中考数学几何模型重点突破讲练：专题02 角平分线模型（教师版）

专题02角平分线模型模型分析模型分析【理论基础】角平分线的概念：如图，已知OC是的角平分线【模型变式1】双中点求和型如图已知OC是内任意一条射线，射线OE是的角平分线，射线OF是的角平分线【证明】射线OE是的角平分线，射线OF是的角平分线【模型总结】某个角内的一条射线，把这个角分成两个角，这两个角的平分线形成的角等于原来角的一半。【模型变式2】双中点求差型如图已知OB是外任意一条射线，射线OE是的角平分线，射线OF是的角平分线【证明】射线OE是的角平分线，射线OF是的角平分线【模型总结】某个角外的一条射线，以该射线为邻边的两个角的平分线形成的角等于原来角的一半。典例分析典例分析【例1】如图，已知和互余，、分别平分和，，则_______________°．【答案】【分析】根据余角的定义以及角平分线的定义解答即可．【解析】解：∵、分别平分和，，∴，，∴，∴①，又∵和互余，∴②，①＋②，得：，解得：．故答案为：．【例2】如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（

）A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD=∠EOCC．∠AOD+∠BOE=60° D．∠BOE=2∠COD【答案】C【分析】依据OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，即可得出∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°，结合选项得出正确结论．【解析】∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，∴∠AOD=∠COD，∠EOC=∠BOE．又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD=∠AOB=120°，∴∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°．故选C．【例3】如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？(2)如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系；(3)如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，①猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可；②当∠CON＝3∠BOM时，直接写出α、β之间的数量关系【答案】(1)45°(2)∠MON=α(3)①∠MON=α；②α=β或=β【分析】（1）求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；（3）①求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；②分OM、ON在OB的异侧和同侧两种情况求解．【解析】(1)∵∠AOB是直角，∴∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠COA=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°．∵OM平分∠AOC，∴∠COM=∠COA=75°，∵ON平分∠BOC，∴∠CON=∠BOC=30°，∴∠MON=∠COM-∠CON=75°-30°=45°(2)∵∠AOB=α，∠BOC=60°，∴∠COA=α+60°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=∠COA=(α+60°)，∵ON平分∠BOC，∴∠CON=∠BOC=30°，∴∠MON=∠COM-∠CON=(α+60°)-30°=α．(3)①∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠COA=∠AOB+∠BOC=α+β．∵OM平分∠AOC，∴∠COM=∠COA=(α+β)，∵ON平分∠BOC，∴∠CON=∠BOC=β，∴∠MON=∠COM-∠CON=(α+β)-β=α．②当OM、ON在OB的异侧时，如图3-1，∵∠COM=(α+β)，∠BOC＝β，∴∠BOM=(α+β)-β=(α-β)，∵∠CON＝3∠BOM时，∠CON=β，∴β=3×(α-β)，∴α=β；当OM、ON在OB的同侧时，如图3-2，∵∠COM=(α+β)，∠BOC＝β，∴∠BOM=β-(α+β)=(β-α)，∵∠CON＝3∠BOM时，∠CON=β，∴β=3×(β-α)，∴α=β．综上可知，α=β或=β．模型演练模型演练一、单选题1．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H．GM平分∠BGH，且∠GHM=48°，那么∠GMD的度数为（

）A．96° B．104° C．114° D．124°【答案】C【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BGH，再根据角平分线的定义可得∠BGM=∠BGH，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【解析】解：∵AB∥CD，∴∠BGH=180°-∠GHM=180°-48°=132°，∵GM平分∠BGH，∴∠BGM=∠BGH=×132°=66°，∵AB∥CD，∴∠GMD=180°-∠BGM=180°-66°=114°．故选：C．2．如图，∠AOC与∠BOC互为余角，OD平分∠BOC，∠EOC＝2∠AOE．若∠COD＝18°，则∠AOE的大小是（）A．12° B．15° C．18° D．24°【答案】C【分析】利用角平分线求出∠BOC＝36°，利用∠AOC与∠BOC互为余角，求出∠AOC＝90-36°=54°，再根据∠EOC＝2∠AOE，即可求出∠AOE=18°．【解析】解：∵∠COD＝18°，OD平分∠BOC，∴∠BOC＝36°，∵∠AOC与∠BOC互为余角，∴∠AOC＝90°-36°=54°∵∠EOC＝2∠AOE，∴3∠AOE=54°，∴∠AOE=18°．故选：C3．如图，直线AB，CD，EO相交于点O，已知OA平分∠EOC，若∠EOC:∠EOD＝2:3，则∠BOD的度数为（

）A．40° B．37° C．36° D．35°【答案】C【分析】根据与得到，根据平分得到，最后根据对顶角相等即可求出．【解析】解：，，，，平分，，．故选：C．4．如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D【分析】根据对顶角和邻补角的定义即可得到的度数，再根据角平分线即可得出的度数．【解析】解：，，，，又平分，．故选：D．5．（2022·山东东营·二模）如图，，点O在上，平分，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，∠D＝110°，求出∠AOD＝70°，∠DOB＝110°，利用OE平分∠BOD，得到∠DOE＝55°，由∠FOE＝90°求出∠DOF＝90°﹣55°＝35°，即可求出∠AOF的度数．【解析】解：∵，∴∠AOD+∠D＝180°，∠DOB=∠D，∵∠D＝110°，∴∠AOD＝70°，∠DOB＝110°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝55°，∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°，∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，∴∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝70°﹣35°＝35°，故D正确．故选：D．二、填空题6．（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，OF平分．若，则的度数为______°．【答案】33【分析】先根据对顶角相等求出，再由角平分线定义得，由邻补角得，再根据角平分线定义得，从而可得结论．【解析】解：∵是对顶角，∴∵OE平分，∴∴，∵OF平分．∴又，∴，故答案为：337．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．若∠BOF=30°，则∠DOE=_______°．【答案】40【分析】利用角平分线定义列式计算即可求出所求．【解析】解：∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，设∠BOE=∠DOE=x，则有∠COE=180°-x，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=（180°-x）=90°-x，由题意得：∠EOF-∠BOE=∠BOF=30°，即90°-x-x=30°，解得：x=40°，则∠DOE=40°．故答案为：40．8．如图，直线、交于点，，是的平分线，是的平分线，，则_____________．【答案】【分析】根据邻补角求得，，根据，求得，进而求得，根据对顶角求得，根据角平分线的定义求得，，根据即可求解．【解析】解：，，，，，是的平分线，是的平分线，，，又，故答案为：．9．如图，已知射线在内部，平分，平分，平分，现给出以下4个结论：①；②；③；④其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）______．【答案】①②④【分析】①根据平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出结论；②根据角度之间的关系得出，得出，即可得出结论；③无法证明；④根据，得出，，即可得出结论．【解析】解：①∵平分，平分，平分，∴，，，，，即，∴，故①正确；②∵，∴，故②正确；③与不一定相等，故③错误；④根据解析②可知，，∴，∵，∴，故④正确；综上分析可知，正确的有①②④．故答案为：①②④．10．如图，∠COD在∠AOB的内部，且，若将∠COD绕点O顺时针旋转，使∠COD在∠AOB的外部，在运动过程中，OE平分∠BOC，则∠DOE与∠AOC之间满足的数量关系是_____．【答案】或【分析】分情况讨论：当旋转的角度不超过时，当旋转的角度超过，不超过时，画出旋转后的图，利用角之间的关系计算即可．【解析】解：当旋转的角度不超过时，如图：∴，，∵，OE平分∠BOC，∴，，∴．当旋转的角度超过，不超过时，如图，∴，，∵，OE平分∠BOC，∴，，∴．三、解答题11．如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．【答案】120°，30°【分析】先根据角平分线，求得的度数，再根据角的和差关系，求得的度数，最后根据角平分线，求得、的度数．【解析】∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°∴∠BOE=∠AOB=45°又∵∠EOF=60°∴∠BOF=∠EOF－∠BOE=15°又∵OF平分∠BOC∴∠BOC=2∠BOF=30°∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°故∠AOC=120°，∠COB=30°．12．如图，为直线上的一点，，平分，．(1)求的度数；(2)是的平分线吗？为什么？【答案】(1)(2)是的平分线，理由见解析【分析】（1）由角平分线的性质可知∠1的度数，再利用互补即可算出∠BOD的度数；（2）想要判断OE是否为∠BOC的平分线，只需分别计算出∠3和∠4的度数，看它们是否相等．【解析】（1）解：，平分，，，；（2）解：是的平分线．理由如下：，，，，，，，是的平分线．13．已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引两条射线OC，OD，且OC平分．（Ⅰ）请在图①中的内部画一条射线OE，使得OE平分，并求此时的度数；（Ⅱ）如图②，若在内部画的射线OE，恰好使得，且，求此时的度数．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的度数为．【分析】由角平分线的定义得出，，．（2）设，则，，根据平角的定义列等式求出结果即可．【解析】（Ⅰ）如图，∵OC平分，OE平分，∴，，∴．（Ⅱ）如下图，设，根据题意得．∵，∴．∵OC平分，∴，∵，∴．解得：．∴．∴的度数为．14．已知：如图所示（1），和共顶点，重合，为的平分线，为的平分线，，.

（1）如图所示（2），若，，则_______.（2）如图所示（3），若绕点逆时针旋转，且，求.（3）如图所示（4），若，绕点逆时