…8，从狗年开始往后数8年，公元2001年是蛇年。实战演练实战演练课堂狙击1、“数学趣味题数学趣味题……”依次重复排列，第2010个字是什么？【解析】2010÷5=402

所以第2010个字是第402循环周期的最后一个字，是“题”。

2、盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一…第2001个字是什么字？【解析】2001÷8=250.....1所以第2001个字是“盼”。3、2001年8月1日是星期三，8月28日是星期几？【解析】28-1等于27天，27除以7等于3个星期余六天那么往后退六天正好是星期二，所以是星期二。4、100个2相乘，积的个位数字是几？【解析】5个2相乘等于32，那么5个32相乘个位数也是2因此25个2相乘个位数是2。因此以25为一份，100个2相乘可以分为4份，每份25个2相乘100个2相乘，个位数相当于2*2*2*2，因此个位数是65、有一列数按“9453672945367294……”排列，那么前50个数字之和是多少？【解析】“9453672945367294”……9453672这7个数字循环50/7=7......19+4+5+3+6+7+2=36前50个数字之和是36×7+9=2616、同学们做早操，36个同学排成一列，每两个女生中间是两个男生，第一个是女生，这列队伍中男生有多少人？【解析】每3个人循环一次，依次按照女生，男生，男生的顺序循环排列，36÷3=12，所以36人一共有12个循环周期；一共有男生：12×2=24（人）。7、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号。（1）如果公元3年属猪年，那么公元2000年属什么年？（2）如果公元6年属虎年，那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？（3）公元2001年属蛇年，公元2年属什么年？【解析】（1）龙年；（2）2000是龙年，第一个虎年是2010年；（3）狗年。8、有a、b、c三条直线，从a线开始，从1起依次在三条直线上写数（如下图），22、59、2001各在哪一条线上？【解析】用22,59,2001,分别除3,22除3余1,所以和1在一条线上,59余2所以和2在一条线上,2001刚好除尽,所以和3在一条线上,所以是a，b，c。课后反击1、把38面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？【解析】27+2=29。2、公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列，第63只灯泡是什么颜色？第112只呢？【解析】9个一组，一共7组。所以第63个是蓝色的。3、2001年6月1日是星期五，9月1日是星期几？【解析】2001年6月1日到9月1日有92天，92除以7余数是1，9月1日是星期六。4、50个7相乘，积的个位数字是几？【解析】7的一次方尾数是7，二次方尾数是9，三次方尾数是3，四次方是1，五次方是7，然后再是9，依次循环50个7相乘，应该是7的50次方，个位数字应该是95、有一列数“7231652316523165……”，请问从左起第2个数字到第25个数字之间（含第2个与第25个数字）所有数字的和是多少？【解析】7231652316523165，2+3+1+6+5=17，17×5=85从左起第2个数字到第25个数字之间所有数字的和是85-5=80。第二个数是2，第25个数是6。6、一个圆形花辅周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中间插两面黄旗。花辅周围共插了多少面黄旗？【解析】30÷3×2=10×2=20（面）。7、河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃，后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。接下去一直这样排列。问：第100棵是什么桃树？三种树各有多少棵？【解析】1+2+3=6,每6棵一轮回,96共可有16个回次,100-96=4,余下的是1+2+1,就是1棵蟠桃,2棵水蜜桃,1棵大青桃,16+1=17，16×2+2=34，16×3+1=49，有17棵蟠桃,34棵水蜜桃,49棵大青桃,第100棵是大青桃8、2001个学生按下列方法编号排成五列：一二三四五1234598761011121317161514…问：最后一个学生应该排在第几列？【解析】根据给出的排列方式找出一下规律：1.奇数行的最后一个数字是（该奇数*4+1）得到；2.偶数行的第一个数字是（该偶数*4+1）得到；而2001=500*4+1。500为偶数,根据规律就可以得到2001是在第500行的第一列直击赛场直击赛场1、●表示实心圆，○表示空心圆，若干个实心圆与空心圆排成一行如下：○●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●……在前200个圆中有________个实心圆。（第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试）【解析】200÷9=22…2，22×6+1=133（个），在前200个圆中有133个实心圆．2、今天（2010年4月11日）是星期日，则2010年的六一儿童节是星期。（第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试）【解析】4月11日到4月30日经过了：3